2.已知$x$与$y$的三组值:①$\begin{cases} x=0,\\ y=-1;\\ \end{cases}$
②$\begin{cases} x=15,\\ y=4;\\ \end{cases}$ ③$\begin{cases} x=2,\\ y=0.1。\\ \end{cases}$
(1)其中哪几组值是方程$x-3y=3$的解?哪几组值是方程$3x-10y=5$的解?
(2)哪几组值是方程组$\begin{cases} x-3y=3,\\ 3x-10y=5\\ \end{cases}$的解?

2.(1)①② ②③ (2)②

【分析】
要判断一组$x$、$y$的值是否为方程的解，只需将$x$、$y$的值代入方程，若方程左右两边相等，则该组值是方程的解；要判断是否为方程组的解，需同时满足方程组中的两个方程，即找两个方程解的公共组。具体思路如下：
1. 针对问题(1)，分别将三组$x$、$y$的值代入两个方程，逐一验证等式是否成立；
2. 针对问题(2)，筛选出同时满足两个方程的那组值，即为方程组的解。
【解析】
(1) 验证方程$x-3y=3$：
代入①$\begin{cases} x=0,\\ y=-1\\ \end{cases}$：左边$=0-3×(-1)=3$，右边$=3$，左边=右边，故①是方程$x-3y=3$的解；
代入②$\begin{cases} x=15,\\ y=4\\ \end{cases}$：左边$=15-3×4=15-12=3$，右边$=3$，左边=右边，故②是方程$x-3y=3$的解；
代入③$\begin{cases} x=2,\\ y=0.1\\ \end{cases}$：左边$=2-3×0.1=2-0.3=1.7$，右边$=3$，左边≠右边，故③不是方程$x-3y=3$的解。
验证方程$3x-10y=5$：
代入①$\begin{cases} x=0,\\ y=-1\\ \end{cases}$：左边$=3×0-10×(-1)=10$，右边$=5$，左边≠右边，故①不是方程$3x-10y=5$的解；
代入②$\begin{cases} x=15,\\ y=4\\ \end{cases}$：左边$=3×15-10×4=45-40=5$，右边$=5$，左边=右边，故②是方程$3x-10y=5$的解；
代入③$\begin{cases} x=2,\\ y=0.1\\ \end{cases}$：左边$=3×2-10×0.1=6-1=5$，右边$=5$，左边=右边，故③是方程$3x-10y=5$的解。
因此，方程$x-3y=3$的解是①②；方程$3x-10y=5$的解是②③。
(2) 方程组的解需同时满足两个方程，由(1)可知，只有②组值同时满足$x-3y=3$和$3x-10y=5$，故②是方程组的解。
【答案】
(1) 方程$x-3y=3$的解是①②；方程$3x-10y=5$的解是②③。
(2) ②
【知识点】
二元一次方程的解、二元一次方程组的解
【点评】
本题考查二元一次方程及方程组解的判断，核心方法是代入检验法，需明确方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，方程组的解是两个方程的公共解，解题时注意计算的准确性。
【难度系数】
0.8

1. 方程组$\begin{cases}2x+y=□,\\ x+y=3\\\end{cases}$的解为$\begin{cases}x=2,\\ y=□,\\\end{cases}$则被遮盖的两个数分别为( )。

A.2,1
B.2,3
C.5,1
D.2,4

1.C

【分析】
首先，根据二元一次方程组解的定义，方程组的解满足组内每一个方程。我们可以先将已知的解$x=2$代入第二个方程$x+y=3$，求出$y$的值；再把求出的$x$和$y$的值代入第一个方程，计算出被遮盖的第一个数，最后对比选项得到答案。
【解析】
1. 求解$y$的值：
将$x=2$代入方程$x+y=3$，可得：
$2+y=3$，
移项计算得$y=3-2=1$。
2. 求解第一个被遮盖的数：
将$x=2$，$y=1$代入$2x+y$，可得：
$2×2+1=5$。
由此可知被遮盖的两个数分别为5和1，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
二元一次方程组的解、代入消元法
【点评】
本题考查二元一次方程组解的核心定义，即解能使方程组中每个等式成立。解题思路清晰直接，只需利用代入求值的方法逐步计算即可，属于基础题型，旨在强化学生对方程组解的理解和基本运算能力。
【难度系数】
0.8

