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一、选择题
1. 两个连续奇数的积为99,设其中较小的一个奇数为x,则可得方程为(
A.$x(x-2)=99$
B.$x(x+2)=99$
C.$x(x-1)=99$
D.$(2x-1)(2x+1)=99$
1. 两个连续奇数的积为99,设其中较小的一个奇数为x,则可得方程为(
B
)A.$x(x-2)=99$
B.$x(x+2)=99$
C.$x(x-1)=99$
D.$(2x-1)(2x+1)=99$
答案
1. B
解析
【分析】
解题时首先要明确连续奇数的特征：相邻两个奇数的差为2。已知较小的奇数为x，那么较大的连续奇数就可以表示为x+2，再根据“两个连续奇数的积为99”这个等量关系，就能列出对应的方程，再匹配选项即可得到答案。
【解析】
设较小的一个奇数为x，
∵ 相邻两个连续奇数的差为2，
∴ 较大的连续奇数为x+2，
根据题意“两个连续奇数的积为99”，可列方程：
$x(x+2)=99$，
对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
列一元二次方程；奇数的性质
【点评】
本题属于基础题型，重点考查根据实际等量关系列方程的能力，解题的关键是掌握连续奇数的表示方法，准确找到题目中的等量关系。
【难度系数】
0.9
解题时首先要明确连续奇数的特征：相邻两个奇数的差为2。已知较小的奇数为x，那么较大的连续奇数就可以表示为x+2，再根据“两个连续奇数的积为99”这个等量关系，就能列出对应的方程，再匹配选项即可得到答案。
【解析】
设较小的一个奇数为x，
∵ 相邻两个连续奇数的差为2，
∴ 较大的连续奇数为x+2，
根据题意“两个连续奇数的积为99”，可列方程：
$x(x+2)=99$，
对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
列一元二次方程；奇数的性质
【点评】
本题属于基础题型，重点考查根据实际等量关系列方程的能力，解题的关键是掌握连续奇数的表示方法，准确找到题目中的等量关系。
【难度系数】
0.9
2. 把长为1米的木条分成两段，使较短一段的长与全长的积，等于较长一段的长的平方，求较短一段的长$x$. 根据此问题，列出关于$x$的方程，并将所列方程化成一元二次方程的一般形式正确的是(
A.$x^2 + x -1=0$
B.$x^2 - x +1=0$
C.$x^2 -3x +1=0$
D.$x^2 +3x -1=0$
C
)A.$x^2 + x -1=0$
B.$x^2 - x +1=0$
C.$x^2 -3x +1=0$
D.$x^2 +3x -1=0$
答案
2. C
解析
【分析】
解题时首先要明确各量的表示：已知较短一段长为x，全长为1米，因此较长一段的长为(1-x)米。接下来抓住题目给出的核心等量关系“较短一段的长与全长的积 = 较长一段的长的平方”，将对应量代入等量关系列出方程，再通过整式运算整理为一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，最后匹配选项即可。
【解析】
解：由题意得，较短一段长为$x$米，则较长一段长为$(1-x)$米。
根据等量关系列方程：
$x × 1 = (1-x)^2$
展开等号右侧的完全平方：
$x = 1 - 2x + x^2$
将所有项移到等号左侧整理为一般形式：
$x^2 - 2x + 1 - x = 0$
合并同类项得：
$x^2 - 3x + 1 = 0$
对应选项为C。
【答案】
C
【知识点】
列一元二次方程；完全平方公式；一元二次方程的一般形式
【点评】
本题属于实际问题列一元二次方程的基础题型，解题核心是准确提取题干中的等量关系，正确表示未知量，整理方程时注意移项的符号规则，即可快速得出正确结果。
【难度系数】
0.7
解题时首先要明确各量的表示：已知较短一段长为x，全长为1米，因此较长一段的长为(1-x)米。接下来抓住题目给出的核心等量关系“较短一段的长与全长的积 = 较长一段的长的平方”，将对应量代入等量关系列出方程，再通过整式运算整理为一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，最后匹配选项即可。
【解析】
解：由题意得，较短一段长为$x$米，则较长一段长为$(1-x)$米。
根据等量关系列方程：
$x × 1 = (1-x)^2$
展开等号右侧的完全平方：
$x = 1 - 2x + x^2$
将所有项移到等号左侧整理为一般形式：
$x^2 - 2x + 1 - x = 0$
合并同类项得：
$x^2 - 3x + 1 = 0$
对应选项为C。
【答案】
C
【知识点】
