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二、填空题
1. 若长方形的长和宽分别是关于x的方程$2x^2 -8x +3=0$的两个根，则长方形的周长是
1. 若长方形的长和宽分别是关于x的方程$2x^2 -8x +3=0$的两个根，则长方形的周长是
8
.答案
1. 8
解析
【分析】
首先回忆长方形周长公式：周长=2×(长+宽)，因此只需得到长与宽的和即可求出周长。已知长和宽是给定一元二次方程的两个根，无需解方程求出根的具体值，直接利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）求出两根之和，再代入周长公式计算即可，能极大简化运算过程。
【解析】
设长方形的长为$x_1$，宽为$x_2$。
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，两根之和满足关系：$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$。
在方程$2x^2-8x+3=0$中，$a=2$，$b=-8$，代入得：
$x_1+x_2=-\frac{-8}{2}=4$
再代入长方形周长公式：
周长$=2×(x_1+x_2)=2×4=8$
【答案】
8
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 长方形周长计算
【点评】
本题是根与系数关系的基础应用题型，解题核心是结合所求量的特征，灵活选用韦达定理简化运算，无需计算根的具体数值或两根之积即可得到结果。
【难度系数】
0.8
首先回忆长方形周长公式：周长=2×(长+宽)，因此只需得到长与宽的和即可求出周长。已知长和宽是给定一元二次方程的两个根，无需解方程求出根的具体值，直接利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）求出两根之和，再代入周长公式计算即可，能极大简化运算过程。
【解析】
设长方形的长为$x_1$，宽为$x_2$。
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，两根之和满足关系：$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$。
在方程$2x^2-8x+3=0$中，$a=2$，$b=-8$，代入得：
$x_1+x_2=-\frac{-8}{2}=4$
再代入长方形周长公式：
周长$=2×(x_1+x_2)=2×4=8$
【答案】
8
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 长方形周长计算
【点评】
本题是根与系数关系的基础应用题型，解题核心是结合所求量的特征，灵活选用韦达定理简化运算，无需计算根的具体数值或两根之积即可得到结果。
【难度系数】
0.8
2. 关于x的方程$x^2 + kx + 4 = 0$有两个不相等的正整数根，则整数k的值是
-5
。答案
2. -5
解析
【分析】
解题时首先明确题目给出一元二次方程有两个不相等的正整数根，优先考虑用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）求解：第一步设出两个正整数根，第二步根据两根之积为4列举所有正整数因数对，第三步结合“两根不相等”的条件筛选出符合要求的根，第四步通过两根之和求出k的取值，最后可借助根的判别式验证结果是否符合题意。
【解析】
设方程$x^2 + kx + 4 = 0$的两个不相等正整数根为$m$、$n$（$m ≠ n$，且$m$、$n$均为正整数）。
根据一元二次方程根与系数的关系可得：
两根之积：$mn = \frac{c}{a} = \frac{4}{1} = 4$，
两根之和：$m + n = -\frac{b}{a} = -k$。
列举4的正整数因数对：$4 = 1 × 4 = 2 × 2$，
因为两根不相等，所以舍去$m = n = 2$的情况，取$m=1$，$n=4$（顺序不影响求和结果）。
则$m + n = 1 + 4 = 5$，代入两根之和的关系得：$-k = 5$，解得$k = -5$。
验证判别式：$\Delta = k^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 × 1 × 4 = 25 - 16 = 9 ＞ 0$，符合方程有两个不相等实根的条件，结果成立。
【答案】
$-5$
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 一元二次方程根的判别式
【点评】
本题重点考查韦达定理的实际应用，解题核心是通过两根之积的固定值锁定正整数根的可能取值，结合题干限制条件筛选后即可快速求出参数，解题时可通过判别式验证结果是否符合根的数量要求，避免疏漏。
【难度系数】
0.7
解题时首先明确题目给出一元二次方程有两个不相等的正整数根，优先考虑用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）求解：第一步设出两个正整数根，第二步根据两根之积为4列举所有正整数因数对，第三步结合“两根不相等”的条件筛选出符合要求的根，第四步通过两根之和求出k的取值，最后可借助根的判别式验证结果是否符合题意。
【解析】