2.已知二元一次方程$2x+y=7$。
(1)若$x=2$,则$y=$;若$y=0$,则$x=$。
(2)该方程的正整数解有。

2.(1)$3;\frac{7}{2}$ (2)$\begin{cases} x=1, \\ y=5, \end{cases}$$\begin{cases} x=2, \\ y=3, \end{cases}$$\begin{cases} x=3, \\ y=1 \end{cases}$

【分析】
对于(1)，根据二元一次方程解的定义，将已知的未知数的值代入方程，转化为一元一次方程，求解即可得到另一个未知数的值；对于(2)，先将方程变形为用x表示y的形式，再根据正整数的限制条件，确定x的取值范围，进而找出所有符合条件的正整数x，代入求出对应的y，得到方程的正整数解。
【解析】
(1) 当$x=2$时，代入方程$2x+y=7$，得：
$2×2 + y = 7$
$4 + y = 7$
解得$y=3$；
当$y=0$时，代入方程$2x+y=7$，得：
$2x + 0 = 7$
解得$x=\frac{7}{2}$。
(2) 将方程$2x+y=7$变形为$y=7-2x$，
因为$x$、$y$是正整数，所以$x＞0$且$y=7-2x＞0$，
解不等式$7-2x＞0$，得$x＜3.5$，
则$x$可取的正整数为1、2、3：
当$x=1$时，$y=7-2×1=5$；
当$x=2$时，$y=7-2×2=3$；
当$x=3$时，$y=7-2×3=1$；
所以该方程的正整数解为$\begin{cases} x=1, \\ y=5, \end{cases}$$\begin{cases} x=2, \\ y=3, \end{cases}$$\begin{cases} x=3, \\ y=1 \end{cases}$。
【答案】
(1)$3;\frac{7}{2}$ (2)$\begin{cases} x=1, \\ y=5, \end{cases}$$\begin{cases} x=2, \\ y=3, \end{cases}$$\begin{cases} x=3, \\ y=1 \end{cases}$
【知识点】
二元一次方程的解；一元一次方程求解；正整数解确定
【点评】
本题考查二元一次方程解的相关知识，通过代入法可快速求出特定未知数的值，找正整数解时需结合正整数的限制条件确定未知数的取值范围，注意不要漏解，整体难度较低，有助于巩固二元一次方程解的概念。
【难度系数】
0.8

3. 已知$\begin{cases}x=1,\\ y=2\\\end{cases}$是方程组$\begin{cases}ax+y=-1,\\ 2x-by=0\\\end{cases}$的解,则$a+b=$ ______ 。

3.$-2$

【分析】
首先明确方程组的解的定义：方程组的解满足方程组中的每一个方程。因此我们可以将已知的解$\begin{cases}x=1,\\ y=2\\\end{cases}$分别代入方程组的两个方程，得到关于a和b的一元一次方程，解这两个方程求出a、b的值，最后计算a+b的结果即可。
【解析】
1. 将$\begin{cases}x=1,\\ y=2\\\end{cases}$代入方程$ax+y=-1$，可得：
$a×1 + 2 = -1$
移项得：$a = -1 - 2$
解得：$a = -3$
2. 将$\begin{cases}x=1,\\ y=2\\\end{cases}$代入方程$2x-by=0$，可得：
$2×1 - b×2 = 0$
化简得：$2 - 2b = 0$
移项得：$2b = 2$
解得：$b = 1$
3. 计算$a+b$：
$a+b = -3 + 1 = -2$
【答案】
$-2$
【知识点】
二元一次方程组的解；解一元一次方程
【点评】
本题主要考查二元一次方程组解的定义，解题关键是利用解满足方程组中每个方程的性质，将解代入方程转化为关于a、b的一元一次方程进行求解，属于基础题型，注重对基础知识的考查。
【难度系数】
0.8

4.根据下列关系,求出$y$的值:

根据上述数据,找出方程组$\begin{cases}x+2y=9,\\ 3x-y=-1\\\end{cases}$的解: ______ 。

4.
方程 $x=-2$ $x=-1$ $x=0$ $x=1$ $x=2$
$x+2y=9$ $y=5.5$ $y=5$ $y=4.5$ $y=4$ $y=3.5$
$3x-y=-1$ $y=-5$ $y=-2$ $y=1$ $y=4$ $y=7$
$\begin{cases} x=1, \\ y=4 \end{cases}$

