10. 如图，在 $△ ABC$ 中，$AB = 2$，$AC = 4$，$∠ A = 120^{\circ}$，求 $BC$ 的长。

10. 过点 C 作 $CD⊥ AB$，交 BA 的延长线于点 D，则 $∠ CDA=90^{\circ}$，$\because ∠ CAB=120^{\circ}$，$\therefore ∠ CAD=60^{\circ}$，$\therefore ∠ ACD=30^{\circ}$，$\because AC=4$，$\therefore AD=2$，$CD=2\sqrt{3}$。$\because ∠ CDB=90^{\circ}$，$AB=2$，$\therefore DB=DA+AB=4$，$\therefore BC=\sqrt{DB^{2}+CD^{2}}=\sqrt{4^{2}+(2\sqrt{3})^{2}}=2\sqrt{7}$。

11. 如图，已知 $△ ABD$ 中，$AC⊥ BD$，$BC = 8$，$CD = 4$，$\cos∠ ABC=\frac{4}{5}$，$BF$ 为 $AD$ 边上的中线。求：
（1）$AC$ 的长；
（2）$\tan∠ FBD$ 的值。

11. (1) $\because AC⊥ BD$，$\cos∠ ABC=\frac{BC}{AB}=\frac{4}{5}$，$BC=8$，$\therefore AB=10$。在 $Rt△ ACB$ 中，由勾股定理得，$AC=\sqrt{AB^{2}-BC^{2}}=\sqrt{10^{2}-8^{2}}=6$，即 AC 的长为 6；(2) 如图，连接 CF，过点 F 作 BD 的垂线，垂足为点 E。解法一：$\because BF$ 为 AD 边上的中线，即 F 为 AD 的中点，$\therefore CF=\frac{1}{2}AD=FD$。在 $Rt△ ACD$ 中，由勾股定理得，$AD=\sqrt{AC^{2}+CD^{2}}=\sqrt{6^{2}+4^{2}}=2\sqrt{13}$。$\because$ 三角形 CFD 为等腰三角形，$FE⊥ CD$，$\therefore CE=\frac{1}{2}CD=2$。在 $Rt△ EFC$ 中，$EF=\sqrt{CF^{2}-CE^{2}}=\sqrt{13 - 4}=3$，$\therefore \tan∠ FBD=\frac{FE}{BE}=\frac{3}{BC + CE}=\frac{3}{10}$。解法二：$\because BF$ 为 AD 边上的中线，$\therefore F$ 是 AD 中点。$\because FE⊥ BD$，$AC⊥ BD$，$\therefore FE// AC$，$\therefore FE$ 是 $△ ACD$ 的中位线，$\therefore FE=\frac{1}{2}AC=3$，$CE=\frac{1}{2}CD=2$，$\therefore$ 在 $Rt△ BFE$ 中，$\tan∠ FBD=\frac{FE}{BE}=\frac{3}{8 + 2}=\frac{3}{10}$。

12. 如图，在 $△ ABC$ 中，$∠ ABC = 90^{\circ}$，$∠ A = 30^{\circ}$，$D$ 是边 $AB$ 上一点，$∠ BDC = 45^{\circ}$，$AD = 4$，求 $BC$ 的长。（结果保留根号）

12. BC 的长为 $2\sqrt{3}+2$

设 $ BC = x $。
在 $ △ ABC $ 中，$ ∠ ABC = 90° $，$ ∠ A = 30° $，
$\therefore AC = 2BC = 2x$，$ AB = \sqrt{AC^2 - BC^2} = \sqrt{(2x)^2 - x^2} = \sqrt{3}x $。
在 $ △ BDC $ 中，$ ∠ ABC = 90° $，$ ∠ BDC = 45° $，
$\therefore ∠ BCD = 45° $，$\therefore BD = BC = x $。
$\because AD = 4$，$ AB = AD + BD $，
$\therefore \sqrt{3}x = 4 + x $，
$\sqrt{3}x - x = 4$，
$x(\sqrt{3} - 1) = 4$，
$x = \frac{4}{\sqrt{3} - 1} = \frac{4(\sqrt{3} + 1)}{(\sqrt{3} - 1)(\sqrt{3} + 1)} = 2\sqrt{3} + 2$。
$\therefore BC = 2\sqrt{3} + 2$。

13. 在 $△ ABC$ 中，若 $∠ B = 45^{\circ}$，$AB = 10\sqrt{2}$，$AC = 5\sqrt{5}$，则 $△ ABC$ 的面积是。

13. 75 或 25

解：过点$A$作$AD ⊥ BC$于点$D$。
在$Rt△ ABD$中，$∠ B = 45^{\circ}$，$AB = 10\sqrt{2}$，
$\sin 45^{\circ} = \frac{AD}{AB}$，$\cos 45^{\circ} = \frac{BD}{AB}$，
$AD = AB · \sin 45^{\circ} = 10\sqrt{2} × \frac{\sqrt{2}}{2} = 10$，
$BD = AB · \cos 45^{\circ} = 10\sqrt{2} × \frac{\sqrt{2}}{2} = 10$。
在$Rt△ ADC$中，$AC = 5\sqrt{5}$，$AD = 10$，
$CD = \sqrt{AC^{2} - AD^{2}} = \sqrt{(5\sqrt{5})^{2} - 10^{2}} = \sqrt{125 - 100} = \sqrt{25} = 5$。
情况一：点$D$在线段$BC$上，$BC = BD + CD = 10 + 5 = 15$，
$S_{△ ABC} = \frac{1}{2} × BC × AD = \frac{1}{2} × 15 × 10 = 75$。
情况二：点$D$在线段$BC$的延长线上，$BC = BD - CD = 10 - 5 = 5$，
$S_{△ ABC} = \frac{1}{2} × BC × AD = \frac{1}{2} × 5 × 10 = 25$。
综上，$△ ABC$的面积是$75$或$25$。

14. 如图，$△ ABC$ 中，$AB = AC = 10$，$\tan A = 2$，$BE⊥ AC$ 于 $E$，$D$ 是线段 $BE$ 上的一个动点，则 $CD+\frac{\sqrt{5}}{5}BD$ 的最小值是()


A.$2\sqrt{5}$
B.$4\sqrt{5}$
C.$5\sqrt{3}$
D.$10$

14. B