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【拓展思考】
如图5，同学们玩“摆石子”游戏，第1个图形有6个石子，第2个图形有10个石子，第3个图形有16个石子，第4个图形有24个石子……依此规律，回答下列问题：
(1)第五个图形有
(2)若第x个图形有160个石子，求x的值；
(3)是否存在某个图形有216个石子，请说明理由。
如图5，同学们玩“摆石子”游戏，第1个图形有6个石子，第2个图形有10个石子，第3个图形有16个石子，第4个图形有24个石子……依此规律，回答下列问题：
(1)第五个图形有
34
个石子；(2)若第x个图形有160个石子，求x的值；
(3)是否存在某个图形有216个石子，请说明理由。
答案
1. 34
2. x的值为12
3. 不存在，理由略
2. x的值为12
3. 不存在，理由略
解析
【分析】
解题时先观察每个图形的石子组成：每个图形四个角各有1个石子，共4个固定石子，中间部分是矩形排列的石子，第x个图形中间的石子有x行，每行(x+1)个，因此可推导出第x个图形的石子总数的表达式，再根据表达式依次解决三个问题：(1)将x=5代入表达式计算；(2)根据石子数列方程求解，舍去负根；(3)列方程后判断方程是否存在正整数解即可。
【解析】
观察图形推导规律：
第1个图形石子数：$4 + 1×2 = 6$
第2个图形石子数：$4 + 2×3 = 10$
第3个图形石子数：$4 + 3×4 = 16$
第4个图形石子数：$4 + 4×5 = 24$
可得第$x$个图形的石子总数为：$4 + x(x+1) = x^2 + x + 4$
(1) 当$x=5$时，代入得：
$5^2 + 5 + 4 = 25 + 5 + 4 = 34$
(2) 令$x^2 + x + 4 = 160$，整理得：
$x^2 + x - 156 = 0$
因式分解得$(x+13)(x-12)=0$，解得$x_1=12$，$x_2=-13$，
$\because x$为正整数，$\therefore x=-13$不符合题意，舍去，故$x=12$。
(3) 不存在，理由如下：
令$x^2 + x + 4 = 216$，整理得：
$x^2 + x - 212 = 0$
计算判别式$\Delta = 1^2 - 4×1×(-212) = 1 + 848 = 849$，
$\because \sqrt{849}$不是整数，$\therefore$该方程没有正整数解，故不存在有216个石子的图形。
【答案】
(1) $\boxed{34}$；(2) $\boxed{x=12}$；(3) 不存在
【知识点】
图形规律探究，一元二次方程解法，一元二次方程应用
【点评】
本题属于规律探究类综合题，解题核心是通过观察图形结构得到石子数的通项公式，再结合方程求解，解题时要注意未知数$x$的实际意义，必须为正整数，不符合的解要舍去。
【难度系数】
0.65
解题时先观察每个图形的石子组成：每个图形四个角各有1个石子，共4个固定石子，中间部分是矩形排列的石子，第x个图形中间的石子有x行，每行(x+1)个，因此可推导出第x个图形的石子总数的表达式，再根据表达式依次解决三个问题：(1)将x=5代入表达式计算；(2)根据石子数列方程求解，舍去负根；(3)列方程后判断方程是否存在正整数解即可。
【解析】
观察图形推导规律：
第1个图形石子数：$4 + 1×2 = 6$
第2个图形石子数：$4 + 2×3 = 10$
第3个图形石子数：$4 + 3×4 = 16$
第4个图形石子数：$4 + 4×5 = 24$
可得第$x$个图形的石子总数为：$4 + x(x+1) = x^2 + x + 4$
(1) 当$x=5$时，代入得：
$5^2 + 5 + 4 = 25 + 5 + 4 = 34$
(2) 令$x^2 + x + 4 = 160$，整理得：
$x^2 + x - 156 = 0$
因式分解得$(x+13)(x-12)=0$，解得$x_1=12$，$x_2=-13$，
$\because x$为正整数，$\therefore x=-13$不符合题意，舍去，故$x=12$。
