9. 如图，以点 $O$ 为位似中心，作四边形 $ABCD$ 的位似图形 $A'B'C'D'$，已知 $\frac{OA}{OA'}=\frac{1}{3}$，若四边形 $ABCD$ 的面积是 $2$，则四边形 $A'B'C'D'$ 的面积是 ()

A.$4$
B.$6$
C.$16$
D.$18$

9.D

解：
∵以点$O$为位似中心，四边形$ABCD$与四边形$A'B'C'D'$是位似图形，$\frac{OA}{OA'}=\frac{1}{3}$，
∴四边形$ABCD$与四边形$A'B'C'D'$的相似比为$\frac{1}{3}$。
∵相似图形面积比等于相似比的平方，
∴$\frac{S_{四边形ABCD}}{S_{四边形A'B'C'D'}}=(\frac{1}{3})^2=\frac{1}{9}$。
∵四边形$ABCD$的面积是$2$，
∴$\frac{2}{S_{四边形A'B'C'D'}}=\frac{1}{9}$，
解得$S_{四边形A'B'C'D'}=18$。
答案：D

10. 《墨子·天文志》记载：“执规矩，以度天下之方圆.”度方知圆，感悟数学之美. 如图，正方形 $ABCD$ 的边长为 $2$，以它的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形 $A'B'C'D'$，若 $A'B':AB=2:1$，则四边形 $A'B'C'D'$ 的外接圆半径为.

10.2$\sqrt{2}$

解：
∵正方形$ABCD$的边长为$2$，
∴正方形$ABCD$的对角线长为$\sqrt{2^2 + 2^2} = 2\sqrt{2}$，其外接圆半径为$\frac{2\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$。
∵以对角线交点为位似中心，位似比$A'B':AB = 2:1$，
∴四边形$A'B'C'D'$的外接圆半径为$\sqrt{2} × 2 = 2\sqrt{2}$。
$2\sqrt{2}$

11. 问题情境：
如图 1，在 $Rt△ ABC$ 中，$∠ ABC=90^{\circ}$，$AB=6$，$BC=8$，$D$，$E$ 分别为 $AB$，$BC$ 边的中点，连接 $DE$. 然后将 $△ DBE$ 绕点 $B$ 顺时针旋转，旋转角为 $α(0^{\circ}＜α＜360^{\circ})$，连接 $AD$，$CE$，$CE$ 所在的直线与 $AD$ 所在的直线交于点 $F$.
观察发现：
(1) 在图 1 中，$\frac{CE}{AD}=$.
数学思考：
(2) 如图 2，在 $△ DBE$ 旋转的过程中：
① $\frac{CE}{AD}$ 的值是否会发生变化？请说明理由.
② 当 $BE// AD$ 时，试判断四边形 $BEFD$ 的形状，并说明理由.
深入探究：
(3) 在 $△ DBE$ 旋转的过程中，当 $A$，$D$，$E$ 三点共线时，请你直接写出 $AE$ 的长.

11.(1)$\frac{4}{3}$　(2)①$\frac{CE}{AD}$的值不会变化,理由如下:如图,设AB与CF交于点G,
∵D,E分别为AB,BC的中点，
∴BD=$\frac{1}{2}$AB=3,BE=$\frac{1}{2}$BC=4,
∴$\frac{BC}{BA}$=$\frac{BE}{BD}$=$\frac{4}{3}$，由旋转的性质知，∠ABD=∠CBE,
∴△ABD∽△CBE,
∴$\frac{CE}{AD}$=$\frac{BC}{BA}$=$\frac{4}{3}$，
∴$\frac{CE}{AD}$的值不会发生变化;②四边形BEFD是矩形,理由如下:由旋转的性质知∠DBE=∠ABC=90°,
∵BE//AD,
∴∠FDB=180°−∠DBE=180°−90°=90°,由①得∠BAD=∠BCE,又
∵∠AGF=∠CGB,
∴∠AFC=∠ABC=90°,
∴∠EFD=90°,
∴四边形BEFD是矩形;　(3)AE的长为$\frac{6\sqrt{21}−16}{5}$或$\frac{6\sqrt{21}+16}{5}$