一、选择题
1. 某商品原价 1000 元，连续两次涨价 $ x\% $后售价为 1200 元，则下面所列方程正确的是()。
A.$ 1200(1 - x\%)^{2} = 1000 $
B.$ 1000(1 + x\%)^{2} = 1200 $
C.$ 1000(1 + 2x\%) = 1200 $
D.$ 1000(1 + x^{2}\%) = 1200 $

1. B

【分析】
要解决这道题，关键是理解连续两次涨价的计算逻辑：首先，第一次涨价是在原价1000元的基础上上涨x%，此时价格变为原价乘以(1+x%)；第二次涨价是在第一次涨价后的价格基础上再上涨x%，也就是用第一次涨价后的价格乘以(1+x%)。最后根据两次涨价后售价为1200元，就能列出对应的方程，再对比选项选出正确答案。
【解析】
1. 计算第一次涨价后的价格：
商品原价为1000元，涨价x%后，价格变为 $ 1000(1 + x\%) $。
2. 计算第二次涨价后的价格：
第二次涨价是在第一次涨价后的价格基础上进行的，所以第二次涨价后的价格为 $ 1000(1 + x\%) × (1 + x\%) = 1000(1 + x\%)^2 $。
3. 列方程：
已知两次涨价后售价为1200元，因此可列方程 $ 1000(1 + x\%)^2 = 1200 $，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
增长率问题建模、一元二次方程的实际应用
【点评】
本题核心考查增长率问题的数学建模，易错点在于混淆连续两次涨价的基数，部分学生容易错误地认为两次涨价x%等价于直接涨价2x%（对应选项C），或错误处理涨价的平方形式（对应选项D），需明确每次涨价的基数是上一次涨价后的价格，而非原价。
【难度系数】
0.8

2. 某超市 1 月的营业额为 200 万元，1 月、2 月、3 月的营业额共 1000 万元，若平均每月增长率为 $ x $，则由题意列方程应为()。

A.$ 200(1 + x)^{2} = 1000 $
B.$ 200 + 200×2x = 1000 $
C.$ 200 + 200×3x = 1000 $
D.$ 200[1 + (1 + x) + (1 + x)^{2}] = 1000 $

2. D

$200[1 + (1 + x) + (1 + x)^2] = 1000$，答案选D。

3. 某市去年 GDP 比前年增长 $ 12\% $，由于受到国际贸易的影响，预计今年比去年增长 $ 7\% $。若设这几年 GDP 平均年增长率为 $ x $，则 $ x $ 满足的关系为()。

A.$ 12\% + 7\% = x $
B.$ (1 + 12\%)(1 + 7\%) = (1 + x)^{2} $
C.$ 12\% + 7\% = 2x $
D.$ (1 + 12\%)(1 + 7\%) = 2(1 + x) $

3. B

设前年GDP为$a$，则去年GDP为$a(1 + 12\%)$，今年GDP为$a(1 + 12\%)(1 + 7\%)$。
若平均年增长率为$x$，则两年后GDP为$a(1 + x)^2$。
所以$a(1 + 12\%)(1 + 7\%)=a(1 + x)^2$，两边同时除以$a$得$(1 + 12\%)(1 + 7\%)=(1 + x)^2$。
B

二、填空题
4. 某市计划经过两年时间，绿地面积增加 $ 44\% $，则这两年平均每年绿地面积的增长率为。

4. 20%

设这两年平均每年绿地面积的增长率为$x$，原有绿地面积为$a$。
根据题意，得$a(1 + x)^2 = a(1 + 44\%)$
两边同时除以$a$，得$(1 + x)^2 = 1.44$
开平方，得$1 + x = \pm1.2$
解得$x_1 = 0.2 = 20\%$，$x_2 = -2.2$（不合题意，舍去）
20%

