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15. 阅读下面材料：
小红遇到这样一个问题：如图 1，在四边形 $ABCD$ 中，$∠ A = ∠ C = 90^{\circ}$，$∠ D = 60^{\circ}$，$AB = 4\sqrt{3}$，$BC = \sqrt{3}$，求 $AD$ 的长。
小红发现，延长 $AB$ 与 $DC$ 相交于点 $E$，通过构造 $Rt△ ADE$，经过推理和计算能够使问题得到解决(如图 2)。请回答：$AD$ 的长为
参考小红思考问题的方法，解决问题：如图 3，在四边形 $ABCD$ 中，$\tan A=\frac{1}{2}$，$∠ B = ∠ C = 135^{\circ}$，$AB = 9$，$CD = 3$，求 $BC$ 和 $AD$ 的长。
小红遇到这样一个问题：如图 1，在四边形 $ABCD$ 中，$∠ A = ∠ C = 90^{\circ}$，$∠ D = 60^{\circ}$，$AB = 4\sqrt{3}$，$BC = \sqrt{3}$，求 $AD$ 的长。
小红发现，延长 $AB$ 与 $DC$ 相交于点 $E$，通过构造 $Rt△ ADE$，经过推理和计算能够使问题得到解决(如图 2)。请回答：$AD$ 的长为
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。参考小红思考问题的方法，解决问题：如图 3，在四边形 $ABCD$ 中，$\tan A=\frac{1}{2}$，$∠ B = ∠ C = 135^{\circ}$，$AB = 9$，$CD = 3$，求 $BC$ 和 $AD$ 的长。
答案
15. (1) 6 (2) 如图，延长 AB 与 DC 相交于点 E。$\because ∠ ABC=∠ BCD=135^{\circ}$，$\therefore ∠ EBC=∠ ECB=45^{\circ}$，$\therefore BE=CE$，$∠ E=90^{\circ}$。设 $BE=CE=x$，则 $BC=\sqrt{2}x$，$AE=9 + x$，$DE=3 + x$。在 $Rt△ ADE$ 中，$∠ E=90^{\circ}$，$\because \tan A=\frac{1}{2}$，$\therefore \frac{DE}{AE}=\frac{1}{2}$，即 $\frac{3 + x}{9 + x}=\frac{1}{2}$，$\therefore x=3$。经检验 $x=3$ 是所列方程的解，且符合题意，$\therefore BC=3\sqrt{2}$，$AE=12$，$DE=6$，$\therefore AD=\sqrt{AE^{2}+DE^{2}}=\sqrt{12^{2}+6^{2}}=6\sqrt{5}$。
16. 阅读：如图 1，在锐角 $△ ABC$ 中，$BC = a$，$CA = b$，$AB = c$，$△ ABC$ 的外接圆半径为 $R$，则 $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$。
证明：连接 $CO$ 并延长交 $\odot O$ 于点 $D$，连接 $DB$，
则 $∠ D = ∠ A$，$\because CD$ 为 $\odot O$ 的直径，$\therefore ∠ DBC = 90^{\circ}$。
在 $Rt△ ABC$ 中，$\because \sin D=\frac{BC}{DC}=\frac{a}{2R}$，
$\therefore \sin A=\frac{a}{2R}$，即 $\frac{a}{\sin A}=2R$，同理：$\frac{b}{\sin B}=2R$，$\frac{c}{\sin C}=2R$，
$\therefore \frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$。
（1）前面的阅读略去了“$\frac{b}{\sin B}=2R$，$\frac{c}{\sin C}=2R$”的证明过程，请你证明“$\frac{c}{\sin C}=2R$”；
（2）在锐角 $△ ABC$ 中，$AB = \sqrt{3}$，$BC = \sqrt{2}$，$∠ C = 60^{\circ}$，求 $△ ABC$ 的外接圆半径 $R$ 及 $∠ B$ 的度数。
证明：连接 $CO$ 并延长交 $\odot O$ 于点 $D$，连接 $DB$，
则 $∠ D = ∠ A$，$\because CD$ 为 $\odot O$ 的直径，$\therefore ∠ DBC = 90^{\circ}$。
在 $Rt△ ABC$ 中，$\because \sin D=\frac{BC}{DC}=\frac{a}{2R}$，
$\therefore \sin A=\frac{a}{2R}$，即 $\frac{a}{\sin A}=2R$，同理：$\frac{b}{\sin B}=2R$，$\frac{c}{\sin C}=2R$，
$\therefore \frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$。
（1）前面的阅读略去了“$\frac{b}{\sin B}=2R$，$\frac{c}{\sin C}=2R$”的证明过程，请你证明“$\frac{c}{\sin C}=2R$”；
（2）在锐角 $△ ABC$ 中，$AB = \sqrt{3}$，$BC = \sqrt{2}$，$∠ C = 60^{\circ}$，求 $△ ABC$ 的外接圆半径 $R$ 及 $∠ B$ 的度数。
答案
16. (1) 如图，连接 AO，并延长交 $\odot O$ 于点 E，连接 EB，则 $∠ E=∠ C$，$\because AE$ 为 $\odot O$ 的直径，$\therefore ∠ ABE=90^{\circ}$。在 $Rt△ ABE$ 中，$\because \sin E=\frac{AB}{AE}=\frac{c}{2R}$，$\therefore \sin C=\frac{c}{2R}$，即 $\frac{c}{\sin C}=2R$； (2) $\because \frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$，$\therefore \frac{BC}{\sin A}=\frac{AB}{\sin C}=2R$，$\therefore \frac{\sqrt{2}}{\sin A}=\frac{\sqrt{3}}{\sin 60^{\circ}}=2R$，$\therefore \sin A=\frac{\sqrt{2}· \frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$R=1$，$\therefore ∠ A=45^{\circ}$，$\therefore ∠ B=180^{\circ}-60^{\circ}-45^{\circ}=75^{\circ}$。
