1. 直角三角形的性质
直角三角形的两个锐角.

1. 互余

【分析】
拿到这道题我们可以从三角形内角和的知识入手思考：首先回忆三角形内角和定理，所有三角形的三个内角和为180°；直角三角形有一个角是直角（度数为90°），用内角和减去直角的度数，就能得到两个锐角的和为90°，而和为90°的两个角满足互余的定义，由此就能得到正确结论。
【解析】
根据三角形内角和定理，任意三角形的三个内角之和为180°。
直角三角形存在一个度数为90°的直角，因此两个锐角的和为：$180°-90°=90°$。
根据余角的定义，和为$90°$的两个角互为余角，因此直角三角形的两个锐角互余。
【答案】
互余
【知识点】
三角形内角和定理、直角三角形的性质
【点评】
本题是基础概念类考题，直接考察直角三角形的核心性质，是几何中直角相关计算与证明的基础，需要熟练识记掌握。
【难度系数】
0.9

2. 直角三角形的判定
有两个角的三角形是直角三角形。

2. 互余

【分析】
解题时首先回忆三角形内角和为180°的性质，以及直角三角形的定义：有一个角为90°的三角形是直角三角形。我们可以逆向推导：若要三角形是直角三角形，需要有一个角为90°，则剩下两个角的和为180°-90°=90°，也就是这两个角互余，由此就能得出空缺处的内容。
【解析】
已知任意三角形的内角和为180°，如果一个三角形有两个角互余，即这两个角的度数之和为90°，那么第三个角的度数为180°-90°=90°，也就是直角。根据直角三角形的定义，有一个角是直角的三角形为直角三角形，因此满足“有两个角互余”的三角形是直角三角形。
【答案】
互余
【知识点】
三角形内角和定理；直角三角形的判定；互余的定义
【点评】
本题属于基础概念考查题，主要考查对直角三角形判定定理的识记和理解，熟练掌握基础几何概念即可快速作答。
【难度系数】
0.9

典例1 如图，在$△ ABC$中，$∠ C=90°$，$EF// AB$，$∠ B=39°$，则$∠ 1$的度数为().


A.$39°$
B.$51°$
C.$38°$
D.$52°$
温馨提示 利用直角三角形两个锐角互余的性质求一个锐角的度数时，必须指明是在同一个直角三角形中.

答案B
解析 在$Rt△ ABC$中，$\because ∠ C=90°$，$∠ B=39°$，$\therefore ∠ A=90°-∠ B=51°$。
$\because EF// AB$，$\therefore ∠1=∠ A$，$\therefore ∠1=51°$。
故选B。

规律方法 直角三角形的判定方法：
(1)证明三角形中有一个内角为$90°$(或证明三角形的两条边互相垂直)；
(2)证明三角形中有两个内角互余；
(3)证明三角形中有一个内角与该三角形外已知的直角相等。

【分析】
要求∠1的度数，首先观察图形，∠1与∠A是直线EF、AB被AC所截形成的同位角，已知EF//AB，根据平行线的性质，只需先求出∠A的度数即可得到∠1的度数。已知△ABC是直角三角形，∠C=90°，∠B=39°，根据直角三角形两锐角互余的性质即可算出∠A的度数，进而求解∠1。
【解析】
在$Rt△ ABC$中，$\because ∠ C=90°$，根据直角三角形两锐角互余可得$∠ A + ∠ B = 90°$，
又$\because ∠ B=39°$，$\therefore ∠ A=90° - ∠ B=90° - 39°=51°$。
$\because EF// AB$，根据“两直线平行，同位角相等”，可得$∠ 1=∠ A$，
$\therefore ∠ 1=51°$，故选B。
【答案】
B

【知识点】
直角三角形两锐角互余；平行线的性质
【点评】
本题属于基础角度计算类题目，结合直角三角形内角性质和平行线性质考查，熟练掌握相关基础性质即可快速解题。
【难度系数】
0.85

举一反三 在$△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ A=2∠ B$，则$∠ A$的度数是()。