(3) 不存在，理由如下：
令$x^2 + x + 4 = 216$，整理得：
$x^2 + x - 212 = 0$
计算判别式$\Delta = 1^2 - 4×1×(-212) = 1 + 848 = 849$，
$\because \sqrt{849}$不是整数，$\therefore$该方程没有正整数解，故不存在有216个石子的图形。
【答案】
(1) $\boxed{34}$；(2) $\boxed{x=12}$；(3) 不存在
【知识点】
图形规律探究，一元二次方程解法，一元二次方程应用
【点评】
本题属于规律探究类综合题，解题核心是通过观察图形结构得到石子数的通项公式，再结合方程求解，解题时要注意未知数$x$的实际意义，必须为正整数，不符合的解要舍去。
【难度系数】
0.65
一、选择题
1. 某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出与支干数目相同的小分支，主干、支干和小分支的总数是121，求每个支干长出多少小分支.设每个支干长出$x$个小分支，那么根据题意可以列方程为(
A.$1 + x + x^2 = 121$
B.$1 + x + x(1 + x) = 121$
C.$1 + x + (1 + x)^2 = 121$
D.$1 + (1 + x) + (1 + x)^2 = 121$
1. 某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出与支干数目相同的小分支，主干、支干和小分支的总数是121，求每个支干长出多少小分支.设每个支干长出$x$个小分支，那么根据题意可以列方程为(
A
)A.$1 + x + x^2 = 121$
B.$1 + x + x(1 + x) = 121$
C.$1 + x + (1 + x)^2 = 121$
D.$1 + (1 + x) + (1 + x)^2 = 121$
答案
1. A
解析
【分析】
拿到这道题首先要明确总数量由主干、支干、小分支三部分组成，我们只需分别表示出三者的数量，相加等于总数量121即可列出方程。首先，主干的数量是固定的1个；其次，题目设每个支干长出x个小分支，说明主干长出的支干总数量就是x个；最后，小分支是每个支干长出x个，x个支干长出的小分支总数为支干数乘每个支干长出的小分支数，即$x × x = x^2$个，将三者求和即可得到对应方程，再匹配选项即可。
【解析】
解：根据题意分别表示三类结构的数量：
1. 主干数量：共1个；
2. 支干数量：每个支干长出x个小分支，因此主干长出的支干总数为x个；
3. 小分支数量：每个支干长出x个小分支，共x个支干，因此小分支总数为$x × x = x^2$个。
已知三类结构总数为121，列方程得：$1 + x + x^2 = 121$，故选A。
【答案】
A
【知识点】
1. 一元二次方程的实际应用
2. 根据题意列代数式
【点评】
这道题是列一元二次方程解应用题的基础题型，解题核心是分层次梳理不同级别的数量，避免漏算主干或者重复计算分支数量，掌握这类问题的计数逻辑可以为后续同类实际问题求解打下基础。
【难度系数】
0.8
拿到这道题首先要明确总数量由主干、支干、小分支三部分组成，我们只需分别表示出三者的数量，相加等于总数量121即可列出方程。首先，主干的数量是固定的1个；其次，题目设每个支干长出x个小分支，说明主干长出的支干总数量就是x个；最后，小分支是每个支干长出x个，x个支干长出的小分支总数为支干数乘每个支干长出的小分支数，即$x × x = x^2$个，将三者求和即可得到对应方程，再匹配选项即可。
【解析】
解：根据题意分别表示三类结构的数量：
1. 主干数量：共1个；
2. 支干数量：每个支干长出x个小分支，因此主干长出的支干总数为x个；
3. 小分支数量：每个支干长出x个小分支，共x个支干，因此小分支总数为$x × x = x^2$个。
已知三类结构总数为121，列方程得：$1 + x + x^2 = 121$，故选A。
【答案】
A
【知识点】
1. 一元二次方程的实际应用
2. 根据题意列代数式
