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5. 如图，点 B，C，D 在同一条直线上，△ABC ≌ △CDE，∠B = ∠D = 90°，AB=6，BC=8，CE=10.
(1)求△ABC 的周长；
(2)求△ACE 的面积.
(1)求△ABC 的周长；
(2)求△ACE 的面积.
答案
(1)
∵△ABC≌△CDE,CE=10,
∴AC=CE=10.
∵AB=6,BC=8,
∴△ABC 的周长为 AB+BC+AC=6+8+10=24.
(2)
∵∠B=90°,
∴∠ACB+∠BAC=90°.
∵△ABC≌△CDE,
∴∠ECD=∠CAB,
∴∠ACB+∠ECD=90°,
∴∠ACE=90°.
∵AC=CE=10,
∴△ACE 的面积为 $\frac{1}{2}AC · CE =\frac{1}{2}×10×10=50$.
∵△ABC≌△CDE,CE=10,
∴AC=CE=10.
∵AB=6,BC=8,
∴△ABC 的周长为 AB+BC+AC=6+8+10=24.
(2)
∵∠B=90°,
∴∠ACB+∠BAC=90°.
∵△ABC≌△CDE,
∴∠ECD=∠CAB,
∴∠ACB+∠ECD=90°,
∴∠ACE=90°.
∵AC=CE=10,
∴△ACE 的面积为 $\frac{1}{2}AC · CE =\frac{1}{2}×10×10=50$.
解析
【分析】
(1) 求△ABC的周长需要先得到三边的长度，已知AB和BC的长，只需求出AC的长即可。根据全等三角形对应边相等的性质，由△ABC≌△CDE、CE=10，可直接得到AC=CE=10，再将三边长度相加就能算出周长。
(2) 求△ACE的面积首先要判断△ACE的形状：先根据直角三角形两锐角互余，可得∠ACB+∠BAC=90°；再结合全等三角形对应角相等，得到∠ECD=∠BAC，等量代换后可知∠ACB+∠ECD=90°，结合B、C、D共线，可推出∠ACE=90°，即△ACE是直角边为AC和CE的直角三角形，最后代入直角三角形面积公式计算即可。
【解析】
(1)
∵△ABC≌△CDE，CE=10，
∴AC=CE=10.
∵AB=6，BC=8，
∴△ABC的周长为AB+BC+AC=6+8+10=24.
(2)
∵∠B=90°，
∴∠ACB+∠BAC=90°.
∵△ABC≌△CDE，
∴∠ECD=∠CAB，
∴∠ACB+∠ECD=90°，
∴∠ACE=180°-(∠ACB+∠ECD)=90°.
∵AC=CE=10，
∴△ACE的面积为 $\frac{1}{2}AC · CE =\frac{1}{2}×10×10=50$.
【答案】
(1) 24；(2) 50
【知识点】
全等三角形的性质，直角三角形的性质，三角形面积计算
【点评】
本题是全等三角形应用的基础题，解题核心是熟练运用全等三角形对应边相等、对应角相等的性质，结合直角三角形的相关特征推导所求图形的边长和角度关系，计算难度较低。
【难度系数】
0.8
(1) 求△ABC的周长需要先得到三边的长度，已知AB和BC的长，只需求出AC的长即可。根据全等三角形对应边相等的性质，由△ABC≌△CDE、CE=10，可直接得到AC=CE=10，再将三边长度相加就能算出周长。
(2) 求△ACE的面积首先要判断△ACE的形状：先根据直角三角形两锐角互余，可得∠ACB+∠BAC=90°；再结合全等三角形对应角相等，得到∠ECD=∠BAC，等量代换后可知∠ACB+∠ECD=90°，结合B、C、D共线，可推出∠ACE=90°，即△ACE是直角边为AC和CE的直角三角形，最后代入直角三角形面积公式计算即可。
【解析】
(1)
∵△ABC≌△CDE，CE=10，
∴AC=CE=10.
∵AB=6，BC=8，
∴△ABC的周长为AB+BC+AC=6+8+10=24.
(2)
∵∠B=90°，
∴∠ACB+∠BAC=90°.
∵△ABC≌△CDE，
∴∠ECD=∠CAB，
∴∠ACB+∠ECD=90°，
∴∠ACE=180°-(∠ACB+∠ECD)=90°.
∵AC=CE=10，
∴△ACE的面积为 $\frac{1}{2}AC · CE =\frac{1}{2}×10×10=50$.
【答案】
(1) 24；(2) 50
【知识点】
全等三角形的性质，直角三角形的性质，三角形面积计算
【点评】
本题是全等三角形应用的基础题，解题核心是熟练运用全等三角形对应边相等、对应角相等的性质，结合直角三角形的相关特征推导所求图形的边长和角度关系，计算难度较低。
【难度系数】
0.8
6. 如图，点 A，B，C 在同一直线上，$△ ABD ≌ △ EBC$，点 E 在 BD 上，$AB=2\ \mathrm{cm}$，$BC=3\ \mathrm{cm}$.
(1)求 DE 的长；
(2)判断 DB 与 AC 的位置关系，并说明理由；
(3)判断直线 AD 与直线 CE 的位置关系，并说明理由.
(1)求 DE 的长；
(2)判断 DB 与 AC 的位置关系，并说明理由；
(3)判断直线 AD 与直线 CE 的位置关系，并说明理由.
答案
(1)
∵△ABD≌△EBC,
∴BD = BC = 3 cm, BE = AB = 2 cm,
∴DE=BD−BE=1 cm.
(2)DB 与 AC 垂直.
