8. (2024·建邺区期末)如图，在 $△ ABC$ 中，$∠ ACB = 90°$，$AC = 2\ cm$，$BC = 3\ cm$.将 $△ ABC$ 绕点 $C$ 按逆时针方向旋转后得 $△ DEC$，直线 $DA$，$BE$ 相交于点 $F$.取 $BC$ 的中点 $G$，连接 $GF$，则 $GF$ 长的最大值为$cm$.

$​(1+\frac {\sqrt {13}}{2})​$

三、解答题
9. 如图，在梯形 $ABCD$ 中，$AD// BC$，$E$ 为 $AB$ 的中点，$DE⊥ EC$.
求证：(1)$DE$ 平分 $∠ ADC$；
(2)$AD + BC = DC$.

证明：
(1)如答图，延长DE交CB的延长线于点F.
$ \because E$为AB的中点，$\therefore AE=BE.$
$ \because AD// CF$，$\therefore ∠ A=∠ ABF$，∠ ADE=∠ F.
在△ AED与△ BEF中，
$ \begin{cases}∠ A=∠ EBF, \\∠ ADE=∠ F, \\AE=BE\end{cases}$
$ \therefore △ AED≌△ BEF(\mathrm{AAS})$，$\therefore AD=BF$，DE=EF.
$ \because CE⊥ DF$，DE=EF，$\therefore CD=CF$，$\therefore ∠ CDF=∠ F.$
$ \because ∠ ADE=∠ F$，
$ \therefore ∠ ADE=∠ CDF$，$\therefore DE$平分∠ ADC.
(2)由
(1)知AD=BF，CD=CF，
$ \because CF=BC+BF$，$\therefore AD+BC=DC.$

10. 如图，在平行四边形 $ABCD$ 中，$O$ 是对角线 $AC$，$BD$ 的交点，延长 $CD$ 到点 $F$，使 $DF = DC$，过点 $F$ 作 $EF// AC$，交 $OD$ 的延长线于点 $E$，连接 $OF$，$EC$.
(1)求证：$△ ODC≌△ EDF$；
(2)连接 $AF$，若 $OD = DC$ 且 $∠ BEC = 45°$，请判断四边形 $OCEF$ 的形状，并证明你的结论.

(1)证明：$\because EF// AC$，$\therefore ∠ EFC=∠ OCF.$
在△ ODC和△ EDF中，
$ \begin{cases}∠ OCD=∠ EFD, \\DC=DF, \\∠ CDO=∠ FDE\end{cases}$
$ \therefore △ ODC≌△ EDF(\mathrm{ASA}).$
(2)解：四边形OCEF是正方形.证明如下：
由
(1)可得，△ ODC≌△ EDF，
$ \therefore OD=DE$，OC=EF，又EF// AC，
$ \therefore$四边形OCEF是平行四边形.
$ \because OD=DE$，OD=DC，且∠ BEC=45°，
$ \therefore DC=DE$，$\therefore ∠ DEC=∠ DCE=45°$，
$ \therefore ∠ CDE=180°-45°-45°=90°$，即OE⊥ CF，
$ \therefore$平行四边形OCEF是菱形.
又$\because OD=DC$，$\therefore OE=CF$，
$ \therefore$菱形OCEF是正方形.