列一元二次方程；完全平方公式；一元二次方程的一般形式
【点评】
本题属于实际问题列一元二次方程的基础题型，解题核心是准确提取题干中的等量关系，正确表示未知量，整理方程时注意移项的符号规则，即可快速得出正确结果。
【难度系数】
0.7
3.《九章算术》中有这样一题:“今有二人同所立.甲行率五,乙行率二.乙东行,甲南行八步而斜东北与乙会.问甲乙行各几何.”大意是说:甲、乙两人同时从同一地点出发,甲的速度为5步/秒,乙的速度为2步/秒.乙一直往东走,甲先向南走8步(步是古代的长度单位),后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇.那么相遇时甲乙各走了多少步?设甲乙二人从出发到相遇所用的时间是$x$秒,下列方程正确的是(
A.$(2x)^2 + 8^2 = (5x - 8)^2$
B.$(2x)^2 + 8^2 = (5x)^2$
C.$(5x)^2 + 8^2 = (2x - 8)^2$
D.$(2x)^2 = (5x - 8)^2 + 8^2$
A
)A.$(2x)^2 + 8^2 = (5x - 8)^2$
B.$(2x)^2 + 8^2 = (5x)^2$
C.$(5x)^2 + 8^2 = (2x - 8)^2$
D.$(2x)^2 = (5x - 8)^2 + 8^2$
答案
3. A
解析
【分析】
解题时先结合行程公式“路程=速度×时间”表示出甲乙的总路程，再分析两人的行走路径：乙向东走的路程、甲向南走的8步、甲斜向走的路程恰好构成直角三角形的三条边，其中两条直角边为乙向东走的路程和甲向南走的8步，斜边为甲斜向走的路程，最后根据勾股定理列方程即可匹配正确选项。
【解析】
设甲乙二人从出发到相遇所用的时间是$x$秒，根据路程=速度×时间可得：
1. 乙一直向东走，总路程为$2x$步；
2. 甲的总路程为$5x$步，已知甲先向南走了8步，因此甲斜向北偏东走的路程为$(5x-8)$步。
两人的行走路径构成直角三角形，两条直角边长度分别为$2x$步、8步，斜边长度为$(5x-8)$步，根据勾股定理“直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方”，可列方程：
$(2x)^2 + 8^2 = (5x - 8)^2$
因此正确选项为A。
【答案】
A
【知识点】
勾股定理应用，行程问题，列方程解应用题
【点评】
本题结合古代数学经典问题出题，既考查了数学文化，又综合了行程问题计算和勾股定理的实际应用，解题的核心是准确梳理直角三角形的三条边长对应量，属于常考的基础应用型题目。
【难度系数】
0.7
解题时先结合行程公式“路程=速度×时间”表示出甲乙的总路程，再分析两人的行走路径：乙向东走的路程、甲向南走的8步、甲斜向走的路程恰好构成直角三角形的三条边，其中两条直角边为乙向东走的路程和甲向南走的8步，斜边为甲斜向走的路程，最后根据勾股定理列方程即可匹配正确选项。
【解析】
设甲乙二人从出发到相遇所用的时间是$x$秒，根据路程=速度×时间可得：
1. 乙一直向东走，总路程为$2x$步；
2. 甲的总路程为$5x$步，已知甲先向南走了8步，因此甲斜向北偏东走的路程为$(5x-8)$步。
两人的行走路径构成直角三角形，两条直角边长度分别为$2x$步、8步，斜边长度为$(5x-8)$步，根据勾股定理“直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方”，可列方程：
$(2x)^2 + 8^2 = (5x - 8)^2$
因此正确选项为A。
【答案】
A
【知识点】
勾股定理应用，行程问题，列方程解应用题
【点评】
本题结合古代数学经典问题出题，既考查了数学文化，又综合了行程问题计算和勾股定理的实际应用，解题的核心是准确梳理直角三角形的三条边长对应量，属于常考的基础应用型题目。
【难度系数】
0.7
4. 如图1是一个简单的数值运算程序.当输出结果为-48时，输入x的值为(
A.3或-3
B.6或-2
C.1或3
D.48
B
)A.3或-3
B.6或-2
C.1或3
D.48
答案
4. B
解析
【分析】
解答本题的核心是先根据数值运算程序的运算逻辑，建立输入x与输出结果的等量关系，列出一元二次方程，再用直接开平方法求解方程，即可得到x的取值。解题时需注意开平方后会得到两个互为相反数的结果，不要漏解。
【解析】
根据数值运算程序的运算规则，可列出关于x的一元二次方程：
$-3(x-2)^2=-48$
步骤1：方程两边同时除以$-3$，得：
$(x-2)^2=16$
步骤2：对等式两边直接开平方，得：
$x-2=\pm4$
步骤3：分两种情况计算：
① 当$x-2=4$时，解得$x=6$；
② 当$x-2=-4$时，解得$x=-2$。
