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11. (2024·玄武区期末)【探索发现】
(1)在 $□ ABCD$ 中，$AC$，$BD$ 是对角线.求证：$AC^{2}+BD^{2}=2(AB^{2}+BC^{2})$.
如图①，过点 $A$，$D$ 分别作 $AE⊥ BC$，$DF⊥ BC$，垂足为 $E$，$F$.设 $AB = x$，$BC = y$，$BE = z$.证明途径可以用下面的框图表示，请填写其中的空格.(用含 $x$，$y$，$z$ 的代数式表示)
【性质运用】
(2)如图②，在 $△ ABC$ 中，$AD$ 是 $BC$ 边上的中线.
①若 $BC = a$，$AC = b$，$AB = c$，求 $AD$ 的长；(用含 $a$，$b$，$c$ 的代数式表示)
②若 $M$ 是 $BD$ 的中点，连接 $AM$.当 $AB = \sqrt{11}$，$AC = AM = \sqrt{7}$ 时，$BC=$
【拓展探究】
(3)如图③，已知点 $A$，点 $B$ 和直线 $l$.在直线 $l$ 上求作一点 $P$，使 $PA^{2}+PB^{2}$ 的值最小.(要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出必要的文字说明)
(1)在 $□ ABCD$ 中，$AC$，$BD$ 是对角线.求证：$AC^{2}+BD^{2}=2(AB^{2}+BC^{2})$.
如图①，过点 $A$，$D$ 分别作 $AE⊥ BC$，$DF⊥ BC$，垂足为 $E$，$F$.设 $AB = x$，$BC = y$，$BE = z$.证明途径可以用下面的框图表示，请填写其中的空格.(用含 $x$，$y$，$z$ 的代数式表示)
【性质运用】
(2)如图②，在 $△ ABC$ 中，$AD$ 是 $BC$ 边上的中线.
①若 $BC = a$，$AC = b$，$AB = c$，求 $AD$ 的长；(用含 $a$，$b$，$c$ 的代数式表示)
②若 $M$ 是 $BD$ 的中点，连接 $AM$.当 $AB = \sqrt{11}$，$AC = AM = \sqrt{7}$ 时，$BC=$
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.【拓展探究】
(3)如图③，已知点 $A$，点 $B$ 和直线 $l$.在直线 $l$ 上求作一点 $P$，使 $PA^{2}+PB^{2}$ 的值最小.(要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出必要的文字说明)
答案
$x^{2}+y^{2}-2yz$
$x^{2}-z^{2}$
$2(x^{2}+y^{2})$
$x^{2}+y^{2}+2yz$
4
(2)①解：延长AD至点E，使DE=AD，连接BE，CE，如答图①.
∵AD是△ ABC的BC边上的中线，∴BD=CD.
又∵DE=AD，
∴四边形ABEC是平行四边形.
由
(1)可知$AE^2+BC^2=2(AB^2+AC^2)$，
∴$(2AD)^2=2(AB^2+AC^2)-BC^2=2(c^2+b^2)-a^2$，
∴$AD=\sqrt {\frac {2c^2+2b^2-a^2}{4}}=\frac {\sqrt {2c^2+2b^2-a^2}}{2}.$
(3)解：如答图②，连接AB，取AB的中点Q，过点$Q_{作}QP⊥ l$，交直线l于点P.
由(1)得$PA^2+PB^2=2AQ^2+2PQ^2.$∵AB是定值，∴AQ 也是定值，
根据垂线段最短得$QP_{最短}$，
故此时$PA^2+PB^2$的值最小.
