1. 三角形外角的概念
三角形的一边与另一边的组成的角，叫作三角形的外角。

1. 延长线

【分析】
本题考查三角形外角的基础定义，解题时需回忆三角形外角的构成特征：三角形的内角是相邻两边在三角形内部形成的夹角，外角则是保持其中一条边不动，将另一条相邻边向三角形外部延伸得到延长线，这条延长线与保持不动的边所组成的角就是三角形的外角，结合定义即可确定空缺内容。
【解析】
根据三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫作三角形的外角，因此空缺处应填写“延长线”。
【答案】
延长线
【知识点】
三角形外角的概念
【点评】
本题属于基础概念识记类题目，主要考查对基础定义的掌握情况，学习过程中重视核心概念的记忆和理解，就能快速完成作答。
【难度系数】
0.9

2. 三角形外角的推论
三角形的外角等于与它的两个内角的和.

2. 不相邻

【分析】
解题时先回忆三角形外角的推导逻辑：三角形的外角和相邻内角是互补关系，再结合三角形内角和为180°的性质，通过等量代换就能得出外角和另外两个内角的关系，这两个内角和外角没有公共边，即属于不相邻的内角，由此就能确定空白处应填的内容。
【解析】
我们可以通过简单推导验证该推论：
设△ABC中，∠ACD是顶点C处的外角，它和相邻内角∠ACB组成平角，因此有$∠ ACD + ∠ ACB = 180°$。
根据三角形内角和定理可得$∠ A + ∠ B + ∠ ACB = 180°$。
对两个式子做等量代换，可得到$∠ ACD = ∠ A + ∠ B$，其中∠A、∠B都是和外角∠ACD不相邻的内角。
因此三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，空白处填“不相邻”。
【答案】
不相邻
【知识点】
三角形外角的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是基础概念考察题，核心考查对三角形外角推论的识记与理解，熟练掌握相关基础性质就能快速作答。
【难度系数】
0.9

典例1 如图,在下列四个说法中,正确的是().


A.$∠ACE$ 是$△ ABC$ 的外角
B.$∠ECD$ 是$△ ABC$ 的外角
C.$∠DCF$ 是$△ ABC$ 的外角
D.$∠ACD$ 是$△ ABC$ 的外角
规律方法 三角形外角的特点:(1)顶点在三角形的一个顶点上;(2)一条边是三角形内角的一边;(3)另一条边是该三角形内角的另一边的反向延长线.
举一反三 一个三角形共有个外角.

典例1
答案 D
解析 根据三角形外角的定义，$∠ ACD,∠ BCF$是$△ ABC$的外角.
举一反三 一个三角形共有6个外角.

【分析】
要判断给定的角是否为△ABC的外角，需依据三角形外角的三个特征逐一验证选项：1.顶点在三角形的一个顶点上；2.一条边是三角形的某条边；3.另一条边是三角形该顶点处另一条边的反向延长线，同时满足三个特征的即为正确答案。对于外角个数的问题，只需明确每个顶点处可形成2个外角，相乘即可得到总个数。
【解析】
根据三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角，逐一判断选项：
选项A：∠ACE的边CE不是△ABC边BC的反向延长线，不符合外角特征，错误；
选项B：∠ECD的两条边均不属于△ABC的边，不符合外角特征，错误；
选项C：∠DCF的两条边均不属于△ABC的边，不符合外角特征，错误；
选项D：∠ACD的顶点C是△ABC的顶点，边AC是△ABC的边，边CD是△ABC边BC的反向延长线，满足外角的全部特征，正确。
计算三角形外角总个数：三角形每个顶点处可以形成2个互为对顶角的外角，三个顶点的外角总数为3×2=6个。
【答案】
D；6
【知识点】
三角形外角的定义
【点评】
本题属于基础概念类考题，核心考查对三角形外角定义的理解与应用，只要牢记外角的判断特征，就能快速完成作答，是对基础掌握情况的常规考查。
【难度系数】
0.8

典例2 如图，CE平分△ABC的外角∠ACD，且CE交BA的延长线于点E.若∠B=30°，∠ACB=40°，求∠E的度数.

总结归纳 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，主要有以下几方面的应用：(1)已知外角及与它不相邻的两个内角中的一个，求另一个内角的大小；(2)证明一个角等于另两个角的和；(3)证明两个角相等.