设方程$x^2 + kx + 4 = 0$的两个不相等正整数根为$m$、$n$（$m ≠ n$，且$m$、$n$均为正整数）。
根据一元二次方程根与系数的关系可得：
两根之积：$mn = \frac{c}{a} = \frac{4}{1} = 4$，
两根之和：$m + n = -\frac{b}{a} = -k$。
列举4的正整数因数对：$4 = 1 × 4 = 2 × 2$，
因为两根不相等，所以舍去$m = n = 2$的情况，取$m=1$，$n=4$（顺序不影响求和结果）。
则$m + n = 1 + 4 = 5$，代入两根之和的关系得：$-k = 5$，解得$k = -5$。
验证判别式：$\Delta = k^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 × 1 × 4 = 25 - 16 = 9 ＞ 0$，符合方程有两个不相等实根的条件，结果成立。
【答案】
$-5$
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 一元二次方程根的判别式
【点评】
本题重点考查韦达定理的实际应用，解题核心是通过两根之积的固定值锁定正整数根的可能取值，结合题干限制条件筛选后即可快速求出参数，解题时可通过判别式验证结果是否符合根的数量要求，避免疏漏。
【难度系数】
0.7
3. 已知$x_1$、$x_2$分别为$x^2 -5x +a=0$的两根，$x_1^2 -x_2^2=20$，则$a$的值为
$\frac{9}{4}$
。答案
3. $\frac{9}{4}$
解析
【分析】
解题时首先回忆一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），先根据方程写出两根之和与两根之积的表达式；再对已知条件$x_1^2 - x_2^2=20$利用平方差公式因式分解，将两根之和代入即可求出两根之差的值；最后利用完全平方公式的变形：$(x_1-x_2)^2=(x_1+x_2)^2-4x_1x_2$，代入已知数值即可建立关于$a$的方程，求解得到$a$的值。
【解析】
解：
∵$x_1$、$x_2$是方程$x^2 -5x +a=0$的两根，
∴根据一元二次方程根与系数的关系可得：
$x_1 + x_2 = 5$，$x_1x_2 = a$。
已知$x_1^2 - x_2^2 = 20$，由平方差公式因式分解得：
$(x_1 - x_2)(x_1 + x_2) = 20$，
将$x_1 + x_2 = 5$代入上式得：
$5(x_1 - x_2) = 20$，
解得$x_1 - x_2 = 4$。
将上式两边同时平方得：$(x_1 - x_2)^2 = 16$，
由完全平方公式变形可知$(x_1 - x_2)^2 = (x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2$，
代入$x_1 + x_2 = 5$、$x_1x_2 = a$得：
$5^2 - 4a = 16$，
即$25 - 4a = 16$，
移项计算得$4a = 9$，
解得$a = \frac{9}{4}$。
【答案】
$\frac{9}{4}$
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 平方差公式
3. 完全平方公式变形
【点评】
本题核心是考查韦达定理与代数恒等变形的结合应用，解题的突破口是对平方差形式的已知条件进行因式分解，再通过完全平方的变形搭建未知参数与已知量的关联，需要学生熟练掌握常见的代数变形公式。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），先根据方程写出两根之和与两根之积的表达式；再对已知条件$x_1^2 - x_2^2=20$利用平方差公式因式分解，将两根之和代入即可求出两根之差的值；最后利用完全平方公式的变形：$(x_1-x_2)^2=(x_1+x_2)^2-4x_1x_2$，代入已知数值即可建立关于$a$的方程，求解得到$a$的值。
【解析】
解：
∵$x_1$、$x_2$是方程$x^2 -5x +a=0$的两根，
∴根据一元二次方程根与系数的关系可得：
$x_1 + x_2 = 5$，$x_1x_2 = a$。
已知$x_1^2 - x_2^2 = 20$，由平方差公式因式分解得：
$(x_1 - x_2)(x_1 + x_2) = 20$，
将$x_1 + x_2 = 5$代入上式得：
$5(x_1 - x_2) = 20$，
解得$x_1 - x_2 = 4$。
将上式两边同时平方得：$(x_1 - x_2)^2 = 16$，
由完全平方公式变形可知$(x_1 - x_2)^2 = (x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2$，
代入$x_1 + x_2 = 5$、$x_1x_2 = a$得：
$5^2 - 4a = 16$，
即$25 - 4a = 16$，
移项计算得$4a = 9$，
解得$a = \frac{9}{4}$。
【答案】
$\frac{9}{4}$
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 平方差公式
3. 完全平方公式变形
【点评】
本题核心是考查韦达定理与代数恒等变形的结合应用，解题的突破口是对平方差形式的已知条件进行因式分解，再通过完全平方的变形搭建未知参数与已知量的关联，需要学生熟练掌握常见的代数变形公式。
