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一、选择题
1. 一个正方形的边长少了 3 cm，它的面积就减少了 39 cm²，那么这个正方形的边长为(
A.9 cm
B.8 cm
C.7 cm
D.6 cm
1. 一个正方形的边长少了 3 cm，它的面积就减少了 39 cm²，那么这个正方形的边长为(
B
)。A.9 cm
B.8 cm
C.7 cm
D.6 cm
答案
1. B
解析
设这个正方形的边长为$x\ \mathrm{cm}$，则边长减少后的长度为$(x - 3)\ \mathrm{cm}$。
原正方形面积为$x^2\ \mathrm{cm}^2$，边长减少后的正方形面积为$(x - 3)^2\ \mathrm{cm}^2$。
根据面积减少了$39\ \mathrm{cm}^2$，可列方程：
$x^2 - (x - 3)^2 = 39$
展开并化简方程：
$x^2 - (x^2 - 6x + 9) = 39$
$x^2 - x^2 + 6x - 9 = 39$
$6x - 9 = 39$
$6x = 48$
$x = 8$
B
原正方形面积为$x^2\ \mathrm{cm}^2$，边长减少后的正方形面积为$(x - 3)^2\ \mathrm{cm}^2$。
根据面积减少了$39\ \mathrm{cm}^2$，可列方程：
$x^2 - (x - 3)^2 = 39$
展开并化简方程：
$x^2 - (x^2 - 6x + 9) = 39$
$x^2 - x^2 + 6x - 9 = 39$
$6x - 9 = 39$
$6x = 48$
$x = 8$
B
2. 直角三角形三边长为三个连续偶数，并且面积为 24，则该三角形的边长为(
A.3，4，5 或－3，－4，－5
B.6，8，10 或－6，－8，－10
C.3，4，5
D.6，8，10
D
)。A.3，4，5 或－3，－4，－5
B.6，8，10 或－6，－8，－10
C.3，4，5
D.6，8，10
答案
2. D
解析
设直角三角形三边长分别为$2n-2$，$2n$，$2n+2$（$n$为正整数，且$2n+2$为斜边）。
根据勾股定理：$(2n-2)^2 + (2n)^2 = (2n+2)^2$
展开得：$4n^2 - 8n + 4 + 4n^2 = 4n^2 + 8n + 4$
化简：$8n^2 - 8n + 4 = 4n^2 + 8n + 4$
移项合并：$4n^2 - 16n = 0$
即：$4n(n - 4) = 0$
解得$n = 0$（舍去）或$n = 4$
三边长为$2×4 - 2 = 6$，$2×4 = 8$，$2×4 + 2 = 10$
验证面积：$\frac{1}{2}×6×8 = 24$，符合题意。
边长不能为负，排除含负数的选项。
答案：D
根据勾股定理：$(2n-2)^2 + (2n)^2 = (2n+2)^2$
展开得：$4n^2 - 8n + 4 + 4n^2 = 4n^2 + 8n + 4$
化简：$8n^2 - 8n + 4 = 4n^2 + 8n + 4$
移项合并：$4n^2 - 16n = 0$
即：$4n(n - 4) = 0$
解得$n = 0$（舍去）或$n = 4$
三边长为$2×4 - 2 = 6$，$2×4 = 8$，$2×4 + 2 = 10$
验证面积：$\frac{1}{2}×6×8 = 24$，符合题意。
边长不能为负，排除含负数的选项。
答案：D
3. 如图所示，在宽 20 m、长 32 m 的长方形地面上修筑同样宽的道路(图中阴影部分，道路方向与长方形的边平行)，余下的部分为草坪。要使草坪的面积为 540 m²，求道路的宽。如果设道路宽为 x，根据题意，所列方程正确的是(
A.(32 + x)(20 + x) = 540
B.(32 - x)(20 - x) = 540
C.(32 + x)(20 - x) = 540
D.(32 - x)(20 + x) = 540
B
)。A.(32 + x)(20 + x) = 540
B.(32 - x)(20 - x) = 540
C.(32 + x)(20 - x) = 540
D.(32 - x)(20 + x) = 540
答案
3. B
解析
设道路宽为$x$米，将道路平移后，草坪可看作一个长为$(32 - x)$米、宽为$(20 - x)$米的长方形。根据草坪面积为$540\,\mathrm{m}^2$，可得方程$(32 - x)(20 - x) = 540$。
B
B
二、填空题
4. 如图所示，从一块正方形的木板上锯掉一块 2 cm 宽的长方形木条，剩下部分的面积是 48 cm²，则这块正方形木板原来的面积是
4. 如图所示，从一块正方形的木板上锯掉一块 2 cm 宽的长方形木条，剩下部分的面积是 48 cm²，则这块正方形木板原来的面积是
64
cm²。答案
4. 64
解析