【分析】
1. 对于每个给定的方程，我们可以通过代入已知的$x$值，将方程转化为关于$y$的一元一次方程，进而求解出对应的$y$值：
对于方程$x+2y=9$，先将其变形为$y=\frac{9-x}{2}$，再依次代入$x=-2,-1,0,1,2$计算$y$；
对于方程$3x-y=-1$，先变形为$y=3x+1$，再代入不同的$x$值计算$y$。
2. 二元一次方程组的解是同时满足两个方程的一组$x$、$y$值，因此我们需要在计算出的两组数据中，找到$x$和$y$完全相同的那一组，即为方程组的解。
【解析】
1. 计算方程$x+2y=9$中各$x$对应的$y$值：
当$x=-2$时，$y=\frac{9-(-2)}{2}=\frac{11}{2}=5.5$；
当$x=-1$时，$y=\frac{9-(-1)}{2}=\frac{10}{2}=5$；
当$x=0$时，$y=\frac{9-0}{2}=4.5$；
当$x=1$时，$y=\frac{9-1}{2}=\frac{8}{2}=4$；
当$x=2$时，$y=\frac{9-2}{2}=\frac{7}{2}=3.5$。
2. 计算方程$3x-y=-1$中各$x$对应的$y$值：
先将方程变形为$y=3x+1$；
当$x=-2$时，$y=3×(-2)+1=-6+1=-5$；
当$x=-1$时，$y=3×(-1)+1=-3+1=-2$；
当$x=0$时，$y=3×0+1=1$；
当$x=1$时，$y=3×1+1=4$；
当$x=2$时，$y=3×2+1=7$。
3. 确定方程组的解：观察两组计算结果，当$x=1$时，两个方程对应的$y$值均为4，因此方程组$\begin{cases}x+2y=9,\\ 3x-y=-1\\\end{cases}$的解为$\begin{cases} x=1, \\ y=4 \end{cases}$。
【答案】
|方程|$x=-2$|$x=-1$|$x=0$|$x=1$|$x=2$|
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
|$x+2y=9$|$y=5.5$|$y=5$|$y=4.5$|$y=4$|$y=3.5$|
|$3x-y=-1$|$y=-5$|$y=-2$|$y=1$|$y=4$|$y=7$|
方程组的解：$\begin{cases} x=1, \\ y=4 \end{cases}$
【知识点】
代入法求方程的解；二元一次方程组的解的定义；解一元一次方程
【点评】
本题主要考查代入求值和二元一次方程组解的概念，解题关键是熟练掌握一元一次方程的求解方法，理解方程组的解是同时满足两个方程的公共解，计算过程中需注意符号和分数运算的准确性。
【难度系数】
0.8

5. 已知$\frac{2x+y}{3}=\frac{x+3y}{5}=1$,则将其化为方程组$\begin{cases}a_{1}x+b_{1}y=c_{1},\\ a_{2}x+b_{2}y=c_{2}\\\end{cases}$的形式为 ______ 。
自我反思
存在的问题:

改进的措施:

5.$\begin{cases} 2x+y=3, \\ x+3y=5 \end{cases}$(答案不唯一)

【分析】
首先，我们要明确目标是将连等式转化为二元一次方程组。解题思路为：根据等式的基本性质，当分式等于1且分母不为0时，分子与分母相等。我们可以把给定的连等式拆分成两个独立的等式，分别对每个等式进行去分母变形，将分式形式转化为整式方程，最后把这两个整式方程组合成符合要求的方程组即可。具体来说，先处理$\frac{2x+y}{3}=1$，两边乘3消去分母；再处理$\frac{x+3y}{5}=1$，两边乘5消去分母，就能得到对应的整式方程。
【解析】
已知$\frac{2x+y}{3}=\frac{x+3y}{5}=1$，可拆分为两个等式：
1. 对于$\frac{2x+y}{3}=1$，根据等式的性质2（等式两边同时乘同一个不为0的数，等式仍成立），两边同时乘以3，得：
$2x+y=3$；
2. 对于$\frac{x+3y}{5}=1$，同理，两边同时乘以5，得：
$x+3y=5$；
将这两个整式方程组合，得到方程组：
$\begin{cases} 2x+y=3, \\ x+3y=5 \end{cases}$
【答案】
$\begin{cases} 2x+y=3, \\ x+3y=5 \end{cases}$(答案不唯一)
【知识点】
等式的性质，二元一次方程组的转化
【点评】
本题考查等式性质的应用及分式形式向二元一次方程组的转化，属于基础题型。只要熟练掌握等式的基本性质，就能顺利完成分式到整式方程的转化，进而得到目标方程组。
【难度系数】
0.9