【难度系数】
0.7
4. 已知关于x的一元二次方程$x^2 - (2k - 1)x + k^2 + k - 1 = 0$两实数根$x_1, x_2$满足$x_1^2 + x_2^2 = 11$，则k的值为
-1
。答案
4. -1
解析
【分析】
本题考查一元二次方程根与系数的关系及根的判别式的应用，解题思路如下：第一步，因为方程有两个实数根，所以首先利用根的判别式Δ≥0求出k的取值范围，避免后续出现增根；第二步，利用完全平方公式将$x_1^2+x_2^2$转化为与两根之和、两根之积相关的表达式，即$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2$；第三步，根据根与系数的关系求出$x_1+x_2$和$x_1x_2$关于k的表达式，代入等式$x_1^2+x_2^2=11$求解k的值；第四步，将求得的k值代入之前求出的取值范围检验，舍去不符合要求的解，得到最终结果。
【解析】
解：
∵ 关于x的一元二次方程$x^2 - (2k - 1)x + k^2 + k - 1 = 0$有两个实数根，
∴ 根的判别式$\Delta ≥ 0$，
即$\Delta = [-(2k-1)]^2 - 4 × 1 × (k^2 + k - 1)$
$= 4k^2 - 4k + 1 - 4k^2 - 4k + 4$
$= -8k + 5 ≥ 0$，
解得 $k ≤ \frac{5}{8}$。
根据根与系数的关系可得：
$x_1 + x_2 = 2k - 1$，$x_1x_2 = k^2 + k - 1$，
又
∵ $x_1^2 + x_2^2 = 11$，且$x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$，
∴ 代入得：$(2k-1)^2 - 2(k^2 + k - 1) = 11$，
展开整理得：$4k^2 - 4k + 1 - 2k^2 - 2k + 2 = 11$，
即 $2k^2 - 6k - 8 = 0$，
化简得 $k^2 - 3k - 4 = 0$，
因式分解得 $(k - 4)(k + 1) = 0$，
解得 $k = 4$ 或 $k = -1$。
∵ $k ≤ \frac{5}{8}$，$4 ＞ \frac{5}{8}$不符合要求，舍去，
∴ $k = -1$。
【答案】
-1
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 根与系数的关系
3. 完全平方公式变形
【点评】
本题是一元二次方程根与系数关系的常规应用题型，解题的易错点是容易忽略方程有实根的前提条件，不对求得的k值进行检验，导致出现增根，解题时要牢记先确定参数的取值范围，再进行求解和验证。
【难度系数】
0.6
本题考查一元二次方程根与系数的关系及根的判别式的应用，解题思路如下：第一步，因为方程有两个实数根，所以首先利用根的判别式Δ≥0求出k的取值范围，避免后续出现增根；第二步，利用完全平方公式将$x_1^2+x_2^2$转化为与两根之和、两根之积相关的表达式，即$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2$；第三步，根据根与系数的关系求出$x_1+x_2$和$x_1x_2$关于k的表达式，代入等式$x_1^2+x_2^2=11$求解k的值；第四步，将求得的k值代入之前求出的取值范围检验，舍去不符合要求的解，得到最终结果。
【解析】
解：
∵ 关于x的一元二次方程$x^2 - (2k - 1)x + k^2 + k - 1 = 0$有两个实数根，
∴ 根的判别式$\Delta ≥ 0$，
即$\Delta = [-(2k-1)]^2 - 4 × 1 × (k^2 + k - 1)$
$= 4k^2 - 4k + 1 - 4k^2 - 4k + 4$
$= -8k + 5 ≥ 0$，
解得 $k ≤ \frac{5}{8}$。
根据根与系数的关系可得：
$x_1 + x_2 = 2k - 1$，$x_1x_2 = k^2 + k - 1$，
又
∵ $x_1^2 + x_2^2 = 11$，且$x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$，
∴ 代入得：$(2k-1)^2 - 2(k^2 + k - 1) = 11$，
展开整理得：$4k^2 - 4k + 1 - 2k^2 - 2k + 2 = 11$，
即 $2k^2 - 6k - 8 = 0$，
化简得 $k^2 - 3k - 4 = 0$，
因式分解得 $(k - 4)(k + 1) = 0$，
解得 $k = 4$ 或 $k = -1$。
∵ $k ≤ \frac{5}{8}$，$4 ＞ \frac{5}{8}$不符合要求，舍去，
∴ $k = -1$。
【答案】
-1
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 根与系数的关系
3. 完全平方公式变形
【点评】
本题是一元二次方程根与系数关系的常规应用题型，解题的易错点是容易忽略方程有实根的前提条件，不对求得的k值进行检验，导致出现增根，解题时要牢记先确定参数的取值范围，再进行求解和验证。
【难度系数】
0.6
三、解答题
1. 已知$x_1,x_2$是关于$x$的一元二次方程$x^2+px+q=0$的两个根，分别根据下列条件求出$p$、$q$的值.
