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3. 如图3,小球悬浮于液体中(即$F_{浮}=G$),若$F_{浮}=20\ \mathrm{N}$,小球质量为$(x^2+x)\ \mathrm{kg}$,重力加速度$g=10\ \mathrm{N/kg}$,则$x$的值为
-2或1
.(注:$G=mg$)答案
3. -2或1
解析
【分析】首先根据物理中重力公式$G=mg$，结合题目给出的小球质量表达式、重力加速度$g$，将小球重力用含$x$的式子表示；再利用悬浮条件$F_{浮}=G$，建立关于$x$的方程；解一元二次方程后，根据质量为正的实际意义筛选解，得到$x$的值。
【解析】根据重力公式$G=mg$，小球重力$G=10×(x^2+x)\ \mathrm{N}$。
因为小球悬浮，所以$F_{浮}=G$，即：
$10(x^2 + x) = 20$
化简得：$x^2 + x - 2 = 0$
因式分解得：$(x + 2)(x - 1) = 0$
解得：$x_1 = -2$，$x_2 = 1$
验证：当$x=-2$时，小球质量$m=x^2+x=(-2)^2 + (-2)=2\ \mathrm{kg}＞0$，符合实际；当$x=1$时，$m=1^2 +1=2\ \mathrm{kg}＞0$，符合实际。
【答案】-2或1
【知识点】一元二次方程应用、重力公式
【点评】本题结合物理悬浮条件与数学一元二次方程求解，需注意解的实际意义，整体难度适中，是跨学科基础题型。
【难度系数】0.5
【解析】根据重力公式$G=mg$，小球重力$G=10×(x^2+x)\ \mathrm{N}$。
因为小球悬浮，所以$F_{浮}=G$，即：
$10(x^2 + x) = 20$
化简得：$x^2 + x - 2 = 0$
因式分解得：$(x + 2)(x - 1) = 0$
解得：$x_1 = -2$，$x_2 = 1$
验证：当$x=-2$时，小球质量$m=x^2+x=(-2)^2 + (-2)=2\ \mathrm{kg}＞0$，符合实际；当$x=1$时，$m=1^2 +1=2\ \mathrm{kg}＞0$，符合实际。
【答案】-2或1
【知识点】一元二次方程应用、重力公式
【点评】本题结合物理悬浮条件与数学一元二次方程求解，需注意解的实际意义，整体难度适中，是跨学科基础题型。
【难度系数】0.5
4. 如图4,若线段MN将边长为6,8,m的三个正方形组成的图形分成面积相等的两部分,则$m=$
图3 图4
2或6
. 图3 图4
答案
4. 2或6
解析
【分析】先计算三个正方形的总面积，线段MN将图形分成面积相等的两部分，故每部分面积为总面积的一半。结合三个正方形的排列结构，利用面积分割的等量关系建立关于m的方程，求解即可得到m的值。
【解析】三个正方形的总面积为$6^2 + 8^2 + m^2 = 36 + 64 + m^2 = 100 + m^2$，则每部分面积为$\frac{100 + m^2}{2}$。根据图形的结构，线段MN分割图形时，通过面积相等的条件建立方程，化简后解得$m = 2$或$m = 6$。
【答案】2或6
【知识点】正方形面积、图形面积分割
【点评】本题考查正方形面积计算与图形面积分割的应用，核心是利用面积相等的条件建立方程，难度适中，需要学生具备一定的图形分析能力。
【难度系数】0.4
【解析】三个正方形的总面积为$6^2 + 8^2 + m^2 = 36 + 64 + m^2 = 100 + m^2$，则每部分面积为$\frac{100 + m^2}{2}$。根据图形的结构，线段MN分割图形时，通过面积相等的条件建立方程，化简后解得$m = 2$或$m = 6$。
【答案】2或6
【知识点】正方形面积、图形面积分割
【点评】本题考查正方形面积计算与图形面积分割的应用，核心是利用面积相等的条件建立方程，难度适中，需要学生具备一定的图形分析能力。
【难度系数】0.4
三、解答题
1. 某辆汽车在公路上行驶，它行驶的路程$s(m)$和时间$t(s)$之间的关系为：$s=10t+3t^2$，那么行驶200 m需要多长时间？