综上，输入x的值为6或-2。
【答案】
B
【知识点】
1. 列一元二次方程
2. 直接开平方法解方程
3. 一元二次方程的解
【点评】
本题结合数值运算程序考查一元二次方程的应用与求解，属于基础常考题，解题关键是准确根据运算规则列出方程，求解时注意不要漏掉负根。
【难度系数】
0.7
解答本题的核心是先根据数值运算程序的运算逻辑，建立输入x与输出结果的等量关系，列出一元二次方程，再用直接开平方法求解方程，即可得到x的取值。解题时需注意开平方后会得到两个互为相反数的结果，不要漏解。
【解析】
根据数值运算程序的运算规则，可列出关于x的一元二次方程：
$-3(x-2)^2=-48$
步骤1：方程两边同时除以$-3$，得：
$(x-2)^2=16$
步骤2：对等式两边直接开平方，得：
$x-2=\pm4$
步骤3：分两种情况计算：
① 当$x-2=4$时，解得$x=6$；
② 当$x-2=-4$时，解得$x=-2$。
综上，输入x的值为6或-2。
【答案】
B
【知识点】
1. 列一元二次方程
2. 直接开平方法解方程
3. 一元二次方程的解
【点评】
本题结合数值运算程序考查一元二次方程的应用与求解，属于基础常考题，解题关键是准确根据运算规则列出方程，求解时注意不要漏掉负根。
【难度系数】
0.7
5. 如图2是某停车场的平面示意图,停车场外围的长为30 m,宽为18 m.停车场内车道的宽都相等,停车位总占地面积为288 m².设车道的宽为x m,可列方程为(
A.$(30 - x)(18 - 2x)=288$
B.$(30 - x)(18 - x)=288$
C.$(30 - 2x)(18 - x)=288$
D.$(30 - 2x)(18 - 2x)=288$
B
)A.$(30 - x)(18 - 2x)=288$
B.$(30 - x)(18 - x)=288$
C.$(30 - 2x)(18 - x)=288$
D.$(30 - 2x)(18 - 2x)=288$
答案
5. B
解析
【分析】
这道题属于实际场景中的面积列方程问题，解题核心思路是用平移法简化图形：我们可以把停车场内的所有车道平移到停车场的边缘位置，原本被车道分割的零散停车位区域就会拼成一个完整的规则矩形，只需要求出这个矩形的长和宽，再结合矩形面积公式就能列出对应方程。首先判断车道的数量：停车场内纵向（沿宽方向延伸）的车道共1条，会占用长方向的x长度；横向（沿长方向延伸）的车道共1条，会占用宽方向的x宽度，由此就能得到停车位矩形的长和宽。
【解析】
解：利用平移法，将停车场内的车道分别平移到停车场的边缘，剩余停车位区域可拼成一个长方形。
该长方形的长 = 外围长 - 车道宽度 = $\boldsymbol{(30 - x) \ \mathrm{m}}$
该长方形的宽 = 外围宽 - 车道宽度 = $\boldsymbol{(18 - x) \ \mathrm{m}}$
已知停车位总占地面积为$288 \ \mathrm{m}^2$，根据长方形面积公式“面积=长×宽”，可列方程：
$(30 - x)(18 - x) = 288$
因此选B选项。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程实际应用；平移法求面积；矩形面积计算
【点评】
本题是面积类方程应用的基础题型，通过平移法将不规则的待求面积区域转化为规则矩形是解题的关键，解题时要注意准确识别车道的数量，避免错误增减长度参数。
【难度系数】
0.7
这道题属于实际场景中的面积列方程问题，解题核心思路是用平移法简化图形：我们可以把停车场内的所有车道平移到停车场的边缘位置，原本被车道分割的零散停车位区域就会拼成一个完整的规则矩形，只需要求出这个矩形的长和宽，再结合矩形面积公式就能列出对应方程。首先判断车道的数量：停车场内纵向（沿宽方向延伸）的车道共1条，会占用长方向的x长度；横向（沿长方向延伸）的车道共1条，会占用宽方向的x宽度，由此就能得到停车位矩形的长和宽。
【解析】
解：利用平移法，将停车场内的车道分别平移到停车场的边缘，剩余停车位区域可拼成一个长方形。
该长方形的长 = 外围长 - 车道宽度 = $\boldsymbol{(30 - x) \ \mathrm{m}}$
该长方形的宽 = 外围宽 - 车道宽度 = $\boldsymbol{(18 - x) \ \mathrm{m}}$
已知停车位总占地面积为$288 \ \mathrm{m}^2$，根据长方形面积公式“面积=长×宽”，可列方程：
$(30 - x)(18 - x) = 288$
因此选B选项。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程实际应用；平移法求面积；矩形面积计算
【点评】