(1)$x_1=3,x_2=4$；
(2)$x_1=-2+\sqrt{3},x_2=-2-\sqrt{3}$.
1. 已知$x_1,x_2$是关于$x$的一元二次方程$x^2+px+q=0$的两个根，分别根据下列条件求出$p$、$q$的值.
(1)$x_1=3,x_2=4$；
(2)$x_1=-2+\sqrt{3},x_2=-2-\sqrt{3}$.
答案
1. (1) p=-7,q=12 (2) p=4,q=1
解析
【分析】
本题考查一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）的应用，解题思路如下：首先明确对于二次项系数为1的一元二次方程$x^2+px+q=0$，若两根为$x_1$、$x_2$，则满足两根之和$x_1+x_2=-p$，两根之积$x_1x_2=q$。我们只需要分别计算每小问中两个根的和与积，代入上述关系即可求出对应的$p$和$q$的值，计算第二小问的两根乘积时可利用平方差公式简化运算。
【解析】
对于一元二次方程$x^2+px+q=0$，若两根为$x_1$、$x_2$，由根与系数的关系可得：
$\begin{cases}x_1+x_2=-p \\x_1x_2=q \end{cases}$
(1) 当$x_1=3$，$x_2=4$时：
两根之和：$x_1+x_2=3+4=7$，即$-p=7$，解得$p=-7$；
两根之积：$x_1x_2=3×4=12$，即$q=12$。
(2) 当$x_1=-2+\sqrt{3}$，$x_2=-2-\sqrt{3}$时：
两根之和：$x_1+x_2=(-2+\sqrt{3})+(-2-\sqrt{3})=-4$，即$-p=-4$，解得$p=4$；
两根之积：$x_1x_2=(-2+\sqrt{3})(-2-\sqrt{3})=(-2)^2-(\sqrt{3})^2=4-3=1$，即$q=1$。
【答案】
(1) $p=-7,q=12$；(2) $p=4,q=1$
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 平方差公式
3. 二次根式运算
【点评】
本题是根与系数关系的基础应用题型，核心考查对韦达定理的掌握程度和基本代数运算能力，计算带根式的两根乘积时，巧用平方差公式可有效简化计算步骤，减少运算错误。
【难度系数】
0.85
本题考查一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）的应用，解题思路如下：首先明确对于二次项系数为1的一元二次方程$x^2+px+q=0$，若两根为$x_1$、$x_2$，则满足两根之和$x_1+x_2=-p$，两根之积$x_1x_2=q$。我们只需要分别计算每小问中两个根的和与积，代入上述关系即可求出对应的$p$和$q$的值，计算第二小问的两根乘积时可利用平方差公式简化运算。
【解析】
对于一元二次方程$x^2+px+q=0$，若两根为$x_1$、$x_2$，由根与系数的关系可得：
$\begin{cases}x_1+x_2=-p \\x_1x_2=q \end{cases}$
(1) 当$x_1=3$，$x_2=4$时：
两根之和：$x_1+x_2=3+4=7$，即$-p=7$，解得$p=-7$；
两根之积：$x_1x_2=3×4=12$，即$q=12$。
(2) 当$x_1=-2+\sqrt{3}$，$x_2=-2-\sqrt{3}$时：
两根之和：$x_1+x_2=(-2+\sqrt{3})+(-2-\sqrt{3})=-4$，即$-p=-4$，解得$p=4$；
两根之积：$x_1x_2=(-2+\sqrt{3})(-2-\sqrt{3})=(-2)^2-(\sqrt{3})^2=4-3=1$，即$q=1$。
【答案】
(1) $p=-7,q=12$；(2) $p=4,q=1$
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 平方差公式
3. 二次根式运算
【点评】
本题是根与系数关系的基础应用题型，核心考查对韦达定理的掌握程度和基本代数运算能力，计算带根式的两根乘积时，巧用平方差公式可有效简化计算步骤，减少运算错误。
【难度系数】
0.85
2. 已知关于$x$的一元二次方程$x^2+2x-m=0$.
