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1. 如图，$△ ABC$ 与 $△ DEF$ 位似，点 $O$ 是它们的位似中心，且相似比为 $1:2$，则 $△ ABC$ 与 $△ DEF$ 的周长之比是 (
A.$1:2$
B.$1:4$
C.$1:3$
D.$1:9$
A
)A.$1:2$
B.$1:4$
C.$1:3$
D.$1:9$
答案
1.A
解析
∵△ABC与△DEF位似，相似比为1:2，
∴△ABC与△DEF的周长之比等于相似比，
即周长之比为1:2。
答案：A
2. (2024·绥化)如图，矩形 $OABC$ 各顶点的坐标分别为 $O(0,0)$，$A(3,0)$，$B(3,2)$，$C(0,2)$，以原点 $O$ 为位似中心，将这个矩形按相似比 $\frac{1}{3}$ 缩小，则顶点 $B$ 在第一象限对应点的坐标是 (
A.$(9,4)$
B.$(4,9)$
C.$(1,\frac{3}{2})$
D.$(1,\frac{2}{3})$
D
)A.$(9,4)$
B.$(4,9)$
C.$(1,\frac{3}{2})$
D.$(1,\frac{2}{3})$
答案
2.D
解析
解：
∵矩形$OABC$顶点$B$的坐标为$(3,2)$，以原点$O$为位似中心，按相似比$\frac{1}{3}$缩小，且对应点在第一象限，
∴顶点$B$对应点的坐标为$(3×\frac{1}{3},2×\frac{1}{3})$，即$(1,\frac{2}{3})$。
D
∵矩形$OABC$顶点$B$的坐标为$(3,2)$，以原点$O$为位似中心，按相似比$\frac{1}{3}$缩小，且对应点在第一象限，
∴顶点$B$对应点的坐标为$(3×\frac{1}{3},2×\frac{1}{3})$，即$(1,\frac{2}{3})$。
D
3. (2024·浙江)如图，在平面直角坐标系中，$△ ABC$ 与 $△ A'B'C'$ 是位似图形，位似中心为点 $O$. 若点 $A(-3,1)$ 的对应点为 $A'(-6,2)$，则点 $B(-2,4)$ 的对应点 $B'$ 的坐标为 (
A.$(-4,8)$
B.$(8,-4)$
C.$(-8,4)$
D.$(4,-8)$
A
)A.$(-4,8)$
B.$(8,-4)$
C.$(-8,4)$
D.$(4,-8)$
答案
3.A
解析
解：
∵△ABC与△A'B'C'是位似图形，位似中心为点O，点A(-3,1)的对应点为A'(-6,2)，
∴位似比为$\frac{OA'}{OA}=\frac{\sqrt{(-6)^2+2^2}}{\sqrt{(-3)^2+1^2}}=2$。
∵点B(-2,4)，
∴点B'的坐标为(-2×2,4×2)=(-4,8)。
答案：A
∵△ABC与△A'B'C'是位似图形，位似中心为点O，点A(-3,1)的对应点为A'(-6,2)，
∴位似比为$\frac{OA'}{OA}=\frac{\sqrt{(-6)^2+2^2}}{\sqrt{(-3)^2+1^2}}=2$。
∵点B(-2,4)，
∴点B'的坐标为(-2×2,4×2)=(-4,8)。
答案：A
4. (2023·长春)如图，$△ ABC$ 和 $△ A'B'C'$ 是以点 $O$ 为位似中心的位似图形，点 $A$ 在线段 $OA'$ 上. 若 $OA:AA'=1:2$，则 $△ ABC$ 与 $△ A'B'C'$ 的周长之比为
1:3
.答案
4.1:3
解析
解：
∵△ABC和△A'B'C'是以点O为位似中心的位似图形，
∴△ABC∽△A'B'C'，且相似比为OA:OA'。
∵OA:AA'=1:2，
∴OA:OA'=OA:(OA+AA')=1:(1+2)=1:3。
∵相似三角形的周长比等于相似比，
∴△ABC与△A'B'C'的周长之比为1:3。
1:3
∵△ABC和△A'B'C'是以点O为位似中心的位似图形，
∴△ABC∽△A'B'C'，且相似比为OA:OA'。
∵OA:AA'=1:2，
∴OA:OA'=OA:(OA+AA')=1:(1+2)=1:3。
∵相似三角形的周长比等于相似比，
∴△ABC与△A'B'C'的周长之比为1:3。
1:3
5. 如图，以点 $O$ 为位似中心，将 $△ OAB$ 放大后得到 $△ OCD$，$OA=2$，$AC=3$，则 $\frac{AB}{CD}=$
$\frac{2}{5}$
.答案
5.$\frac{2}{5}$
解析
解：
∵以点$O$为位似中心，将$△ OAB$放大后得到$△ OCD$，
$\therefore △ OAB ∼ △ OCD$，
$\because OA = 2$，$AC = 3$，
$\therefore OC=OA + AC=2 + 3=5$，
$\therefore \frac{AB}{CD}=\frac{OA}{OC}=\frac{2}{5}$。
$\frac{2}{5}$
∵以点$O$为位似中心，将$△ OAB$放大后得到$△ OCD$，
$\therefore △ OAB ∼ △ OCD$，
$\because OA = 2$，$AC = 3$，