设正方形木板的边长为$x$cm。根据题意，锯掉宽2cm的长方形后，剩下部分为长方形，长为$x$cm，宽为$(x - 2)$cm，面积为$48\,\mathrm{cm}^2$，则有方程：$x(x - 2) = 48$，即$x^2 - 2x - 48 = 0$。因式分解得$(x - 8)(x + 6) = 0$，解得$x = 8$（$x = -6$舍去）。原来正方形面积为$8^2 = 64\,\mathrm{cm}^2$。
64
64
5. 某校八年级各班间举行了一次篮球友谊赛，赛制为单循环形式(每两班之间都要赛一场)，共有 28 场比赛，则该校八年级共有
8
个班级。答案
5. 8
解析
设该校八年级共有$n$个班级。
因为赛制为单循环形式，每个班要和其他$n - 1$个班比赛一场，但每两班之间的比赛会被重复计算一次，所以比赛总场数为$\frac{n(n - 1)}{2}$。
已知共有$28$场比赛，可得方程：$\frac{n(n - 1)}{2}=28$
整理得：$n(n - 1)=56$
即$n^2 - n - 56 = 0$
因式分解得：$(n - 8)(n + 7)=0$
解得$n = 8$或$n=-7$（班级数不能为负数，舍去）
所以该校八年级共有$8$个班级。
因为赛制为单循环形式，每个班要和其他$n - 1$个班比赛一场，但每两班之间的比赛会被重复计算一次，所以比赛总场数为$\frac{n(n - 1)}{2}$。
已知共有$28$场比赛，可得方程：$\frac{n(n - 1)}{2}=28$
整理得：$n(n - 1)=56$
即$n^2 - n - 56 = 0$
因式分解得：$(n - 8)(n + 7)=0$
解得$n = 8$或$n=-7$（班级数不能为负数，舍去）
所以该校八年级共有$8$个班级。
6. 长方形的周长为 20 cm，分别以长和宽为边向形外作正方形，若两正方形的面积之和为 68 cm²，则原长方形的面积为
16
cm²。答案
6. 16
解析
设长方形的长为$x$ cm，宽为$y$ cm。
因为长方形周长为20 cm，所以$2(x + y)=20$，即$x + y = 10$。
两正方形面积之和为68 cm²，可得$x^2 + y^2 = 68$。
$(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$，将$x + y = 10$，$x^2 + y^2 = 68$代入，得$10^2 = 68 + 2xy$，即$100 = 68 + 2xy$，解得$2xy = 32$，$xy = 16$。
16
因为长方形周长为20 cm，所以$2(x + y)=20$，即$x + y = 10$。
两正方形面积之和为68 cm²，可得$x^2 + y^2 = 68$。
$(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$，将$x + y = 10$，$x^2 + y^2 = 68$代入，得$10^2 = 68 + 2xy$，即$100 = 68 + 2xy$，解得$2xy = 32$，$xy = 16$。
16
三、解答题
7. 将一块正方形铁皮的四角各剪去一个边长为 4 cm 的小正方形，做成一个无盖的盒子。已知盒子的容积是 400 cm³，求原来铁皮的边长。
7. 将一块正方形铁皮的四角各剪去一个边长为 4 cm 的小正方形，做成一个无盖的盒子。已知盒子的容积是 400 cm³，求原来铁皮的边长。
答案
7. 18cm
解析
设原来正方形铁皮的边长为$x\ \mathrm{cm}$。
剪去四角后，盒子底面边长为$(x - 2×4)\ \mathrm{cm}=(x - 8)\ \mathrm{cm}$，高为$4\ \mathrm{cm}$。
根据盒子容积公式$V = \mathrm{底面积}×\mathrm{高}$，可得方程：
$4(x - 8)^2 = 400$
方程两边同时除以$4$：
$(x - 8)^2 = 100$
开平方得：
$x - 8 = \pm10$
解得：
$x - 8 = 10$或$x - 8 = -10$，即$x = 18$或$x = -2$（边长不能为负，舍去）。
原来铁皮的边长为$18\ \mathrm{cm}$。
剪去四角后，盒子底面边长为$(x - 2×4)\ \mathrm{cm}=(x - 8)\ \mathrm{cm}$，高为$4\ \mathrm{cm}$。
根据盒子容积公式$V = \mathrm{底面积}×\mathrm{高}$，可得方程：
$4(x - 8)^2 = 400$
方程两边同时除以$4$：
$(x - 8)^2 = 100$
开平方得：
$x - 8 = \pm10$
解得：
$x - 8 = 10$或$x - 8 = -10$，即$x = 18$或$x = -2$（边长不能为负，舍去）。
原来铁皮的边长为$18\ \mathrm{cm}$。