【点评】
这道题是列一元二次方程解应用题的基础题型，解题核心是分层次梳理不同级别的数量，避免漏算主干或者重复计算分支数量，掌握这类问题的计数逻辑可以为后续同类实际问题求解打下基础。
【难度系数】
0.8
2. 有一个人患了流感,经过两轮传染后,共有36人患了流感.设每轮传染中平均一个人传染了x个人,则下列结论错误的是(
A.第1轮后有$(x+1)$个人患了流感
B.第2轮又增加$x(x+1)$个人患流感
C.依题意可列方程$(x+1)^2=36$
D.按照这样的传播速度,三轮后一共会有180人患流感
D
)A.第1轮后有$(x+1)$个人患了流感
B.第2轮又增加$x(x+1)$个人患流感
C.依题意可列方程$(x+1)^2=36$
D.按照这样的传播速度,三轮后一共会有180人患流感
答案
2. D
解析
【分析】
解决本题首先要明确传播问题的数量逻辑：初始有1名患者，每轮传染中1名患者会传染x个健康人，因此每轮结束后的总患者数是上一轮总患者数的(1+x)倍。我们先推导每轮的总患者数、新增患者数，逐一验证A、B、C选项的正确性，再求解x的值后计算三轮后的总患者数，判断D选项是否正确。
【解析】
初始患流感人数为1人，每轮平均1人传染x个人：
1. 分析A选项：第1轮传染中，初始1名患者传染了x人，因此第1轮后总患病人数为$1 + x = (x+1)$人，A选项表述正确，不符合题意。
2. 分析B选项：第2轮传染时，传染源为第1轮后的$(x+1)$名患者，每名患者传染x人，因此第2轮新增患病人数为$x(x+1)$人，B选项表述正确，不符合题意。
3. 分析C选项：两轮后的总患病人数 = 第1轮后总人数 + 第2轮新增人数，即$(x+1) + x(x+1) = (x+1)^2$，结合两轮后共36人患病，可列方程$(x+1)^2 = 36$，C选项表述正确，不符合题意。
4. 分析D选项：解方程$(x+1)^2 = 36$，因x为正数，故$x+1=6$，解得$x=5$。按照该传播速度，三轮后总患病人数为$36 × (1+5) = 216$人，不是180人，D选项表述错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
传播类应用题；一元二次方程的应用；代数式表示数量关系
【点评】
本题核心是理清传播过程中每一轮的传染源数量，要注意区分新增患者数和总患者数的差异，属于基础的实际问题应用类题型，掌握传播模型的数量关系即可快速解题。
【难度系数】
0.7
解决本题首先要明确传播问题的数量逻辑：初始有1名患者，每轮传染中1名患者会传染x个健康人，因此每轮结束后的总患者数是上一轮总患者数的(1+x)倍。我们先推导每轮的总患者数、新增患者数，逐一验证A、B、C选项的正确性，再求解x的值后计算三轮后的总患者数，判断D选项是否正确。
【解析】
初始患流感人数为1人，每轮平均1人传染x个人：
1. 分析A选项：第1轮传染中，初始1名患者传染了x人，因此第1轮后总患病人数为$1 + x = (x+1)$人，A选项表述正确，不符合题意。
2. 分析B选项：第2轮传染时，传染源为第1轮后的$(x+1)$名患者，每名患者传染x人，因此第2轮新增患病人数为$x(x+1)$人，B选项表述正确，不符合题意。
3. 分析C选项：两轮后的总患病人数 = 第1轮后总人数 + 第2轮新增人数，即$(x+1) + x(x+1) = (x+1)^2$，结合两轮后共36人患病，可列方程$(x+1)^2 = 36$，C选项表述正确，不符合题意。
4. 分析D选项：解方程$(x+1)^2 = 36$，因x为正数，故$x+1=6$，解得$x=5$。按照该传播速度，三轮后总患病人数为$36 × (1+5) = 216$人，不是180人，D选项表述错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
传播类应用题；一元二次方程的应用；代数式表示数量关系
【点评】
本题核心是理清传播过程中每一轮的传染源数量，要注意区分新增患者数和总患者数的差异，属于基础的实际问题应用类题型，掌握传播模型的数量关系即可快速解题。
【难度系数】
0.7
