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2. 如图,某江段江水流向经过B,C,D三点拐弯后与原来方向相同,若∠ABC=125°,∠BCD=75°,则∠CDE的度数为(
A. 20°
B. 25°
C. 35°
D. 50°
A
)。A. 20°
B. 25°
C. 35°
D. 50°
答案
2.A
解析
【分析】
题目中提到江水流向经过B,C,D三点拐弯后与原来方向相同，可得出DE//AB。对于这种折线型角度计算问题，我们可以通过作辅助线构造平行线，利用平行线的性质（同旁内角互补、内错角相等）来求解∠CDE的度数。具体思路是：过点C作CF//AB，结合DE//AB可推出CF//DE，先根据AB//CF求出∠BCF的度数，再结合∠BCD的度数求出∠DCF的度数，最后利用CF//DE的内错角相等得到∠CDE的度数。
【解析】
过点C作CF//AB，如图所示：
因为江水流向拐弯后与原来方向相同，所以DE//AB，
又因为CF//AB，所以CF//DE（平行于同一条直线的两条直线互相平行）。
根据AB//CF，同旁内角互补，可得：
∠ABC + ∠BCF = 180°，
已知∠ABC=125°，则∠BCF = 180° - 125° = 55°。
因为∠BCD=75°，所以∠DCF = ∠BCD - ∠BCF = 75° - 55° = 20°。
又因为CF//DE，根据内错角相等，可得∠CDE = ∠DCF = 20°。
【答案】
A
【知识点】
平行线的性质与判定
【点评】
本题考查平行线的性质与判定的综合应用，解题关键是通过作辅助线构造平行线，将折线角度转化为平行线间的角度关系，这类题型是几何中常见的角度计算题型，需要熟练掌握平行线的相关性质和判定定理。
【难度系数】
0.6
题目中提到江水流向经过B,C,D三点拐弯后与原来方向相同，可得出DE//AB。对于这种折线型角度计算问题，我们可以通过作辅助线构造平行线，利用平行线的性质（同旁内角互补、内错角相等）来求解∠CDE的度数。具体思路是：过点C作CF//AB，结合DE//AB可推出CF//DE，先根据AB//CF求出∠BCF的度数，再结合∠BCD的度数求出∠DCF的度数，最后利用CF//DE的内错角相等得到∠CDE的度数。
【解析】
过点C作CF//AB，如图所示：
因为江水流向拐弯后与原来方向相同，所以DE//AB，
又因为CF//AB，所以CF//DE（平行于同一条直线的两条直线互相平行）。
根据AB//CF，同旁内角互补，可得：
∠ABC + ∠BCF = 180°，
已知∠ABC=125°，则∠BCF = 180° - 125° = 55°。
因为∠BCD=75°，所以∠DCF = ∠BCD - ∠BCF = 75° - 55° = 20°。
又因为CF//DE，根据内错角相等，可得∠CDE = ∠DCF = 20°。
【答案】
A
【知识点】
平行线的性质与判定
【点评】
本题考查平行线的性质与判定的综合应用，解题关键是通过作辅助线构造平行线，将折线角度转化为平行线间的角度关系，这类题型是几何中常见的角度计算题型，需要熟练掌握平行线的相关性质和判定定理。
【难度系数】
0.6
3. 将正方形纸片按照以下步骤进行折叠,得到的折痕AB与CD的位置关系是
AB⊥CD
;折痕AB与FG的位置关系是AB//FG
。答案
3.$AB⊥ CD$,$AB// FG$
解析
【分析】
首先，我们结合折叠的性质来分析折痕的位置关系：
1. 对于AB和CD：观察折叠过程，折叠后折痕AB与CD的夹角为90°，根据垂直的定义可判断二者垂直；
2. 对于AB和FG：由折叠可知FG与CD垂直，又因为AB已证与CD垂直，根据“同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行”，可推出AB与FG平行。
【解析】
1. 判断$AB$与$CD$的位置关系：
观察正方形的折叠过程（图②），折叠后折痕$AB$与$CD$的夹角为$90°$，根据垂直的定义，可得$\boldsymbol{AB⊥ CD}$。
2. 判断$AB$与$FG$的位置关系：
由折叠的性质（图③④）可知，$FG⊥ CD$，又因为$AB⊥ CD$，根据“在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行”，可得$\boldsymbol{AB// FG}$。
【答案】
$AB⊥ CD$，$AB// FG$
【知识点】
折叠的性质；平行线的判定；垂直的定义
【点评】
本题借助正方形的折叠操作，考查折叠的性质以及平行、垂直的几何判定，解题关键是结合折叠前后图形的对应关系，利用几何基本定理进行推理，需要学生具备一定的图形观察能力和几何推理能力。
【难度系数】
0.6
首先，我们结合折叠的性质来分析折痕的位置关系：
1. 对于AB和CD：观察折叠过程，折叠后折痕AB与CD的夹角为90°，根据垂直的定义可判断二者垂直；
2. 对于AB和FG：由折叠可知FG与CD垂直，又因为AB已证与CD垂直，根据“同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行”，可推出AB与FG平行。
【解析】
1. 判断$AB$与$CD$的位置关系：
观察正方形的折叠过程（图②），折叠后折痕$AB$与$CD$的夹角为$90°$，根据垂直的定义，可得$\boldsymbol{AB⊥ CD}$。
2. 判断$AB$与$FG$的位置关系：
由折叠的性质（图③④）可知，$FG⊥ CD$，又因为$AB⊥ CD$，根据“在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行”，可得$\boldsymbol{AB// FG}$。
