6. 如图,已知$ △ ABC $的面积是 12,$ BC = 6 $,点 $ E,I $分别在边 $ AB,AC $上,在 $ BC $边上依次作了 $ n $个全等的小正方形 $ DEFG,GFMN,···,KHIJ $,则每个小正方形的边长为 ()

A.$ \frac{12}{11} $
B.$ \frac{12}{2n - 3} $
C.$ \frac{12}{5} $
D.$ \frac{12}{2n + 3} $

6. D

解：设每个小正方形的边长为$ x $。
过点$ A $作$ BC $的垂线，垂足为$ O $，则$ AO $为$ △ ABC $的高。
由$ S_{△ ABC}=\frac{1}{2} × BC × AO = 12 $，$ BC=6 $，得$ AO=4 $。
设$ E,I $所在直线与$ AO $交于点$ P $，则$ △ AEI ∼ △ ABC $，相似比为$ \frac{AO - x}{AO} = \frac{4 - x}{4} $。
小正方形排列总长度为$ nx $，故$ EI = BC - 2 × \frac{nx}{2} = 6 - nx $（两侧空白三角形底边长之和为$ nx $）。
由相似比得$ \frac{EI}{BC} = \frac{4 - x}{4} $，即$ \frac{6 - nx}{6} = \frac{4 - x}{4} $。
解得$ x = \frac{12}{2n + 3} $。
答案：D

7. 如图,点 $ M $是$ △ ABC $的角平分线 $ AT $的中点,点 $ D,E $分别在 $ AB,AC $边上,线段 $ DE $过点 $ M $,且$ ∠ ADE = ∠ C $,那么$ △ ADE $和$ △ ABC $的面积比是.

7. $ 1:4 $

证明：
∵∠ADE=∠C，∠DAE=∠CAB，
∴△ADE∽△ACB，
∴$\frac{AD}{AC}=\frac{AE}{AB}=\frac{DE}{BC}$，且$\frac{S_{△ADE}}{S_{△ABC}}=(\frac{AD}{AC})^2$。
设AT为∠BAC的平分线，M为AT中点，设AM=MT=m，则AT=2m。
过D作DF//AT交BC于F，过E作EG//AT交BC于G，
由△ADE∽△ACB，得$\frac{AD}{AC}=\frac{AM}{AT}=\frac{m}{2m}=\frac{1}{2}$（平行线分线段成比例）。
∴$\frac{S_{△ADE}}{S_{△ABC}}=(\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}$，即面积比为$1:4$。
$1:4$

8. 如图,已知点 $ P $是边长为 10 的正方形 $ ABCD $内的一点,且 $ PB = 8 $,$ BF ⊥ BP $,若在射线 $ BF $上有一点 $ M $,使以点 $ B,M,C $为顶点的三角形与$ △ ABP $相似,那么 $ BM = $.

8. 8 或 12.5

证明：
∵四边形$ABCD$是正方形，
∴$AB=BC=10$，$∠ ABC=90°$，
∵$BF ⊥ BP$，
∴$∠ PBF=90°$，
∴$∠ ABP + ∠ PBC = ∠ CBM + ∠ PBC = 90°$，
∴$∠ ABP = ∠ CBM$。
情况1： 当$△ ABP ∼ △ CBM$时，
$\frac{AB}{CB} = \frac{BP}{BM}$，
即$\frac{10}{10} = \frac{8}{BM}$，
解得$BM=8$。
情况2： 当$△ ABP ∼ △ MBC$时，
$\frac{AB}{MB} = \frac{BP}{BC}$，
即$\frac{10}{BM} = \frac{8}{10}$，
解得$BM=\frac{25}{2}=12.5$。
综上，$BM=8$或$12.5$。
答案：$8$或$12.5$

9. 若一个三角形一条边的平方等于另两条边的乘积,我们把这个三角形叫作比例三角形.

(1) 已知$ △ ABC $是比例三角形,$ AB = 2 $,$ BC = 3 $,请直接写出所有满足条件的 $ AC $的长;
(2) 如图 1,在四边形 $ ABCD $中,$ AD // BC $,对角线 $ BD $平分$ ∠ ABC $,$ ∠ BAC = ∠ ADC $.求证:$ △ ABC $是比例三角形.
(3) 如图 2,在(2)的条件下,当$ ∠ ADC = 90^{\circ} $时,求$ \frac{BD}{AC} $的值.

9. (1) 当 $ AC = \dfrac{4}{3} $ 或 $ \dfrac{9}{2} $ 或 $ \sqrt{6} $ 时，$ △ ABC $ 是比例三角形；(2) $ \because AD // BC $，$ \therefore ∠ ACB = ∠ CAD $，又 $ \because ∠ BAC = ∠ ADC $，$ \therefore △ ABC ∽ △ DCA $，$ \therefore \dfrac{BC}{CA} = \dfrac{CA}{AD} $，即 $ CA^{2} = BC · AD $，$ \because AD // BC $，$ \therefore ∠ ADB = ∠ CBD $，$ \because BD $ 平分 $ ∠ ABC $，$ \therefore ∠ ABD = ∠ CBD $，$ \therefore ∠ ADB = ∠ ABD $，$ \therefore AB = AD $，$ \therefore CA^{2} = BC · AB $，$ \therefore △ ABC $ 是比例三角形；(3) 过点 $ A $ 作 $ AH ⊥ BD $ 于点 $ H $，$ \because AB = AD $，$ \therefore BH = \dfrac{1}{2}BD $，$ \because AD // BC $，$ ∠ ADC = 90^{\circ} $，$ \therefore ∠ BCD = 90^{\circ} $，$ \therefore ∠ BHA = ∠ BCD = 90^{\circ} $，又 $ \because ∠ ABH = ∠ DBC $，$ \therefore △ ABH ∽ △ DBC $，$ \therefore \dfrac{AB}{DB} = \dfrac{BH}{BC} $，即 $ AB · BC = BH · DB $，$ \therefore AB · BC = \dfrac{1}{2}BD^{2} $，又 $ \because AB · BC = AC^{2} $，$ \therefore \dfrac{1}{2}BD^{2} = AC^{2} $，$ \therefore \dfrac{BD}{AC} = \sqrt{2} $。

(1) 当$AC=\dfrac{4}{3}$或$\dfrac{9}{2}$或$\sqrt{6}$时，$△ ABC$是比例三角形；
(2) 证明：$\because AD// BC$，$\therefore ∠ ACB=∠ CAD$，
又$\because ∠ BAC=∠ ADC$，$\therefore △ ABC∽ △ DCA$，
$\therefore \dfrac{BC}{CA}=\dfrac{CA}{AD}$，即$CA^{2}=BC· AD$，
$\because AD// BC$，$\therefore ∠ ADB=∠ CBD$，
$\because BD$平分$∠ ABC$，$\therefore ∠ ABD=∠ CBD$，
$\therefore ∠ ADB=∠ ABD$，$\therefore AB=AD$，
$\therefore CA^{2}=BC· AB$，$\therefore △ ABC$是比例三角形；
(3) $\sqrt{2}$