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8. 村里要修一条灌溉渠，其横截面是面积为 1.6 m² 的等腰梯形，它的上底比渠深多 2 m，下底比渠深多 0.4 m，求灌溉渠横截面的上、下底长及灌溉渠的深度。
答案
8. 上底长为2.8m，下底长为1.2m，渠深为0.8m
解析
设灌溉渠的深度为$x$ m，则上底长为$(x + 2)$ m，下底长为$(x + 0.4)$ m。
根据等腰梯形面积公式$S = \frac{(上底 + 下底)×高}{2}$，可得方程：
$\frac{(x + 2 + x + 0.4)×x}{2} = 1.6$
化简得：
$\frac{(2x + 2.4)x}{2} = 1.6$
$(2x + 2.4)x = 3.2$
$2x² + 2.4x - 3.2 = 0$
$5x² + 6x - 8 = 0$
解方程$5x² + 6x - 8 = 0$，判别式$\Delta = 6² - 4×5×(-8) = 36 + 160 = 196$，
$x = \frac{-6 ± \sqrt{196}}{2×5} = \frac{-6 ± 14}{10}$
解得$x_1 = \frac{8}{10} = 0.8$，$x_2 = \frac{-20}{10} = -2$（深度不能为负，舍去）。
上底长：$x + 2 = 0.8 + 2 = 2.8$ m，
下底长：$x + 0.4 = 0.8 + 0.4 = 1.2$ m。
灌溉渠横截面的上底长为2.8 m，下底长为1.2 m，渠深为0.8 m。
根据等腰梯形面积公式$S = \frac{(上底 + 下底)×高}{2}$，可得方程：
$\frac{(x + 2 + x + 0.4)×x}{2} = 1.6$
化简得：
$\frac{(2x + 2.4)x}{2} = 1.6$
$(2x + 2.4)x = 3.2$
$2x² + 2.4x - 3.2 = 0$
$5x² + 6x - 8 = 0$
解方程$5x² + 6x - 8 = 0$，判别式$\Delta = 6² - 4×5×(-8) = 36 + 160 = 196$，
$x = \frac{-6 ± \sqrt{196}}{2×5} = \frac{-6 ± 14}{10}$
解得$x_1 = \frac{8}{10} = 0.8$，$x_2 = \frac{-20}{10} = -2$（深度不能为负，舍去）。
上底长：$x + 2 = 0.8 + 2 = 2.8$ m，
下底长：$x + 0.4 = 0.8 + 0.4 = 1.2$ m。
灌溉渠横截面的上底长为2.8 m，下底长为1.2 m，渠深为0.8 m。
9. 如图所示，在△ABC 中，∠C = 90°，点 P 从点 A 开始沿边 AC 向点 C 以 1 cm/s 的速度移动，到达点 C 时停止，点 Q 从点 B 开始沿边 BC 向点 C 以 2 cm/s 的速度移动，到达点 C 时停止。如果 P，Q 分别从 A，B 同时出发，经几秒时间△PQC 的面积等于 8 cm²？
答案
解：设经过$x$秒$△ PQC$的面积等于$8cm^{2}$。
已知$AP = x cm$，$BQ = 2x cm$，则$PC=(6 - x)cm$，$QC=(8 - 2x)cm$。
因为$∠ C = 90°$，根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}ah$（$a$为底，$h$为高），对于$△ PQC$，$a = PC$，$h = QC$，所以$S_{△ PQC}=\frac{1}{2}(6 - x)(8 - 2x)$。
由$\frac{1}{2}(6 - x)(8 - 2x)=8$，
展开括号得$\frac{1}{2}(48-12x - 8x + 2x^{2}) = 8$，
即$24-10x + x^{2}=8$，
移项化为一元二次方程的一般形式：$x^{2}-10x + 16 = 0$，
分解因式得$(x - 2)(x - 8)=0$，
则$x - 2 = 0$或$x - 8 = 0$，
解得$x_{1}=2$，$x_{2}=8$。
又因为点$P$从$A$到$C$用时$6÷1 = 6s$，点$Q$从$B$到$C$用时$8÷2 = 4s$，$x = 8$超过了$Q$到达$C$点的时间，所以舍去$x = 8$。
综上，经过$2$秒$△ PQC$的面积等于$8cm^{2}$。
已知$AP = x cm$，$BQ = 2x cm$，则$PC=(6 - x)cm$，$QC=(8 - 2x)cm$。
因为$∠ C = 90°$，根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}ah$（$a$为底，$h$为高），对于$△ PQC$，$a = PC$，$h = QC$，所以$S_{△ PQC}=\frac{1}{2}(6 - x)(8 - 2x)$。
由$\frac{1}{2}(6 - x)(8 - 2x)=8$，