5. 某厂 1 月产值为 50 万元，第 1 季度产值比 1 月产值的 3 倍还多 32 万元。若设平均每月产值的增长率为 $ x $，则所列的方程为。

5. $ 50 + 50(1 + x) + 50(1 + x)^2 = 3 × 50 + 32 $

【分析】
首先，我们需要明确题目中的关键数量关系：
1. 已知1月产值为50万元，平均每月增长率为x，那么2月产值是在1月基础上增长x，即50(1+x)万元；3月产值是在2月基础上再增长x，也就是50(1+x)²万元。
2. 第一季度产值是1月、2月、3月产值的总和，题目中指出第一季度产值比1月产值的3倍还多32万元，即第一季度产值=3×50+32万元。
3. 最后根据“第一季度产值的两种表达方式相等”这一关系，就能列出对应的方程。
【解析】
1. 计算各月产值：
1月产值：50万元；
2月产值：因为每月增长率为x，所以2月产值 = 50(1 + x)万元；
3月产值：在2月产值基础上增长x，故3月产值 = 50(1 + x)²万元。
2. 确定第一季度产值的两种表达式：
第一季度产值（1-3月总和）：$50 + 50(1 + x) + 50(1 + x)^2$；
根据题意，第一季度产值 = $3×50 + 32$。
3. 联立等式得到方程：
$50 + 50(1 + x) + 50(1 + x)^2 = 3 × 50 + 32$
【答案】
$ 50 + 50(1 + x) + 50(1 + x)^2 = 3 × 50 + 32 $
【知识点】
增长率问题列方程；一元二次方程的实际应用
【点评】
本题主要考查一元二次方程在增长率问题中的实际应用，核心是掌握增长率问题的基本公式：增长后的量=增长前的量×(1+增长率)^n（n为增长次数），同时需要准确梳理题目中的数量关系，将第一季度产值的两种表达形式建立等式，即可列出方程。
【难度系数】
0.7

6. 有一人患了流感，经过两轮传染后共有 121 人患了流感，则每轮传染中平均一人传染了人。

6. 10

设每轮传染中平均一人传染了$x$人。
第一轮传染后患病的人数为$1 + x$。
第二轮传染中，这些患者每人又传染$x$人，所以第二轮新增患者$x(1 + x)$人，两轮后总患病人数为$1 + x + x(1 + x)$。
依题意可得方程：$1 + x + x(1 + x) = 121$，
整理得$(1 + x)^2 = 121$，
开平方得$1 + x = 11$（$1 + x = -11$不合题意，舍去），
解得$x = 10$。
10

三、解答题
7. 去年某地政府共投资 2 亿元建设了保障性住房 8 万平方米，预计到明年底 3 年累计投资 9.5 亿元，在这 3 年内每年投资的增长率相同。
(1) 求每年该地政府投资的增长率；
(2) 若这 3 年内的建设成本不变，则预计到明年底共建设保障性住房多少万平方米？

7.（1）50% （2）38 万平方米

（1）设每年该地政府投资的增长率为$x$，去年投资$2$亿元，则今年投资$2(1+x)$亿元，明年投资$2(1+x)^2$亿元。
由3年累计投资$9.5$亿元，可得方程：
$2 + 2(1+x) + 2(1+x)^2 = 9.5$
化简得：$2 + 2 + 2x + 2(1 + 2x + x^2) = 9.5$
$4 + 2x + 2 + 4x + 2x^2 = 9.5$
$2x^2 + 6x + 6 = 9.5$
$2x^2 + 6x - 3.5 = 0$
两边同乘2：$4x^2 + 12x - 7 = 0$
因式分解：$(2x - 1)(2x + 7) = 0$
解得$x_1 = \frac{1}{2} = 50\%$，$x_2 = -\frac{7}{2}$（舍去）
故每年该地政府投资的增长率为$50\%$。
（2）去年投资$2$亿元建设$8$万平方米，建设成本为$\frac{2}{8} = 0.25$亿元/万平方米。
3年累计投资$9.5$亿元，共建设保障性住房$\frac{9.5}{0.25} = 38$万平方米。
（1）$50\%$
（2）$38$万平方米