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4. 在$△ ABC$中，$∠ A - ∠ B = 90°$，$∠ B = 2∠ C$，求$△ ABC$的各内角的度数.
答案
解 设∠C=x°,
则∠B = 2x°, ∠A = 90° + ∠B = (90+2x)°.
∠A+∠B+∠C=180°,
即 90+2x+2x+x=180,
解得x=18.
所以∠A=(90+2×18)°=126°,
∠B=2×18°=36°,∠C=18°.
所以△ABC的各内角的度数分别为∠A=126°,∠B=36°,∠C=18°.
则∠B = 2x°, ∠A = 90° + ∠B = (90+2x)°.
∠A+∠B+∠C=180°,
即 90+2x+2x+x=180,
解得x=18.
所以∠A=(90+2×18)°=126°,
∠B=2×18°=36°,∠C=18°.
所以△ABC的各内角的度数分别为∠A=126°,∠B=36°,∠C=18°.
解析
【分析】
本题给出了三角形三个内角之间的数量关系，可利用三角形内角和为180°的定理解题。解题时优先设度数最小的∠C为未知数，再根据已知的角的倍差关系，将∠A、∠B都用含该未知数的代数式表示，最后代入内角和公式列一元一次方程求解即可。
【解析】
设∠C=x°，
根据∠B=2∠C，可得∠B=2x°，
根据∠A-∠B=90°，可得∠A=(90+2x)°。
由三角形内角和定理，三角形三个内角的和为180°，因此：
∠A+∠B+∠C=180°
代入得：90+2x+2x+x=180
合并同类项得：90+5x=180
移项计算得：5x=90，解得x=18。
则∠A=90+2×18=126°，∠B=2×18=36°，∠C=18°。
【答案】
∠A=126°，∠B=36°，∠C=18°
【知识点】
三角形内角和定理；一元一次方程的应用
【点评】
本题属于三角形内角和的基础应用题型，核心解题思路是利用方程思想将几何角度的数量关系转化为代数方程求解，是角度计算类问题的常用方法，需要熟练掌握角的等量代换技巧。
【难度系数】
0.8
本题给出了三角形三个内角之间的数量关系，可利用三角形内角和为180°的定理解题。解题时优先设度数最小的∠C为未知数，再根据已知的角的倍差关系，将∠A、∠B都用含该未知数的代数式表示，最后代入内角和公式列一元一次方程求解即可。
【解析】
设∠C=x°，
根据∠B=2∠C，可得∠B=2x°，
根据∠A-∠B=90°，可得∠A=(90+2x)°。
由三角形内角和定理，三角形三个内角的和为180°，因此：
∠A+∠B+∠C=180°
代入得：90+2x+2x+x=180
合并同类项得：90+5x=180
移项计算得：5x=90，解得x=18。
则∠A=90+2×18=126°，∠B=2×18=36°，∠C=18°。
【答案】
∠A=126°，∠B=36°，∠C=18°
【知识点】
三角形内角和定理；一元一次方程的应用
【点评】
本题属于三角形内角和的基础应用题型，核心解题思路是利用方程思想将几何角度的数量关系转化为代数方程求解，是角度计算类问题的常用方法，需要熟练掌握角的等量代换技巧。
【难度系数】
0.8
5. 明明在电脑上用画图软件画出的图形如图①，AD与BC交于点O，若他拖动图形，使得∠B的度数减小了$6°$，∠A的度数增加了$6°$，得到的图形如图②，设图①中∠C+∠D的度数为$x°$，图②中∠C+∠D的度数为$y°$，则$x$与$y$的数量关系为(
A.$x=y$
B.$x=y-6$
C.$x=y+6$
D.$x=y-12$
A
).A.$x=y$
B.$x=y-6$
C.$x=y+6$
D.$x=y-12$
答案
A 解析 如题图①,由三角形的内角和定理,得∠A+∠B+∠AOB=180°,∠C+∠D+∠COD=180°.
∵∠AOB=∠COD,
∴∠A+∠B=∠C+∠D=x°.
如题图②,同理可得∠A+∠B=∠C+∠D=y°.
∵∠B的度数减小了6°,∠A的度数增加了6°,
∴∠A+∠B没有发生变化,
∴x=y.故选A.
∵∠AOB=∠COD,
∴∠A+∠B=∠C+∠D=x°.
如题图②,同理可得∠A+∠B=∠C+∠D=y°.