展开括号得$\frac{1}{2}(48-12x - 8x + 2x^{2}) = 8$，
即$24-10x + x^{2}=8$，
移项化为一元二次方程的一般形式：$x^{2}-10x + 16 = 0$，
分解因式得$(x - 2)(x - 8)=0$，
则$x - 2 = 0$或$x - 8 = 0$，
解得$x_{1}=2$，$x_{2}=8$。
又因为点$P$从$A$到$C$用时$6÷1 = 6s$，点$Q$从$B$到$C$用时$8÷2 = 4s$，$x = 8$超过了$Q$到达$C$点的时间，所以舍去$x = 8$。
综上，经过$2$秒$△ PQC$的面积等于$8cm^{2}$。
解析
【分析】
要解决这个问题，首先需要明确动点的运动速度和方向，用时间变量表示出△PQC的两条直角边长度。因为∠C=90°，△PQC是直角三角形，可利用直角三角形面积公式列出方程，最后还要结合动点的运动时间范围，对求出的解进行取舍，确保解符合实际运动情况。具体步骤为：先设运动时间为x秒，分别表示出PC和QC的长度，再根据面积为8cm²列方程求解，最后验证解的合理性。
【解析】
设经过$x$秒$△ PQC$的面积等于$8\mathrm{cm}^2$。
已知点P的速度是1cm/s，点Q的速度是2cm/s，因此：
$AP = x\mathrm{cm}$，$BQ = 2x\mathrm{cm}$，
则$PC=(6 - x)\mathrm{cm}$，$QC=(8 - 2x)\mathrm{cm}$。
因为$∠ C = 90°$，根据直角三角形面积公式$S=\frac{1}{2}ah$（$a$、$h$为两条直角边），可得：
$S_{△ PQC}=\frac{1}{2}(6 - x)(8 - 2x)$
根据题意列方程：
$\frac{1}{2}(6 - x)(8 - 2x)=8$
展开括号：
$\frac{1}{2}(48-12x - 8x + 2x^2) = 8$
化简得：
$24-10x + x^2=8$
移项化为一元二次方程的一般形式：
$x^2-10x + 16 = 0$
分解因式：
$(x - 2)(x - 8)=0$
解得：
$x_1=2$，$x_2=8$
又因为点P从A到C用时$6÷1 = 6\mathrm{s}$，点Q从B到C用时$8÷2 = 4\mathrm{s}$，当$x=8$时，点Q早已到达C点停止运动，不符合实际情况，故舍去$x=8$。
【答案】
经过2秒时间$△ PQC$的面积等于$8\mathrm{cm}^2$。
【知识点】
一元二次方程的应用，直角三角形面积公式，动点问题的取值限制
【点评】
本题是一元二次方程在几何动点问题中的典型应用，核心是用时间变量表示线段长度，结合几何图形的面积公式构建方程。解题时需注意结合动点的运动时间范围，对方程的解进行合理性验证，避免出现不符合实际运动逻辑的解，培养严谨的解题思维。
【难度系数】
0.6
要解决这个问题，首先需要明确动点的运动速度和方向，用时间变量表示出△PQC的两条直角边长度。因为∠C=90°，△PQC是直角三角形，可利用直角三角形面积公式列出方程，最后还要结合动点的运动时间范围，对求出的解进行取舍，确保解符合实际运动情况。具体步骤为：先设运动时间为x秒，分别表示出PC和QC的长度，再根据面积为8cm²列方程求解，最后验证解的合理性。
【解析】
设经过$x$秒$△ PQC$的面积等于$8\mathrm{cm}^2$。
已知点P的速度是1cm/s，点Q的速度是2cm/s，因此：
$AP = x\mathrm{cm}$，$BQ = 2x\mathrm{cm}$，
则$PC=(6 - x)\mathrm{cm}$，$QC=(8 - 2x)\mathrm{cm}$。
因为$∠ C = 90°$，根据直角三角形面积公式$S=\frac{1}{2}ah$（$a$、$h$为两条直角边），可得：
$S_{△ PQC}=\frac{1}{2}(6 - x)(8 - 2x)$
根据题意列方程：
$\frac{1}{2}(6 - x)(8 - 2x)=8$
展开括号：
$\frac{1}{2}(48-12x - 8x + 2x^2) = 8$
化简得：
$24-10x + x^2=8$
移项化为一元二次方程的一般形式：
$x^2-10x + 16 = 0$
分解因式：
$(x - 2)(x - 8)=0$
解得：
$x_1=2$，$x_2=8$
又因为点P从A到C用时$6÷1 = 6\mathrm{s}$，点Q从B到C用时$8÷2 = 4\mathrm{s}$，当$x=8$时，点Q早已到达C点停止运动，不符合实际情况，故舍去$x=8$。
【答案】
经过2秒时间$△ PQC$的面积等于$8\mathrm{cm}^2$。
【知识点】
一元二次方程的应用，直角三角形面积公式，动点问题的取值限制
【点评】
本题是一元二次方程在几何动点问题中的典型应用，核心是用时间变量表示线段长度，结合几何图形的面积公式构建方程。解题时需注意结合动点的运动时间范围，对方程的解进行合理性验证，避免出现不符合实际运动逻辑的解，培养严谨的解题思维。
【难度系数】
0.6
