例4 如图,AB//EF,∠BCD=90°,试探索图中角α,β,γ之间的关系。

思路导引
首先过点C作CM//AB,过点D作DN//AB,由AB//EF,即可得AB//CM//DN//EF,然后由两直线平行,内错角相等,即可求得答案。
归纳总结
此题考查了平行线的性质。此题难度适中,注意掌握辅助线的作法,注意数形结合思想的应用。

例4.解:过点$C$作$CM// AB$,过点$D$作$DN// AB$,
因为$AB// EF$,
所以$AB// CM// DN// EF$,
所以$∠ BCM=α$,$∠ DCM=∠ CDN$,$∠ EDN=\gamma$。
因为$β =∠ CDN+∠ EDN=∠ CDN+\gamma$①,$∠ BCD$
$=α +∠ CDN=90°$②,
由①②得:$α +β -\gamma =90°$。

【分析】
要探索角α、β、γ之间的关系，已知$AB// EF$，$∠BCD=90°$，直接观察角的关系不明显，因此考虑通过作辅助线构造平行线，利用平行线的性质（内错角相等）将分散的角联系起来。具体思路为：过点C、D分别作与AB平行的直线，借助平行线的传递性得到多条直线平行，再根据平行线的性质把α、β、γ转化为与$∠BCD$相关的角，最后结合$∠BCD=90°$推导角的关系式。
【解析】
过点$C$作$CM// AB$，过点$D$作$DN// AB$，
因为$AB// EF$，根据平行线的传递性，可得$AB// CM// DN// EF$。
根据“两直线平行，内错角相等”，可得：
$∠BCM=α$，$∠DCM=∠CDN$，$∠EDN=γ$。
因为$β =∠CDN+∠EDN$，所以$β =∠CDN+\gamma$ ①；
又因为$∠BCD=∠BCM+∠DCM=α +∠CDN=90°$ ②；
将①变形得$∠CDN=β -\gamma$，代入②中，可得：
$α + (β -\gamma)=90°$，整理得$α +β -\gamma =90°$。
【答案】
$\boldsymbol{α +β -\gamma =90°}$

【知识点】
平行线的性质，角的和差关系
【点评】
本题考查平行线性质的应用，解题关键是通过作辅助线构造平行关系，将分散的角转化为可关联的角，体现了数形结合思想的运用。辅助线的作法是解决此类平行线中角的关系问题的常用技巧，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.6

4. 如图,直线$l_{1}// l_{2}// l_{3}$,点A,B,C分别在直线$l_{1}$,$l_{2}$,$l_{3}$上。若∠1=70°,∠2=50°,则∠ABC=()。


A.100°
B.120°
C.130°
D.150°

4.B

【分析】
要计算∠ABC的度数，已知直线$ l_{1}// l_{2}// l_{3} $，可利用平行线的性质，将∠ABC拆分为两个与已知角∠1、∠2相等的内错角，再通过求和得到结果。具体思路：因为$ l_{1}// l_{2} $，所以∠1与∠ABC的上半部分角是内错角，二者相等；$ l_{2}// l_{3} $，∠2与∠ABC的下半部分角是内错角，二者相等，最后将这两个角相加即可得到∠ABC的度数。
【解析】
解：
∵ $ l_{1}// l_{2} $（已知），
∴ $ ∠ 1 = ∠ ABD = 70° $（两直线平行，内错角相等）。
∵ $ l_{2}// l_{3} $（已知），
∴ $ ∠ 2 = ∠ CBD = 50° $（两直线平行，内错角相等）。
∴ $ ∠ ABC = ∠ ABD + ∠ CBD = 70° + 50° = 120° $。
【答案】
B
【知识点】
平行线的性质（内错角相等）
【点评】
本题考查平行线性质的实际应用，解题的关键是通过平行线的性质，将未知角转化为已知角的和，属于基础题型，难度不大，需要熟练掌握平行线的性质。
【难度系数】
0.8

例5 如图,已知AB//CD,直线MN与AB,CD分别相交于点E,F,EG,FH分别平分∠BEN,∠DFN,问EG,FH是否平行?请说明理由。

思路导引
根据角平分线的定义得出$∠ GEF=\frac{1}{2}∠ BEN$,$∠ HFN=\frac{1}{2}∠ DFN$,根据平行线的性质得出∠BEN=∠DFN,推出∠GEF=∠HFN,根据平行线的判定得出即可。
归纳总结
本题考查了平行线的性质和判定的应用,求出∠GEF=∠HFN是解此题的关键。

例5.解:$EG// FH$。
理由:因为$EG$,$FH$分别平分$∠ BEN$,$∠ DFN$,
所以$∠ GEF=\frac{1}{2}∠ BEN$,$∠ HFN=\frac{1}{2}∠ DFN$。
因为$AB// CD$,
所以$∠ BEN=∠ DFN$,
所以$∠ GEF=∠ HFN$,
所以$EG// FH$。