(1)若该方程有一个根为$x=2$,求方程的另一个根;
(2)若该方程有两个相等的实数根,求$m$的值.
(1)若该方程有一个根为$x=2$,求方程的另一个根;
(2)若该方程有两个相等的实数根,求$m$的值.
答案
2. (1) 该方程的另一个根为-4 (2) m=-1
解析
【分析】
(1) 已知一元二次方程的一个根求另一个根，可直接用根与系数的关系（韦达定理）计算，无需先求参数m，能简化计算。首先确定方程的二次项系数a和一次项系数b，再根据两根之和等于$-\frac{b}{a}$列式，即可求出另一根。
(2) 当一元二次方程有两个相等的实数根时，满足判别式$\Delta=0$的性质，只需将方程各项系数代入判别式公式，列方程求解即可得到m的值。
【解析】
(1) 设方程的另一个根为$x_1$，
对于方程$x^2+2x-m=0$，二次项系数$a=1$，一次项系数$b=2$，
根据根与系数的关系可得：$x_1 + 2 = -\frac{b}{a} = -2$，
解得$x_1 = -2 - 2 = -4$。
(2) 因为方程有两个相等的实数根，所以判别式$\Delta = b^2 - 4ac = 0$，
代入$a=1$、$b=2$、$c=-m$得：$2^2 - 4×1×(-m) = 0$，
整理得$4 + 4m = 0$，解得$m = -1$。
【答案】
(1) 该方程的另一个根为-4；(2) $m=-1$
【知识点】
根与系数的关系；根的判别式；一元二次方程的解
【点评】
本题属于一元二次方程的基础题型，重点考查韦达定理和根的判别式的应用，熟练掌握相关公式即可快速解题，第一问使用韦达定理可简化计算步骤，提升解题效率。
【难度系数】
0.8
(1) 已知一元二次方程的一个根求另一个根，可直接用根与系数的关系（韦达定理）计算，无需先求参数m，能简化计算。首先确定方程的二次项系数a和一次项系数b，再根据两根之和等于$-\frac{b}{a}$列式，即可求出另一根。
(2) 当一元二次方程有两个相等的实数根时，满足判别式$\Delta=0$的性质，只需将方程各项系数代入判别式公式，列方程求解即可得到m的值。
【解析】
(1) 设方程的另一个根为$x_1$，
对于方程$x^2+2x-m=0$，二次项系数$a=1$，一次项系数$b=2$，
根据根与系数的关系可得：$x_1 + 2 = -\frac{b}{a} = -2$，
解得$x_1 = -2 - 2 = -4$。
(2) 因为方程有两个相等的实数根，所以判别式$\Delta = b^2 - 4ac = 0$，
代入$a=1$、$b=2$、$c=-m$得：$2^2 - 4×1×(-m) = 0$，
整理得$4 + 4m = 0$，解得$m = -1$。
【答案】
(1) 该方程的另一个根为-4；(2) $m=-1$
【知识点】
根与系数的关系；根的判别式；一元二次方程的解
【点评】
本题属于一元二次方程的基础题型，重点考查韦达定理和根的判别式的应用，熟练掌握相关公式即可快速解题，第一问使用韦达定理可简化计算步骤，提升解题效率。
【难度系数】
0.8
3. 已知关于$x$的一元二次方程$x^2 - (m - 2)x + m - 3 = 0$.