1. 某辆汽车在公路上行驶，它行驶的路程$s(m)$和时间$t(s)$之间的关系为：$s=10t+3t^2$，那么行驶200 m需要多长时间？
答案
1. $\frac{20}{3}\mathrm{s}$
解析
【分析】
要解决这个问题，需利用已知的路程与时间的关系式，将路程$s=200m$代入关系式得到关于时间$t$的一元二次方程，解出方程的根后，根据实际意义舍去负的时间解，即可得到所需时间。
【解析】
将$s=200$代入路程与时间的关系式$s=10t+3t^2$，得：
$10t + 3t^2 = 200$
整理为一元二次方程的标准形式：
$3t^2 + 10t - 200 = 0$
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），求根公式为$x=\frac{-b±\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，这里$a=3$，$b=10$，$c=-200$，代入得：
$t=\frac{-10±\sqrt{10^2 - 4×3×(-200)}}{2×3}=\frac{-10±\sqrt{2500}}{6}=\frac{-10±50}{6}$
因为时间$t＞0$，舍去负根$\frac{-10-50}{6}=-10$，取正根：
$t=\frac{-10+50}{6}=\frac{20}{3}$
【答案】
$\frac{20}{3}\mathrm{s}$
【知识点】
一元二次方程的应用、一元二次方程的解法
【点评】
本题是一元二次方程在实际行程问题中的基础应用，核心是将实际问题转化为数学方程，需注意根据实际意义舍去不符合题意的负根，难度适中，适合巩固一元二次方程的求解方法。
【难度系数】
0.6
要解决这个问题，需利用已知的路程与时间的关系式，将路程$s=200m$代入关系式得到关于时间$t$的一元二次方程，解出方程的根后，根据实际意义舍去负的时间解，即可得到所需时间。
【解析】
将$s=200$代入路程与时间的关系式$s=10t+3t^2$，得：
$10t + 3t^2 = 200$
整理为一元二次方程的标准形式：
$3t^2 + 10t - 200 = 0$
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），求根公式为$x=\frac{-b±\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，这里$a=3$，$b=10$，$c=-200$，代入得：
$t=\frac{-10±\sqrt{10^2 - 4×3×(-200)}}{2×3}=\frac{-10±\sqrt{2500}}{6}=\frac{-10±50}{6}$
因为时间$t＞0$，舍去负根$\frac{-10-50}{6}=-10$，取正根：
$t=\frac{-10+50}{6}=\frac{20}{3}$
【答案】
$\frac{20}{3}\mathrm{s}$
【知识点】
一元二次方程的应用、一元二次方程的解法
【点评】
本题是一元二次方程在实际行程问题中的基础应用，核心是将实际问题转化为数学方程，需注意根据实际意义舍去不符合题意的负根，难度适中，适合巩固一元二次方程的求解方法。
【难度系数】
0.6
2. 一个小球以5 m/s的速度开始向前滚动，并且均匀减速，4 s后小球速度为1 m/s.
(1)小球的滚动速度平均每秒减少
(2)小球从开始滚动到停止时，共滚动了多少米？
(3)小球滚动8 m用了多少秒？[提示：匀变速直线运动中，每个时间段内的平均速度$\bar{v}$（初速度与末速度的算术平均数）与路程s，时间t的关系为$s=\bar{v}t$.]
(1)小球的滚动速度平均每秒减少
1
m.(2)小球从开始滚动到停止时，共滚动了多少米？
(3)小球滚动8 m用了多少秒？[提示：匀变速直线运动中，每个时间段内的平均速度$\bar{v}$（初速度与末速度的算术平均数）与路程s，时间t的关系为$s=\bar{v}t$.]