∵∠B的度数减小了6°,∠A的度数增加了6°,
∴∠A+∠B没有发生变化,
∴x=y.故选A.
解析
【分析】
解题时首先观察图形特征，AD与BC交于O点形成两个含有公共对顶角的三角形，可结合三角形内角和定理与对顶角相等的性质推导角的数量关系：第一步，利用三角形内角和为180°，分别写出△AOB和△COD的内角和等式，结合对顶角∠AOB=∠COD，可推出∠A+∠B=∠C+∠D；第二步，分析∠A和∠B的变化对两者和的影响，∠B减小6°、∠A增加6°，两者的和保持不变，因此∠C+∠D的和也不变，即可得到x和y的关系。
【解析】
在图①中，根据三角形内角和定理：
在△AOB中，$∠ A + ∠ B + ∠ AOB = 180°$，
在△COD中，$∠ C + ∠ D + ∠ COD = 180°$，
∵∠AOB与∠COD是对顶角，
∴$∠ AOB = ∠ COD$，
两式消去相等的角可得：$∠ A + ∠ B = ∠ C + ∠ D = x°$。
在图②中，同理可得变化后$∠ A' + ∠ B' = ∠ C + ∠ D = y°$，
其中$∠ A' = ∠ A + 6°$，$∠ B' = ∠ B - 6°$，
∴$∠ A' + ∠ B' = (∠ A + 6°) + (∠ B - 6°) = ∠ A + ∠ B$，即∠A与∠B的和不变，
因此$∠ C + ∠ D$的和也不变，即$x = y$。
【答案】
A
【知识点】
三角形内角和定理；对顶角的性质
【点评】
本题侧重考查整体思想在角度计算中的应用，无需单独求解每个角的度数，只要抓住∠A与∠B的和不变这一核心，即可快速得出结论，能很好地锻炼学生的几何逻辑推导能力。
【难度系数】
0.8
解题时首先观察图形特征，AD与BC交于O点形成两个含有公共对顶角的三角形，可结合三角形内角和定理与对顶角相等的性质推导角的数量关系：第一步，利用三角形内角和为180°，分别写出△AOB和△COD的内角和等式，结合对顶角∠AOB=∠COD，可推出∠A+∠B=∠C+∠D；第二步，分析∠A和∠B的变化对两者和的影响，∠B减小6°、∠A增加6°，两者的和保持不变，因此∠C+∠D的和也不变，即可得到x和y的关系。
【解析】
在图①中，根据三角形内角和定理：
在△AOB中，$∠ A + ∠ B + ∠ AOB = 180°$，
在△COD中，$∠ C + ∠ D + ∠ COD = 180°$，
∵∠AOB与∠COD是对顶角，
∴$∠ AOB = ∠ COD$，
两式消去相等的角可得：$∠ A + ∠ B = ∠ C + ∠ D = x°$。
在图②中，同理可得变化后$∠ A' + ∠ B' = ∠ C + ∠ D = y°$，
其中$∠ A' = ∠ A + 6°$，$∠ B' = ∠ B - 6°$，
∴$∠ A' + ∠ B' = (∠ A + 6°) + (∠ B - 6°) = ∠ A + ∠ B$，即∠A与∠B的和不变，
因此$∠ C + ∠ D$的和也不变，即$x = y$。
【答案】
A
【知识点】
三角形内角和定理；对顶角的性质
【点评】
本题侧重考查整体思想在角度计算中的应用，无需单独求解每个角的度数，只要抓住∠A与∠B的和不变这一核心，即可快速得出结论，能很好地锻炼学生的几何逻辑推导能力。
【难度系数】
0.8
6.如图，∠1+∠2+∠3+∠4=
280°
.答案
280° 解析
∵∠1 + ∠2 = 180°−40°=140°,
同理,∠3+∠4=140°,
∴∠1+∠2+∠3+∠4=280°.
∵∠1 + ∠2 = 180°−40°=140°,
同理,∠3+∠4=140°,
∴∠1+∠2+∠3+∠4=280°.