A.$45°$
B.$30°$
C.$90°$
D.$60°$

答案：D

【分析】
解题时首先利用三角形内角和定理，结合直角三角形∠C=90°的条件，可推出两个锐角∠A与∠B的和为90°；再结合题目给出的∠A=2∠B的数量关系，将两个关系式联立即可求出∠A的度数。
【解析】
∵ 在△ABC中，∠C=90°，三角形内角和为180°
∴ ∠A + ∠B = 180° - ∠C = 180° - 90° = 90°
又
∵ ∠A = 2∠B
∴ 将∠A=2∠B代入∠A + ∠B = 90°，可得：
2∠B + ∠B = 90°
3∠B = 90°
解得∠B=30°
∴ ∠A = 2∠B = 2×30° = 60°
故选D
【答案】
D
【知识点】
1. 三角形内角和定理
2. 直角三角形两锐角互余
【点评】
本题是基础角度计算题，考察直角三角形的性质与角度和差倍分的计算，解题关键是熟练运用三角形内角和得到两个锐角的数量关系，计算难度低。
【难度系数】
0.9

典例2 如图,在$△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,$∠ ACD=∠ B$.求证:$△ CDB$是直角三角形.
典例解析

证明：
∵ ∠ACB = 90°，
∴ ∠ACD + ∠DCB = 90°。
又∵ ∠ACD = ∠B，
∴ ∠B + ∠DCB = 90°。
∴ △CDB中有两个内角的和为90°，根据直角三角形的判定定理，可得△CDB是直角三角形。

【分析】
要证明△CDB是直角三角形，可依据直角三角形的判定定理：若一个三角形中有两个内角互余，则该三角形为直角三角形。首先从已知条件∠ACB=90°入手，该角可拆分为∠ACD与∠DCB的和，因此可得∠ACD+∠DCB=90°；再结合题目给出的∠ACD=∠B的条件，通过等量代换即可得到∠B+∠DCB=90°，即△CDB中存在两个互余的内角，即可完成判定。
【解析】
证明：
∵ ∠ACB = 90°，
∴ ∠ACD + ∠DCB = 90°。
又
∵ ∠ACD = ∠B，
∴ ∠B + ∠DCB = 90°。
∴ △CDB中有两个内角的和为90°，根据直角三角形的判定定理，可得△CDB是直角三角形。
【答案】
证明：
∵ ∠ACB = 90°，
∴ ∠ACD + ∠DCB = 90°。
又
∵ ∠ACD = ∠B，
∴ ∠B + ∠DCB = 90°。
∴ △CDB中有两个内角的和为90°，根据直角三角形的判定定理，可得△CDB是直角三角形。
【知识点】
直角三角形的判定；角的和差关系；等量代换
【点评】
本题是直角三角形判定的基础习题，核心考查角的转化能力，解题时通过拆分已知直角、利用等角进行代换，推导得到待证三角形的两个内角互余即可得结论，是巩固直角三角形判定方法的典型题目。
【难度系数】
0.85

举一反三 在$△ ABC$中，若$∠ A=42°$，$∠ B=48°$，则$△ ABC$是()。

A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.等腰三角形
典例2
证明 $\because ∠ ACB=90°$，
$\therefore ∠ ACD+∠ DCB=90°$。
$\because ∠ ACD=∠ B$，
$\therefore ∠ B+∠ DCB=90°$，
$\therefore △ CDB$是直角三角形。

答案：B

【分析】
要判断△ABC的类别，首先明确三角形按角分类的依据：三个角均为锐角的是锐角三角形，有一个角是直角的是直角三角形，有一个角是钝角的是钝角三角形。已知两个内角的度数，我们可利用三角形内角和为180°的性质，先求出第三个内角的度数，再根据最大角的类型判断三角形类别即可。
【解析】
解：根据三角形内角和定理，三角形的内角和为180°，
∴ $∠ C = 180° - ∠ A - ∠ B$
代入$∠ A=42°$，$∠ B=48°$得：
$∠ C = 180° - 42° - 48° = 90°$
∵ 有一个角为$90°$的三角形是直角三角形，
∴ $△ ABC$是直角三角形。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
三角形内角和定理；三角形按角分类
【点评】
本题属于基础题，主要考查三角形内角和定理的应用，以及三角形按角分类的判断标准，掌握基础概念和公式即可快速解答。
【难度系数】
0.9