1. 如图，一束平行的阳光从教室窗户射入，小兵同学量出 $ BC = 1\mathrm{m}$，$ NC = \frac{4}{3}\mathrm{m}$，$ BN = \frac{5}{3}\mathrm{m}$，$ AC = 4.5\mathrm{m}$，$ MC = 6\mathrm{m}$，则 $ MA $ 的长为()

A.$ 5\mathrm{m}$
B.$ 7.5\mathrm{m}$
C.$ 6\mathrm{m}$
D.$ 5.5\mathrm{m}$

1. B

证明：
在$△ BCN$中，$BC=1\mathrm{m}$，$NC=\frac{4}{3}\mathrm{m}$，$BN=\frac{5}{3}\mathrm{m}$，
$\because BC^2 + NC^2 = 1^2 + (\frac{4}{3})^2 = 1 + \frac{16}{9} = \frac{25}{9} = (\frac{5}{3})^2 = BN^2$，
$\therefore △ BCN$是直角三角形，且$∠ C = 90°$。
$\because$ 阳光平行，$\therefore AB // MN$，
$\therefore △ ABC ∼ △ MNC$（两直线平行，同位角相等，故两三角形相似）。
$\therefore \frac{AC}{MC} = \frac{BC}{NC} = \frac{AB}{MN}$，
即$\frac{4.5}{6} = \frac{1}{\frac{4}{3}} = \frac{3}{4}$，比例成立。
在$\mathrm{Rt}△ ACM$中，$AC=4.5\mathrm{m}$，$MC=6\mathrm{m}$，
由勾股定理得：$MA = \sqrt{AC^2 + MC^2} = \sqrt{(4.5)^2 + 6^2} = \sqrt{20.25 + 36} = \sqrt{56.25} = 7.5\mathrm{m}$。
答案：B

2. 《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书于约一千五百年前，其中有首歌谣：今有竿不知其长，量得影长一丈五尺，立一标杆，长一尺五寸，影长五寸，问竿长几何？意即：有一根竹竿不知道有多长，量出它在太阳下的影子长一丈五尺，同时立一根一尺五寸的小标杆，它的影长五寸(提示：$ 1$ 丈 $ = 10$ 尺，$ 1$ 尺 $ = 10$ 寸)，则竹竿的长为()

A.五丈
B.四丈五尺
C.一丈
D.五尺

2. B

设竹竿的长为$x$尺。
由题意知，同一时刻物高与影长成正比。
标杆长一尺五寸，即$1.5$尺，影长五寸，即$0.5$尺；竹竿影长一丈五尺，即$15$尺。
可得比例式：$\frac{x}{15}=\frac{1.5}{0.5}$
解得$x = 45$尺，$45$尺$=4$丈$5$尺。
B

3. 阳光通过窗口 $ AB $ 照射到室内，在地面上留下 $ 2.7\mathrm{m}$ 的亮区 $ DE $(如图所示)，已知亮区到窗口下的墙角的距离 $ EC = 8.7\mathrm{m}$，窗口高 $ AB = 1.8\mathrm{m}$，则窗口底边离地面的高 $ BC $ 为()

A.$ 4\mathrm{m}$
B.$ 3.8\mathrm{m}$
C.$ 3.6\mathrm{m}$
D.$ 3.4\mathrm{m}$

3. A

4. (2023·南京)如图，不等臂跷跷板 $ AB $ 的一端 $ A $ 碰到地面时，另一端 $ B $ 到地面的高度为 $ 60\mathrm{cm}$；当 $ AB $ 的一端 $ B $ 碰到地面时，另一端 $ A $ 到地面的高度为 $ 90\mathrm{cm}$，则跷跷板 $ AB $ 的支撑点 $ O $ 到地面的高度 $ OH $ 是()

A.$ 36\mathrm{cm}$
B.$ 40\mathrm{cm}$
C.$ 42\mathrm{cm}$
D.$ 45\mathrm{cm}$

4. A

解：设支撑点$O$到地面的高度为$OH = h$，$OA = a$，$OB = b$。
当$A$端触地时，$B$端离地面$60\mathrm{cm}$，由相似三角形性质得：$\frac{h}{60} = \frac{a}{a + b}$。
当$B$端触地时，$A$端离地面$90\mathrm{cm}$，同理得：$\frac{h}{90} = \frac{b}{a + b}$。
两式相加：$\frac{h}{60} + \frac{h}{90} = 1$，通分得$\frac{3h + 2h}{180} = 1$，即$5h = 180$，解得$h = 36$。
答案：A. $36\mathrm{cm}$

5. 在同一时刻两根竹竿在太阳光下的影子如图所示，其中竹竿 $ AB = 2\mathrm{m}$，它的影子 $ BC = 1.6\mathrm{m}$，竹竿 $ PQ $ 的影子有一部分落在了墙上，$ PM = 1.2\mathrm{m}$，$ MN = 0.8\mathrm{m}$，则竹竿 $ PQ $ 的长为$\mathrm{m}$。

5. 2.3

解：过点N作ND⊥PQ于点D，则DN=PM=1.2m，DQ=MN=0.8m。
由题意知，同一时刻物高与影长成正比，即$\frac{AB}{BC}=\frac{PD}{DN}$。
已知$AB = 2\mathrm{m}$，$BC = 1.6\mathrm{m}$，$DN = 1.2\mathrm{m}$，代入可得：
$\frac{2}{1.6}=\frac{PD}{1.2}$
解得$PD=\frac{2×1.2}{1.6}=1.5\mathrm{m}$
所以$PQ=PD + DQ=1.5 + 0.8=2.3\mathrm{m}$
2.3

6. 如图，$ AB $ 和 $ DE $ 是直立在地面上的两根立柱。$ AB = 5\mathrm{m}$，某一时刻 $ AB $ 在阳光下的投影 $ BC = 3\mathrm{m}$。
（1）请你在图中画出此时 $ DE $ 在阳光下的投影；
（2）在测量 $ AB $ 的投影时，同时测量出 $ DE $ 在阳光下的投影长为 $ 6\mathrm{m}$，请你计算 $ DE $ 的长。

6. (1) 如图所示:EF 即为所求;
(2)
∵ AB = 5m,某一时刻 AB 在阳光下的投影 BC = 3m,EF = 6m,
∴ $\frac{AB}{BC} = \frac{DE}{EF}$,则 $\frac{5}{3} = \frac{DE}{6}$. 解得:DE = 10,答:DE 的长为 10m.