解析
【分析】
观察图形可知，图中有两个三角形，且两个三角形都包含已知的40°内角。结合三角形内角和为180°的性质，我们可以先分别算出每个三角形中除40°角外另外两个角的和，即先求∠1+∠2的和，再求∠3+∠4的和，最后将两个和相加即可得到最终结果。
【解析】
根据三角形内角和等于180°：
在左侧三角形中，$∠1+∠2+40°=180°$，因此$∠1+∠2=180°-40°=140°$；
同理，在右侧三角形中，$∠3+∠4+40°=180°$，因此$∠3+∠4=180°-40°=140°$；
所以$∠1+∠2+∠3+∠4=140°+140°=280°$。
【答案】
$280°$
【知识点】
三角形内角和定理、角度和差计算
【点评】
本题属于三角形内角和的基础应用题型，解题核心是准确识别图形中的两个三角形，灵活运用三角形内角和定理分别计算两组角的和再汇总，掌握基础定理即可快速解题。
【难度系数】
0.8
观察图形可知，图中有两个三角形，且两个三角形都包含已知的40°内角。结合三角形内角和为180°的性质，我们可以先分别算出每个三角形中除40°角外另外两个角的和，即先求∠1+∠2的和，再求∠3+∠4的和，最后将两个和相加即可得到最终结果。
【解析】
根据三角形内角和等于180°：
在左侧三角形中，$∠1+∠2+40°=180°$，因此$∠1+∠2=180°-40°=140°$；
同理，在右侧三角形中，$∠3+∠4+40°=180°$，因此$∠3+∠4=180°-40°=140°$；
所以$∠1+∠2+∠3+∠4=140°+140°=280°$。
【答案】
$280°$
【知识点】
三角形内角和定理、角度和差计算
【点评】
本题属于三角形内角和的基础应用题型，解题核心是准确识别图形中的两个三角形，灵活运用三角形内角和定理分别计算两组角的和再汇总，掌握基础定理即可快速解题。
【难度系数】
0.8
7.某地有A，B，C三个村庄，如图，B村庄在C村庄的正西方向，A村庄在B村庄的北偏东20°方向，同时A村庄又在C村庄的北偏西45°方向，那么∠BAC的度数为多少？
答案
解 由题意可得∠PBC=∠QCB=90°,∠ABC=∠PBC−∠PBA=90°−20°=70°,∠ACB=∠QCB−∠ACQ=90°−45°=45°,
∴ ∠BAC = 180° − ∠ABC − ∠ACB=180°−70°−45°=65°,
∴∠BAC的度数是65°.
∴ ∠BAC = 180° − ∠ABC − ∠ACB=180°−70°−45°=65°,
∴∠BAC的度数是65°.
解析
【分析】
解题时先结合方位角的特征：正北方向与东西方向的夹角为90°，先求出△ABC中∠ABC和∠ACB的度数，再利用三角形内角和为180°的性质，即可计算出∠BAC的度数。
【解析】
由题意可知，PB、QC均为正北方向，BC为正西正东方向，因此∠PBC=∠QCB=90°。
∠ABC = ∠PBC - ∠PBA = 90° - 20° = 70°
∠ACB = ∠QCB - ∠ACQ = 90° - 45° = 45°
根据三角形内角和定理，三角形内角和为180°，因此：
∠BAC = 180° - ∠ABC - ∠ACB = 180° - 70° - 45° = 65°
【答案】
65°
【知识点】
方位角的应用；三角形内角和定理
【点评】
本题是结合生活实际的几何基础题，重点考查对方位角的理解和三角形内角和定理的运用，解题关键是准确从方位角中提取三角形内角的相关信息，整体难度较低，需要熟练掌握这类基础题型的解法。
【难度系数】
0.85
解题时先结合方位角的特征：正北方向与东西方向的夹角为90°，先求出△ABC中∠ABC和∠ACB的度数，再利用三角形内角和为180°的性质，即可计算出∠BAC的度数。
【解析】
由题意可知，PB、QC均为正北方向，BC为正西正东方向，因此∠PBC=∠QCB=90°。
∠ABC = ∠PBC - ∠PBA = 90° - 20° = 70°
∠ACB = ∠QCB - ∠ACQ = 90° - 45° = 45°
根据三角形内角和定理，三角形内角和为180°，因此：
∠BAC = 180° - ∠ABC - ∠ACB = 180° - 70° - 45° = 65°
【答案】
65°
【知识点】
方位角的应用；三角形内角和定理
【点评】
本题是结合生活实际的几何基础题，重点考查对方位角的理解和三角形内角和定理的运用，解题关键是准确从方位角中提取三角形内角的相关信息，整体难度较低，需要熟练掌握这类基础题型的解法。
【难度系数】
0.85
8. 当三角形中一个内角α是另一个内角β的两倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中角α称为“特征角”。
(1)已知一个“特征三角形”的“特征角”为$100°$，求这个“特征三角形”最小内角的度数。
(2)是否存在“特征角”为$120°$的三角形？若存在，请举例说明；若不存在，请说明理由。
(1)已知一个“特征三角形”的“特征角”为$100°$，求这个“特征三角形”最小内角的度数。
(2)是否存在“特征角”为$120°$的三角形？若存在，请举例说明；若不存在，请说明理由。
答案
解 设三角形的三个内角分别为α，β,γ.