解：
∵ ∠ACB + ∠ACD = 180°，∠ACB=40°，
∴ ∠ACD = 180° - 40° = 140°。
∵ CE平分∠ACD，
∴ ∠ECD = $\frac{1}{2}$∠ACD = 70°。
∵ ∠ECD是△BCE的外角，根据三角形外角的性质，可得∠ECD = ∠B + ∠E，
又∵ ∠B=30°，
∴ ∠E = ∠ECD - ∠B = 70° - 30° = 40°。

【分析】
要求∠E的度数，我们可按如下思路推导：首先，∠ACD与∠ACB是邻补角，结合已知的∠ACB的度数可先求出∠ACD的度数；再根据CE是∠ACD的角平分线，能得到∠ECD的度数；最后利用三角形外角的性质，△BCE的外角∠ECD等于不相邻的两个内角∠B和∠E的和，代入已知的∠B的度数，就可以计算出∠E的度数。
【解析】
∵ ∠ACB + ∠ACD = 180°，∠ACB=40°，
∴ ∠ACD = 180° - 40° = 140°。
∵ CE平分∠ACD，
∴ ∠ECD = $\frac{1}{2}$∠ACD = 70°。
∵ ∠ECD是△BCE的外角，根据三角形外角的性质，可得∠ECD = ∠B + ∠E，
又
∵ ∠B=30°，
∴ ∠E = ∠ECD - ∠B = 70° - 30° = 40°。
【答案】
∠E的度数为40°
【知识点】
邻补角的性质；角平分线的定义；三角形外角的性质
【点评】
本题属于基础几何计算题，解题核心是熟练掌握角平分线、邻补角的相关性质以及三角形外角的性质，通过逐步推导建立未知角和已知角的数量关系即可求解。
【难度系数】
0.7

举一反三 李叔叔要检查一个零件的合格情况,在零件示意图中,规定$∠ A=90°,∠ B=34°,∠ C=18°$合格.李叔叔量得$∠ BDC=146°$,请你帮助李叔叔判断这个零件是否合格,并说明理由.
典例解析
典例1
答案 D
解析 根据三角形外角的定义，$∠ ACD,∠ BCF$是$△ ABC$的外角.
典例2
解 $\because ∠ ACB=40°,$
$\therefore ∠ ACD=180°-40°=140°.$
$\because CE$平分$△ ABC$的外角$∠ ACD,$
$\therefore ∠ ECD=\frac{1}{2}∠ ACD=70°,$
$\therefore ∠ E=∠ ECD-∠ B=70°-30°=40°.$

解 不合格. 理由:如图,连接AD 并延长，
由图知,$∠1=∠B+∠BAD,∠2=∠C+∠CAD,∠BDC=∠1+∠2$,
$\because ∠CAB = 90°,∠B = 34°,∠C = 18°,$
$\therefore ∠BDC = ∠B + ∠BAD +∠DAC+∠C$
$=∠B+∠BAC+∠C$
$=34°+90°+18°$
$=142°.$
$\because 146°≠142°,$
$\therefore$这个零件不合格.

【分析】
要判断零件是否合格，需先计算出符合∠A=90°、∠B=34°、∠C=18°条件时∠BDC的理论度数，再与测量值146°对比即可。观察图形可知∠BDC是凹四边形的内角，无法直接计算，因此我们可以通过作辅助线的方法，连接AD并延长，将∠BDC拆分为两个三角形的外角之和，再利用三角形外角的性质，把拆分后的角和已知的∠A、∠B、∠C建立关联，就能求出∠BDC的理论值。
【解析】
1. 作辅助线：连接AD并延长。
2. 根据三角形外角的性质可得：∠1是△ABD的外角，因此$∠ 1=∠ B+∠ BAD$；$∠ 2$是△ACD的外角，因此$∠ 2=∠ C+∠ CAD$。
3. 结合角的和差关系，$∠ BDC=∠ 1+∠ 2$，代入可得：
$∠ BDC=∠ B+∠ BAD+∠ C+∠ CAD=∠ B+∠ C+(∠ BAD+∠ CAD)=∠ B+∠ C+∠ BAC$
4. 代入已知角度计算理论值：$∠ BDC=34°+18°+90°=142°$。
5. 对比测量值：测量得到$∠ BDC=146°$，和理论值142°不相等，因此零件不合格。
【答案】
不合格. 理由:如图,连接AD 并延长，
由图知,$∠1=∠B+∠BAD,∠2=∠C+∠CAD,∠BDC=∠1+∠2$,
$\because ∠CAB = 90°,∠B = 34°,∠C = 18°,$
$\therefore ∠BDC = ∠B + ∠BAD +∠DAC+∠C$
$=∠B+∠BAC+∠C$
$=34°+90°+18°$
$=142°.$
$\because 146°≠142°,$
$\therefore$这个零件不合格.
【知识点】
三角形外角的性质；角的和差计算；辅助线构造
【点评】
本题结合实际测量场景考查三角形外角性质的应用，解题核心是通过构造辅助线将待求凹角转化为多个三角形外角的和，把未知角转化为已知角的和差关系，渗透了转化的数学思想，是三角形外角性质的典型应用题型。
【难度系数】
0.7