$\therefore OC=OA + AC=2 + 3=5$，
$\therefore \frac{AB}{CD}=\frac{OA}{OC}=\frac{2}{5}$。
$\frac{2}{5}$
6. 如图，以点 $O$ 为位似中心，将 $△ ABC$ 放大得到 $△ DEF$，若 $AD=OA$，则 $△ ABC$ 与 $△ DEF$ 的面积之比为
1:4
.答案
6.1:4
解析
证明：
∵以点$O$为位似中心，将$△ ABC$放大得到$△ DEF$，
∴$△ ABC ∼ △ DEF$，且位似比为$\frac{OA}{OD}$。
∵$AD = OA$，
∴$OD = OA + AD = 2OA$，
∴位似比$\frac{OA}{OD} = \frac{OA}{2OA} = \frac{1}{2}$。
∵相似三角形面积比等于相似比的平方，
∴$△ ABC$与$△ DEF$的面积之比为$(\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$，即$1:4$。
$1:4$
∵以点$O$为位似中心，将$△ ABC$放大得到$△ DEF$，
∴$△ ABC ∼ △ DEF$，且位似比为$\frac{OA}{OD}$。
∵$AD = OA$，
∴$OD = OA + AD = 2OA$，
∴位似比$\frac{OA}{OD} = \frac{OA}{2OA} = \frac{1}{2}$。
∵相似三角形面积比等于相似比的平方，
∴$△ ABC$与$△ DEF$的面积之比为$(\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$，即$1:4$。
$1:4$
7. (2023·绥化)如图，在平面直角坐标系中，$△ ABC$ 与 $△ AB'C'$ 的相似比为 $1:2$，点 $A$ 是位似中心，已知点 $A(2,0)$，点 $C(a,b)$，$∠ C=90^{\circ}$. 则点 $C'$ 的坐标为
(6−2a,−2b)
. (结果用含 $a$，$b$ 的式子表示)答案
7.(6−2a,−2b)
解析
解：设点$C'$的坐标为$(x,y)$。
因为$△ ABC$与$△ AB'C'$的相似比为$1:2$，点$A$是位似中心，所以位似比为$1:2$或$1:-2$。
已知点$A(2,0)$，点$C(a,b)$。
当位似比为$1:-2$时，根据位似变换坐标公式：若位似中心为$(h,k)$，位似比为$k$，原坐标为$(x_0,y_0)$，则对应点坐标为$(h + k(x_0 - h), k(y_0 - k))$。
可得：$x = 2 + (-2)(a - 2) = 2 - 2a + 4 = 6 - 2a$，$y = 0 + (-2)(b - 0) = -2b$。
所以点$C'$的坐标为$(6 - 2a, -2b)$。
$(6 - 2a, -2b)$
因为$△ ABC$与$△ AB'C'$的相似比为$1:2$，点$A$是位似中心，所以位似比为$1:2$或$1:-2$。
已知点$A(2,0)$，点$C(a,b)$。
当位似比为$1:-2$时，根据位似变换坐标公式：若位似中心为$(h,k)$，位似比为$k$，原坐标为$(x_0,y_0)$，则对应点坐标为$(h + k(x_0 - h), k(y_0 - k))$。
可得：$x = 2 + (-2)(a - 2) = 2 - 2a + 4 = 6 - 2a$，$y = 0 + (-2)(b - 0) = -2b$。
所以点$C'$的坐标为$(6 - 2a, -2b)$。
$(6 - 2a, -2b)$
8. (2023·盘锦)如图，$△ ABO$ 的顶点坐标是 $A(2,6)$，$B(3,1)$，$O(0,0)$，以点 $O$ 为位似中心，将 $△ ABO$ 缩小为原来的 $\frac{1}{3}$，得到 $△ A'B'O$，则点 $A'$ 的坐标为
($\frac{2}{3}$,2)或(−$\frac{2}{3}$,-2)
.答案
8.($\frac{2}{3}$,2)或(−$\frac{2}{3}$,-2)
解析
解：以点$O$为位似中心，将$△ ABO$缩小为原来的$\frac{1}{3}$，点$A(2,6)$的对应点$A'$的坐标为：
当位似图形与原图形在同一侧时，$A'(2×\frac{1}{3},6×\frac{1}{3})=(\frac{2}{3},2)$；
当位似图形与原图形在两侧时，$A'(2×(-\frac{1}{3}),6×(-\frac{1}{3}))=(-\frac{2}{3},-2)$。
$(\frac{2}{3},2)$或$(-\frac{2}{3},-2)$
当位似图形与原图形在同一侧时，$A'(2×\frac{1}{3},6×\frac{1}{3})=(\frac{2}{3},2)$；
当位似图形与原图形在两侧时，$A'(2×(-\frac{1}{3}),6×(-\frac{1}{3}))=(-\frac{2}{3},-2)$。
$(\frac{2}{3},2)$或$(-\frac{2}{3},-2)$
