1. 如图，在坡角为$α$的斜坡上要栽两棵树，要求它们之间的水平距离$AC$为$6m$，坡比$i=\frac{1}{2}$，则这两棵树之间的坡面$AB$的长为()

A.$1m$
B.$9m$
C.$2\sqrt{10}m$
D.$3\sqrt{5}m$

1. D

解：由坡比$i = \frac{1}{2}$，得$\tanα=\frac{BC}{AC}=\frac{1}{2}$。
已知$AC = 6m$，则$BC=\frac{1}{2}AC = 3m$。
在$Rt△ ABC$中，$AB=\sqrt{AC^{2}+BC^{2}}=\sqrt{6^{2}+3^{2}}=\sqrt{45}=3\sqrt{5}m$。
答案：D

2. 如图，某地修建的一座建筑物的截面图的高$BC = 5m$，坡面$AB$的坡度为$1:\sqrt{3}$，则$AB$的长度为()

A.$10m$
B.$10\sqrt{3}m$
C.$5m$
D.$5\sqrt{3}m$

2. A

解：
∵坡面$AB$的坡度为$1:\sqrt{3}$，$BC = 5m$，
∴$\frac{BC}{AC}=\frac{1}{\sqrt{3}}$，即$\frac{5}{AC}=\frac{1}{\sqrt{3}}$，
解得$AC = 5\sqrt{3}m$。
在$Rt△ ABC$中，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^{2}+BC^{2}}=\sqrt{(5\sqrt{3})^{2}+5^{2}}=\sqrt{75 + 25}=\sqrt{100}=10m$。
答案：A

3. (2023·深圳)爬坡时坡面与水平面夹角为$α$，则每爬$1m$耗能$(1.025-\cosα)J$，若某人爬了$1000m$，该坡角为$30^{\circ}$，则他耗能(参考数据：$\sqrt{3}\approx1.732$，$\sqrt{2}\approx1.414$)()

A.$58J$
B.$159J$
C.$1025J$
D.$1732J$

3. B

解：已知每爬$1m$耗能$(1.025 - \cosα)J$，坡角$α = 30°$，爬了$1000m$。
$\cos30° = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx \frac{1.732}{2} = 0.866$
每米耗能：$1.025 - 0.866 = 0.159J$
总耗能：$1000 × 0.159 = 159J$
答案：B

4. 一条上山直道的坡度为$1:7$，沿这条直道上山，每前进$100m$所上升的高度为m.

4. $10\sqrt{2}$

设上升的高度为$h$米，水平距离为$7h$米。
由勾股定理得：$h^2 + (7h)^2 = 100^2$
$h^2 + 49h^2 = 10000$
$50h^2 = 10000$
$h^2 = 200$
$h = \sqrt{200} = 10\sqrt{2}$
$10\sqrt{2}$

5. 如图，拦水坝的横断面为梯形$ABCD$，$AD = 4m$，$AF = DE = 6m$，斜面坡度$i = 1:1.5$是指坡面的铅直高度$AF$与水平面宽度$BF$的比，斜面坡度$i = 1:3$是指$DE$与$CE$的比，则$BC$的长为m.

5. 31

因为斜面坡度$i = 1:1.5$是指铅直高度$AF$与水平宽度$BF$的比，且$AF = 6m$，所以$\frac{AF}{BF}=\frac{1}{1.5}$，即$\frac{6}{BF}=\frac{1}{1.5}$，解得$BF = 6×1.5=9m$。
因为斜面坡度$i = 1:3$是指$DE$与$CE$的比，且$DE = 6m$，所以$\frac{DE}{CE}=\frac{1}{3}$，即$\frac{6}{CE}=\frac{1}{3}$，解得$CE=6×3 = 18m$。
由于四边形$AFED$是矩形（$AF$和$DE$是梯形的高，$AD$是上底），所以$FE = AD=4m$。
则$BC=BF + FE+CE=9 + 4+18=31m$。
31

6. (2023·湖北)为了防洪需要，某地决定新建一座拦水坝，如图，拦水坝的横断面为梯形$ABCD$，斜面坡度$i = 3:4$是指坡面的铅直高度$AF$与水平宽度$BF$的比.已知斜坡$CD$长度为$20$米，$∠ C = 18^{\circ}$，求斜坡$AB$的长.(结果精确到$0.1$米)(参考数据：$\sin18^{\circ}\approx0.31$，$\cos18^{\circ}\approx0.95$，$\tan18^{\circ}\approx0.32$)
]

6. 过点 D 作 $DE⊥ BC$，垂足为 E，由题意得：$AF⊥ BC$，$DE = AF$．
∵ 斜面 AB 的坡度 $i = 3:4$，
∴ $\frac{AF}{BF}=\frac{3}{4}$，
∴ 设 $AF = 3x$ 米，则 $BF = 4x$ 米．在 $Rt△ ABF$ 中，$AB = \sqrt{AF^{2}+BF^{2}}=\sqrt{(3x)^{2}+(4x)^{2}} = 5x$（米），在 $Rt△ DEC$ 中，$∠ C = 18^{\circ}$，$CD = 20$ 米，
∴ $DE = CD·\sin18^{\circ}\approx20×0.31 = 6.2$（米）．
∴ $AF = DE = 6.2$ 米，
∴ $3x = 6.2$．解得：$x = \frac{31}{15}$，
∴ $AB = 5x\approx10.3$（米），
∴ 斜坡 AB 的长约为 10.3 米．

7. 为了学生的安全，某校决定把一段如图所示的步梯路段进行改造.已知四边形$ABCD$为矩形，$DE = 10m$，其坡度为$i_{1}=1:\sqrt{3}$，将步梯$DE$改造为斜坡$AF$，其坡度为$i_{2}=1:4$，求斜坡$AF$的长度.(结果精确到$0.01m$，参考数据：$\sqrt{3}\approx1.732$，$\sqrt{17}\approx4.123$)
]

7.
∵ $DE = 10m$，其坡度为 $i_{1}=1:\sqrt{3}$，
∴ 在 $Rt△ DCE$ 中，$DE = \sqrt{DC^{2}+CE^{2}} = 2DC = 10$，
∴ 解得 $DC = 5$．
∵ 四边形 ABCD 为矩形，
∴ $AB = CD = 5$．
∵ 斜坡 AF 的坡度为 $i_{2}=1:4$，
∴ $\frac{AB}{BF}=\frac{1}{4}$，
∴ $BF = 4AB = 20$，
∴ 在 $Rt△ ABF$ 中，$AF = \sqrt{AB^{2}+BF^{2}} = 5\sqrt{17}\approx20.62(m)$．故斜坡 AF 的长度约为 20.62 m．