(1)求证:无论$m$为何值,该一元二次方程总有实数根;
(2)若方程的两根一正一负,求$m$的取值范围.
(1)求证:无论$m$为何值,该一元二次方程总有实数根;
(2)若方程的两根一正一负,求$m$的取值范围.
答案
3. (1) 略 (2) m＜3
解析
【分析】
(1) 要证明无论m取何值一元二次方程总有实数根，核心是证明根的判别式Δ≥0对任意实数m恒成立。首先明确方程的二次项系数、一次项系数、常数项，代入Δ=b²-4ac的公式化简，再结合完全平方的非负性判断Δ的取值范围即可。
(2) 已知方程两根一正一负，根据一元二次方程根与系数的关系，两根之积为负数；又因为第(1)问已经证明该方程恒有实数根，因此只需根据两根之积小于0列不等式求解m的范围即可。
【解析】
(1) 证明：在一元二次方程$x^2 - (m - 2)x + m - 3 = 0$中，
二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-(m-2)$，常数项$c=m-3$，
则根的判别式：
$\Delta = b^2 - 4ac = [-(m-2)]^2 - 4×1×(m-3)$
$= m^2 -4m +4 -4m +12$
$= m^2 -8m +16$
$= (m-4)^2$
∵ 无论m取何实数，$(m-4)^2 ≥ 0$恒成立，即$\Delta ≥ 0$，
∴ 无论m为何值，该一元二次方程总有实数根。
(2) 解：设方程的两根为$x_1$、$x_2$，
根据根与系数的关系，两根之积$x_1x_2 = \frac{c}{a} = m-3$，
∵ 方程的两根一正一负，
∴ $x_1x_2 ＜ 0$，
即 $m - 3 ＜ 0$，
解得 $m ＜ 3$。
【答案】
(1) 证明见解析；(2) $m ＜ 3$
【知识点】
一元二次方程根的判别式；一元二次方程根与系数的关系
【点评】
本题是一元二次方程的基础应用题，解题的关键是熟练掌握根的判别式的作用以及根与系数的关系的应用，计算判别式时注意符号不要出错，两根正负的判断可直接结合乘积的符号求解。
【难度系数】
0.8
(1) 要证明无论m取何值一元二次方程总有实数根，核心是证明根的判别式Δ≥0对任意实数m恒成立。首先明确方程的二次项系数、一次项系数、常数项，代入Δ=b²-4ac的公式化简，再结合完全平方的非负性判断Δ的取值范围即可。
(2) 已知方程两根一正一负，根据一元二次方程根与系数的关系，两根之积为负数；又因为第(1)问已经证明该方程恒有实数根，因此只需根据两根之积小于0列不等式求解m的范围即可。
【解析】
(1) 证明：在一元二次方程$x^2 - (m - 2)x + m - 3 = 0$中，
二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-(m-2)$，常数项$c=m-3$，
则根的判别式：
$\Delta = b^2 - 4ac = [-(m-2)]^2 - 4×1×(m-3)$
$= m^2 -4m +4 -4m +12$
$= m^2 -8m +16$
$= (m-4)^2$
∵ 无论m取何实数，$(m-4)^2 ≥ 0$恒成立，即$\Delta ≥ 0$，
∴ 无论m为何值，该一元二次方程总有实数根。
(2) 解：设方程的两根为$x_1$、$x_2$，
根据根与系数的关系，两根之积$x_1x_2 = \frac{c}{a} = m-3$，
∵ 方程的两根一正一负，
∴ $x_1x_2 ＜ 0$，
即 $m - 3 ＜ 0$，
解得 $m ＜ 3$。
【答案】
(1) 证明见解析；(2) $m ＜ 3$
【知识点】
一元二次方程根的判别式；一元二次方程根与系数的关系
【点评】
本题是一元二次方程的基础应用题，解题的关键是熟练掌握根的判别式的作用以及根与系数的关系的应用，计算判别式时注意符号不要出错，两根正负的判断可直接结合乘积的符号求解。
【难度系数】
0.8