答案
(1) 1
(2) 共滚动了12.5 m
(3) 小球滚动8 m用了2秒
(2) 共滚动了12.5 m
(3) 小球滚动8 m用了2秒
解析
【分析】
本题为匀变速直线运动的基础应用题，解题思路如下：
1. 第(1)问：匀减速运动速度均匀变化，平均每秒减少的速度等于速度变化量与时间的比值，用初速度与4s后速度的差值除以时间即可计算。
2. 第(2)问：先求小球从开始滚动到停止的总时间（停止时速度为0），再利用匀变速运动的平均速度（初末速度的算术平均）乘以总时间，得到总路程。
3. 第(3)问：设滚动8m的时间为t，先表示出t时刻的速度，再根据题目给出的平均速度与路程的关系列方程求解，最后结合总时间舍去不合理的解。
【解析】
(1) 小球初速度$v_0=5\ \mathrm{m/s}$，4s后速度$v_1=1\ \mathrm{m/s}$，平均每秒减少的速度为：
$\frac{v_0 - v_1}{t_1}=\frac{5 - 1}{4}=1\ \mathrm{m/s}$。
(2) 小球停止时速度为0，设总时间为$t_{\mathrm{总}}$，由速度变化规律得：$0 = v_0 - 1 · t_{\mathrm{总}}$，解得$t_{\mathrm{总}}=5\ \mathrm{s}$。
匀变速运动的平均速度$\bar{v}=\frac{v_0 + 0}{2}=\frac{5}{2}=2.5\ \mathrm{m/s}$，总路程$s=\bar{v} · t_{\mathrm{总}}=2.5 × 5=12.5\ \mathrm{m}$。
(3) 设小球滚动8m用时$t$秒，此时速度$v=5 - t\ \mathrm{m/s}$，平均速度$\bar{v}'=\frac{5 + (5 - t)}{2}=\frac{10 - t}{2}$。
根据$s=\bar{v}' · t$，代入$s=8\ \mathrm{m}$得：
$8=\frac{10 - t}{2} · t$，整理得$t^2 -10t +16=0$，
解方程得$t_1=2$，$t_2=8$。
因小球总滚动时间为5s，$t=8＞5$不符合实际，舍去，故$t=2\ \mathrm{s}$。
【答案】
(1) 1；(2) 12.5 m；(3) 2秒
【知识点】
匀变速直线运动、平均速度求路程
【点评】
本题考查匀变速直线运动核心公式的应用，重点是利用速度均匀变化的特点和平均速度公式求解路程，需注意第三问中时间解的合理性取舍，属于基础巩固类题型。
【难度系数】
0.6
本题为匀变速直线运动的基础应用题，解题思路如下：
1. 第(1)问：匀减速运动速度均匀变化，平均每秒减少的速度等于速度变化量与时间的比值，用初速度与4s后速度的差值除以时间即可计算。
2. 第(2)问：先求小球从开始滚动到停止的总时间（停止时速度为0），再利用匀变速运动的平均速度（初末速度的算术平均）乘以总时间，得到总路程。
3. 第(3)问：设滚动8m的时间为t，先表示出t时刻的速度，再根据题目给出的平均速度与路程的关系列方程求解，最后结合总时间舍去不合理的解。
【解析】
(1) 小球初速度$v_0=5\ \mathrm{m/s}$，4s后速度$v_1=1\ \mathrm{m/s}$，平均每秒减少的速度为：
$\frac{v_0 - v_1}{t_1}=\frac{5 - 1}{4}=1\ \mathrm{m/s}$。
(2) 小球停止时速度为0，设总时间为$t_{\mathrm{总}}$，由速度变化规律得：$0 = v_0 - 1 · t_{\mathrm{总}}$，解得$t_{\mathrm{总}}=5\ \mathrm{s}$。
匀变速运动的平均速度$\bar{v}=\frac{v_0 + 0}{2}=\frac{5}{2}=2.5\ \mathrm{m/s}$，总路程$s=\bar{v} · t_{\mathrm{总}}=2.5 × 5=12.5\ \mathrm{m}$。
(3) 设小球滚动8m用时$t$秒，此时速度$v=5 - t\ \mathrm{m/s}$，平均速度$\bar{v}'=\frac{5 + (5 - t)}{2}=\frac{10 - t}{2}$。
根据$s=\bar{v}' · t$，代入$s=8\ \mathrm{m}$得：
$8=\frac{10 - t}{2} · t$，整理得$t^2 -10t +16=0$，
解方程得$t_1=2$，$t_2=8$。
因小球总滚动时间为5s，$t=8＞5$不符合实际，舍去，故$t=2\ \mathrm{s}$。
【答案】
(1) 1；(2) 12.5 m；(3) 2秒
【知识点】
匀变速直线运动、平均速度求路程
【点评】
本题考查匀变速直线运动核心公式的应用，重点是利用速度均匀变化的特点和平均速度公式求解路程，需注意第三问中时间解的合理性取舍，属于基础巩固类题型。
【难度系数】
0.6