【分析】
要判断EG与FH是否平行，我们可以从平行线的判定定理入手。首先，已知AB//CD，根据平行线的性质，同位角相等，可得∠BEN=∠DFN；再结合EG、FH分别是∠BEN、∠DFN的角平分线，根据角平分线的定义，可得到∠GEF和∠HFN分别是这两个角的一半，进而推出∠GEF=∠HFN；最后根据“同位角相等，两直线平行”的判定定理，就能得出EG与FH平行的结论。
【解析】
解:$EG// FH$。
理由:因为$EG$,$FH$分别平分$∠ BEN$,$∠ DFN$,
所以$∠ GEF=\frac{1}{2}∠ BEN$,$∠ HFN=\frac{1}{2}∠ DFN$。
因为$AB// CD$,
所以$∠ BEN=∠ DFN$,
所以$∠ GEF=∠ HFN$,
所以$EG// FH$。
【答案】
$EG// FH$
【知识点】
平行线的性质、平行线的判定、角平分线的定义
【点评】
本题综合考查了角平分线的定义以及平行线的性质与判定，解题的关键是通过等量代换得到同位角∠GEF与∠HFN相等，进而利用平行线的判定定理得出结论，需要熟练掌握相关定理并灵活运用。
【难度系数】
0.7

5. 如图,已知AB//CD,∠B=70°,CN是∠BCE的平分线,CM⊥CN。
(1)求∠BCM的度数;
(2)试说明:CM平分∠BCD。

5.解:(1)$∠ BCM=35°$;
(2)因为$AB// CD$,$∠ B=70°$,
所以$∠ BCD=∠ B=70°$。
因为$∠ BCM=35°$,
所以$∠ BCM=\frac{1}{2}∠ BCD$,
所以$CM$平分$∠ BCD$。

【分析】
(1) 首先根据平行线的同旁内角互补，由$AB// CD$和$∠ B=70°$求出$∠ BCE$的度数；再利用角平分线的定义得到$∠ BCN$的度数；结合$CM⊥ CN$，即$∠ NCM=90°$，通过角的差计算出$∠ BCM$的度数。
(2) 先根据平行线的内错角相等得到$∠ BCD=∠ B=70°$，再结合(1)中求出的$∠ BCM=35°$，验证$∠ BCM$是$∠ BCD$的一半，从而说明$CM$平分$∠ BCD$。
【解析】
(1) 因为$AB// CD$，根据“两直线平行，同旁内角互补”，可得$∠ B + ∠ BCE = 180°$。
已知$∠ B=70°$，所以$∠ BCE = 180° - 70° = 110°$。
因为$CN$是$∠ BCE$的平分线，根据角平分线的定义，$∠ BCN = \frac{1}{2}∠ BCE = \frac{1}{2} × 110° = 55°$。
又因为$CM⊥ CN$，所以$∠ NCM = 90°$，则$∠ BCM = ∠ NCM - ∠ BCN = 90° - 55° = 35°$。
(2) 因为$AB// CD$，根据“两直线平行，内错角相等”，可得$∠ BCD = ∠ B = 70°$。
由(1)知$∠ BCM=35°$，所以$∠ BCM = \frac{1}{2}∠ BCD$，根据角平分线的定义，可知$CM$平分$∠ BCD$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{∠ BCM=35°}$；
(2) 证明见上述解析过程。
【知识点】
平行线的性质，角平分线的定义，垂直的定义
【点评】
本题考查平行线的性质、角平分线和垂直定义的综合应用，解题关键是熟练掌握平行线的性质，准确理清角之间的数量关系，通过逐步推导完成证明和计算。
【难度系数】
0.6

1. 如图,直线AB//CD,CE平分∠ACD,交AB于点E,∠ACE=20°,点F在CA的延长线上,则∠BAF的度数为()。
A. 20°
B. 30°
C. 40°
D. 50°

1.C

【分析】
要解决本题，我们可以分两步思考：首先，根据角平分线的定义，由已知的∠ACE的度数求出∠ACD的度数；其次，利用平行线的性质，结合AB//CD的条件，找到∠BAF与∠ACD的数量关系，进而求出∠BAF的度数。具体来说，CE平分∠ACD，意味着∠ACD是∠ACE的2倍；而AB//CD时，∠BAF和∠ACD是同位角，根据“两直线平行，同位角相等”，即可得到∠BAF的度数。
【解析】
解：
∵CE平分∠ACD，∠ACE=20°，
∴∠ACD=2∠ACE=2×20°=40°，
∵AB//CD，
∴∠BAF=∠ACD=40°（两直线平行，同位角相等）。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
角平分线的定义；平行线的性质
【点评】
本题是角平分线定义与平行线性质的综合应用，属于基础几何题，解题的关键是准确识别角的位置关系，熟练运用相关性质进行角度计算。
【难度系数】
0.8