本题是面积类方程应用的基础题型，通过平移法将不规则的待求面积区域转化为规则矩形是解题的关键，解题时要注意准确识别车道的数量，避免错误增减长度参数。
【难度系数】
0.7
二、填空题
1. 一个矩形的长比宽多1 cm，面积是132 $\mathrm{cm}^2$，矩形的长和宽各是
1. 一个矩形的长比宽多1 cm，面积是132 $\mathrm{cm}^2$，矩形的长和宽各是
12 cm,11 cm
。答案
1. 12 cm,11 cm
解析
【分析】
本题是一元二次方程在几何面积问题中的应用，解题思路如下：①明确等量关系：矩形面积=长×宽；②设未知量：已知长比宽多1cm，设宽为x cm，则长可表示为(x+1)cm；③将长、宽和已知面积代入等量关系，列出一元二次方程；④求解方程后，结合边长为正数的实际要求舍去不符合题意的根，最终得到长和宽的数值。
【解析】
解：设矩形的宽为$ x $ cm，则长为$ (x+1) $ cm。
根据矩形面积公式列方程：
$ x(x+1)=132 $
整理得：$ x^2 + x - 132 = 0 $
因式分解得：$ (x+12)(x-11)=0 $
解得：$ x_1=11 $，$ x_2=-12 $
∵矩形边长不能为负数，
∴舍去$ x=-12 $
则矩形的宽为11 cm，长为$ 11+1=12 $ cm。
【答案】
12 cm，11 cm
【知识点】
1. 一元二次方程的实际应用
2. 矩形面积计算
【点评】
本题是一元二次方程实际应用的基础题，解题关键是结合几何图形的面积公式找到等量关系列方程，求解后要注意验证解是否符合实际意义。
【难度系数】
0.8
本题是一元二次方程在几何面积问题中的应用，解题思路如下：①明确等量关系：矩形面积=长×宽；②设未知量：已知长比宽多1cm，设宽为x cm，则长可表示为(x+1)cm；③将长、宽和已知面积代入等量关系，列出一元二次方程；④求解方程后，结合边长为正数的实际要求舍去不符合题意的根，最终得到长和宽的数值。
【解析】
解：设矩形的宽为$ x $ cm，则长为$ (x+1) $ cm。
根据矩形面积公式列方程：
$ x(x+1)=132 $
整理得：$ x^2 + x - 132 = 0 $
因式分解得：$ (x+12)(x-11)=0 $
解得：$ x_1=11 $，$ x_2=-12 $
∵矩形边长不能为负数，
∴舍去$ x=-12 $
则矩形的宽为11 cm，长为$ 11+1=12 $ cm。
【答案】
12 cm，11 cm
【知识点】
1. 一元二次方程的实际应用
2. 矩形面积计算
【点评】
本题是一元二次方程实际应用的基础题，解题关键是结合几何图形的面积公式找到等量关系列方程，求解后要注意验证解是否符合实际意义。
【难度系数】
0.8
2. 两个连续自然数的平方和为41，设较小的自然数为x，根据题意列出方程为
$x^2+(x+1)^2=41$
.答案
2. $x^2+(x+1)^2=41$
解析
【分析】
解题时首先明确连续自然数的特征：相邻两个自然数相差1。已知设较小的自然数为x，那么较大的连续自然数就为x+1；再抓住题目给出的等量关系“两个连续自然数的平方和为41”，平方和是指两个数先分别求平方再相加，将两个数的平方相加等于41即可列出方程。
【解析】
1. 表示较大的连续自然数：设较小的自然数为x，两个数是连续自然数，因此较大的自然数为$x+1$；
2. 根据等量关系列方程：两个数的平方和为41，即较小数的平方加较大数的平方等于41，代入得方程：$x^2+(x+1)^2=41$。
【答案】
$x^2+(x+1)^2=41$
【知识点】
1. 列一元二次方程
2. 连续自然数的表示
3. 等量关系分析
【点评】
本题是基础类应用题，核心考查根据实际问题列方程的能力，解题关键是正确表示相邻连续自然数，准确理解“平方和”的含义，找准等量关系即可快速解题。
【难度系数】
0.9
解题时首先明确连续自然数的特征：相邻两个自然数相差1。已知设较小的自然数为x，那么较大的连续自然数就为x+1；再抓住题目给出的等量关系“两个连续自然数的平方和为41”，平方和是指两个数先分别求平方再相加，将两个数的平方相加等于41即可列出方程。
【解析】
1. 表示较大的连续自然数：设较小的自然数为x，两个数是连续自然数，因此较大的自然数为$x+1$；
2. 根据等量关系列方程：两个数的平方和为41，即较小数的平方加较大数的平方等于41，代入得方程：$x^2+(x+1)^2=41$。
【答案】
$x^2+(x+1)^2=41$
【知识点】
1. 列一元二次方程
2. 连续自然数的表示
3. 等量关系分析
【点评】
本题是基础类应用题，核心考查根据实际问题列方程的能力，解题关键是正确表示相邻连续自然数，准确理解“平方和”的含义，找准等量关系即可快速解题。
【难度系数】
0.9