(1)
∵α=2β,且α+β+γ=180°,
∴当α=100°时,β=50°,则γ=30°,
∴这个“特征三角形”的最小内角的度数为30°.
(2)不存在.
∵α=2β,且α+β+γ=180°,
∴当α=120°时,β=60°,
则γ=0°,此时不能构成三角形,
故不存在“特征角”为120°的三角形.
(1)
∵α=2β,且α+β+γ=180°,
∴当α=100°时,β=50°,则γ=30°,
∴这个“特征三角形”的最小内角的度数为30°.
(2)不存在.
∵α=2β,且α+β+γ=180°,
∴当α=120°时,β=60°,
则γ=0°,此时不能构成三角形,
故不存在“特征角”为120°的三角形.
解析
【分析】
本题为新定义类题型，解题核心是准确理解“特征三角形”的定义：三角形中一个内角α是另一个内角β的2倍，α为特征角，同时结合三角形内角和为180°的性质解题。
第(1)问：已知特征角α=100°，先根据α=2β求出β的度数，再用三角形内角和减去α、β的度数得到第三个内角的度数，比较三个内角大小即可得到最小内角。
第(2)问：可先假设存在符合条件的三角形，按照定义求出β的度数，再计算第三个内角的度数，若第三个内角大于0°则存在，否则不存在，因为三角形的所有内角都必须大于0°才能构成三角形。
【解析】
设三角形的三个内角分别为α，β，γ。
(1) 由“特征三角形”定义得α=2β，结合三角形内角和定理可得α+β+γ=180°。
当α=100°时，β=100°÷2=50°，则γ=180°-100°-50°=30°，因此最小内角的度数为30°。
(2) 不存在，理由如下：
当α=120°时，由α=2β得β=120°÷2=60°，则γ=180°-120°-60°=0°，三角形的内角需大于0°，此时不能构成三角形，因此不存在“特征角”为120°的三角形。
【答案】
(1) 这个“特征三角形”最小内角的度数为30°；
(2) 不存在“特征角”为120°的三角形。
【知识点】
1. 三角形内角和定理
2. 新定义问题应用
【点评】
本题结合新定义考查三角形内角和定理的应用，解题关键是准确理解“特征三角形”的定义，结合内角和公式计算，同时注意三角形内角均大于0°的隐含条件，侧重对基础知识和概念理解能力的考查。
【难度系数】
0.8
本题为新定义类题型，解题核心是准确理解“特征三角形”的定义：三角形中一个内角α是另一个内角β的2倍，α为特征角，同时结合三角形内角和为180°的性质解题。
第(1)问：已知特征角α=100°，先根据α=2β求出β的度数，再用三角形内角和减去α、β的度数得到第三个内角的度数，比较三个内角大小即可得到最小内角。
第(2)问：可先假设存在符合条件的三角形，按照定义求出β的度数，再计算第三个内角的度数，若第三个内角大于0°则存在，否则不存在，因为三角形的所有内角都必须大于0°才能构成三角形。
【解析】
设三角形的三个内角分别为α，β，γ。
(1) 由“特征三角形”定义得α=2β，结合三角形内角和定理可得α+β+γ=180°。
当α=100°时，β=100°÷2=50°，则γ=180°-100°-50°=30°，因此最小内角的度数为30°。
(2) 不存在，理由如下：
当α=120°时，由α=2β得β=120°÷2=60°，则γ=180°-120°-60°=0°，三角形的内角需大于0°，此时不能构成三角形，因此不存在“特征角”为120°的三角形。
【答案】
(1) 这个“特征三角形”最小内角的度数为30°；
(2) 不存在“特征角”为120°的三角形。
【知识点】
1. 三角形内角和定理
2. 新定义问题应用
【点评】
本题结合新定义考查三角形内角和定理的应用，解题关键是准确理解“特征三角形”的定义，结合内角和公式计算，同时注意三角形内角均大于0°的隐含条件，侧重对基础知识和概念理解能力的考查。
【难度系数】
0.8