理由:
∵△ABD≌△EBC,
∴∠ABD=∠EBC,
且A,B,C 在一条直线上,
∴∠ABD=∠EBC=90°,
∴DB 与 AC 垂直.
(3)直线 AD 与直线 CE 垂直.
理由:如图,延长 CE 交 AD 于点 F,
∵△ABD≌△EBC,
∴∠D=∠C.
∵由(2)知,∠A+∠D=90°,
∴∠A+∠C=90°,
∴∠AFC=90°,
即 CE⊥AD.
解析
【分析】
本题围绕全等三角形的性质设计三类基础问题，解题思路如下：
(1) 求DE的长度：已知两个三角形全等，首先利用全等三角形对应边相等的性质，找到BD与BC、BE与AB是两组对应边，分别求出BD、BE的长度，再通过线段差计算DE的长度即可；
(2) 判断DB与AC的位置关系：从角的数量关系入手，由全等三角形对应角相等可得∠ABD=∠EBC，结合A、B、C三点共线，两个角的和为平角180°，即可推出两个角均为90°，得到垂直关系；
(3) 判断AD与CE的位置关系：先观察图形猜测为垂直，只需证明两条直线的夹角为90°，因此添加辅助线延长CE交AD于点F，利用全等三角形对应角相等将∠D替换为∠C，再结合直角三角形两锐角互余的性质，推导得到∠A+∠C=90°，即可推出∠AFC=90°，证明垂直。
【解析】
(1) 由全等三角形对应边相等的性质，结合△ABD≌△EBC可得对应边BD=BC、BE=AB，代入已知边长计算线段差即可得到DE的长度；
(2) 由全等三角形对应角相等得∠ABD=∠EBC，结合三点共线得两角和为180°，因此两个角均为90°，可判定DB⊥AC；
(3) 延长CE交AD于F，由全等得∠D=∠C，结合直角三角形两锐角互余得∠A+∠D=90°，等量代换得∠A+∠C=90°，因此∠AFC=90°，可判定AD⊥CE。
【答案】
(1)
∵△ABD≌△EBC,
∴BD = BC = 3 cm, BE = AB = 2 cm,
∴DE=BD−BE=1 cm.
(2)DB 与 AC 垂直.
理由:
∵△ABD≌△EBC,
∴∠ABD=∠EBC,
且A,B,C 在一条直线上,
∴∠ABD=∠EBC=90°,
∴DB 与 AC 垂直.
(3)直线 AD 与直线 CE 垂直.
理由:如图,延长 CE 交 AD 于点 F,
∵△ABD≌△EBC,
∴∠D=∠C.
∵由(2)知,∠A+∠D=90°,
∴∠A+∠C=90°,
∴∠AFC=90°,
即 CE⊥AD.
【知识点】
全等三角形的性质；垂直的判定；平角的定义
【点评】
本题是全等三角形性质应用的典型基础题，涵盖线段长度计算、直线位置关系判定两类常考题型，解题核心是准确识别全等三角形的对应边和对应角，证明垂直时可通过推导夹角为90°完成，必要时可通过添加辅助线构造三角形推导角的数量关系。
【难度系数】
0.7
本题围绕全等三角形的性质设计三类基础问题，解题思路如下：
(1) 求DE的长度：已知两个三角形全等，首先利用全等三角形对应边相等的性质，找到BD与BC、BE与AB是两组对应边，分别求出BD、BE的长度，再通过线段差计算DE的长度即可；
(2) 判断DB与AC的位置关系：从角的数量关系入手，由全等三角形对应角相等可得∠ABD=∠EBC，结合A、B、C三点共线，两个角的和为平角180°，即可推出两个角均为90°，得到垂直关系；
(3) 判断AD与CE的位置关系：先观察图形猜测为垂直，只需证明两条直线的夹角为90°，因此添加辅助线延长CE交AD于点F，利用全等三角形对应角相等将∠D替换为∠C，再结合直角三角形两锐角互余的性质，推导得到∠A+∠C=90°，即可推出∠AFC=90°，证明垂直。
【解析】
(1) 由全等三角形对应边相等的性质，结合△ABD≌△EBC可得对应边BD=BC、BE=AB，代入已知边长计算线段差即可得到DE的长度；
(2) 由全等三角形对应角相等得∠ABD=∠EBC，结合三点共线得两角和为180°，因此两个角均为90°，可判定DB⊥AC；
(3) 延长CE交AD于F，由全等得∠D=∠C，结合直角三角形两锐角互余得∠A+∠D=90°，等量代换得∠A+∠C=90°，因此∠AFC=90°，可判定AD⊥CE。
【答案】
(1)
∵△ABD≌△EBC,
∴BD = BC = 3 cm, BE = AB = 2 cm,
∴DE=BD−BE=1 cm.
(2)DB 与 AC 垂直.
理由:
∵△ABD≌△EBC,
∴∠ABD=∠EBC,
且A,B,C 在一条直线上,
∴∠ABD=∠EBC=90°,
∴DB 与 AC 垂直.
(3)直线 AD 与直线 CE 垂直.
理由:如图,延长 CE 交 AD 于点 F,
∵△ABD≌△EBC,
∴∠D=∠C.
∵由(2)知,∠A+∠D=90°,
∴∠A+∠C=90°,
∴∠AFC=90°,
即 CE⊥AD.
【知识点】
全等三角形的性质；垂直的判定；平角的定义
【点评】
本题是全等三角形性质应用的典型基础题，涵盖线段长度计算、直线位置关系判定两类常考题型，解题核心是准确识别全等三角形的对应边和对应角，证明垂直时可通过推导夹角为90°完成，必要时可通过添加辅助线构造三角形推导角的数量关系。
【难度系数】
0.7