【答案】
$AB⊥ CD$，$AB// FG$
【知识点】
折叠的性质；平行线的判定；垂直的定义
【点评】
本题借助正方形的折叠操作，考查折叠的性质以及平行、垂直的几何判定，解题关键是结合折叠前后图形的对应关系，利用几何基本定理进行推理，需要学生具备一定的图形观察能力和几何推理能力。
【难度系数】
0.6
4. 如图,给出下列条件:①∠3=∠4;②∠1=∠2;③EF//CD,且∠D=∠4;④∠3+∠5=180°。其中,能推出AD//BC的有
①③④
。(填序号)答案
4.①③④
解析
【分析】
要判断哪些条件能推出$AD// BC$，需结合平行线的判定定理（同位角相等、内错角相等、同旁内角互补），逐个分析每个条件：
1. 对于条件①，$∠3$与$∠4$是同位角，直接利用同位角相等可判定$AD// BC$；
2. 条件②中，$∠1$与$∠2$是内错角，只能推出$AB// CD$，无法得到$AD// BC$；
3. 条件③先由$EF// CD$得到同位角相等，再结合$∠ D=∠4$进行等量代换，得到$∠3=∠4$，进而判定$AD// BC$；
4. 条件④利用邻补角的定义和同角的补角相等，推出$∠3=∠4$，再根据同位角相等判定$AD// BC$。
【解析】
① $\because ∠3=∠4$（已知），
$\therefore AD// BC$（同位角相等，两直线平行），故①能推出$AD// BC$；
② $\because ∠1=∠2$（已知），
$\therefore AB// CD$（内错角相等，两直线平行），无法推出$AD// BC$，故②不符合；
③ $\because EF// CD$（已知），
$\therefore ∠3=∠ D$（两直线平行，同位角相等），
又$\because ∠ D=∠4$（已知），
$\therefore ∠3=∠4$（等量代换），
$\therefore AD// BC$（同位角相等，两直线平行），故③能推出$AD// BC$；
④ $\because ∠5+∠4=180°$（邻补角的定义），
$∠3+∠5=180°$（已知），
$\therefore ∠3=∠4$（同角的补角相等），
$\therefore AD// BC$（同位角相等，两直线平行），故④能推出$AD// BC$；
综上，能推出$AD// BC$的有①③④。
【答案】
①③④
【知识点】
平行线的判定与性质；邻补角的定义
【点评】
本题综合考查平行线的判定与性质的应用，解题关键是准确识别图中的同位角、内错角，明确不同条件对应的平行直线，避免混淆平行线的判定对象。
【难度系数】
0.6
要判断哪些条件能推出$AD// BC$，需结合平行线的判定定理（同位角相等、内错角相等、同旁内角互补），逐个分析每个条件：
1. 对于条件①，$∠3$与$∠4$是同位角，直接利用同位角相等可判定$AD// BC$；
2. 条件②中，$∠1$与$∠2$是内错角，只能推出$AB// CD$，无法得到$AD// BC$；
3. 条件③先由$EF// CD$得到同位角相等，再结合$∠ D=∠4$进行等量代换，得到$∠3=∠4$，进而判定$AD// BC$；
4. 条件④利用邻补角的定义和同角的补角相等，推出$∠3=∠4$，再根据同位角相等判定$AD// BC$。
【解析】
① $\because ∠3=∠4$（已知），
$\therefore AD// BC$（同位角相等，两直线平行），故①能推出$AD// BC$；
② $\because ∠1=∠2$（已知），
$\therefore AB// CD$（内错角相等，两直线平行），无法推出$AD// BC$，故②不符合；
③ $\because EF// CD$（已知），
$\therefore ∠3=∠ D$（两直线平行，同位角相等），
又$\because ∠ D=∠4$（已知），
$\therefore ∠3=∠4$（等量代换），
$\therefore AD// BC$（同位角相等，两直线平行），故③能推出$AD// BC$；
④ $\because ∠5+∠4=180°$（邻补角的定义），
$∠3+∠5=180°$（已知），
$\therefore ∠3=∠4$（同角的补角相等），
$\therefore AD// BC$（同位角相等，两直线平行），故④能推出$AD// BC$；
综上，能推出$AD// BC$的有①③④。
【答案】
①③④
【知识点】
平行线的判定与性质；邻补角的定义
【点评】
本题综合考查平行线的判定与性质的应用，解题关键是准确识别图中的同位角、内错角，明确不同条件对应的平行直线，避免混淆平行线的判定对象。
【难度系数】
0.6
5. 已知直线m//n,将一块含有30°角的三角板ABC按如图所示的方式放置(∠ABC=30°),其中A,B两点分别落在直线m,n上,若∠1=15°,则∠2=
45°
。答案
5.$45°$
解析
【分析】
首先，题目已知直线$ m // n $，三角板中$ ∠ ABC=30° $，$ ∠ 1=15° $，要求$ ∠ 2 $的度数。解题思路是利用平行线的性质：两直线平行，内错角相等。观察图形可知，$ ∠ 2 $与$ ∠ 1 $和$ ∠ ABC $的和是一组内错角，因此$ ∠ 2 $等于$ ∠ 1 $与$ ∠ ABC $的和，代入已知角度数值即可计算出结果。
【解析】
解：
∵ 直线$ m // n $，根据“两直线平行，内错角相等”，
∴ $ ∠ 2 = ∠ 1 + ∠ ABC $。
又
∵ $ ∠ 1 = 15° $，$ ∠ ABC = 30° $，
∴ $ ∠ 2 = 15° + 30° = 45° $。
【答案】
$ 45° $
【知识点】
平行线的性质、角的和差运算
【点评】
本题结合三角板的固定角度，考查平行线性质的实际应用，解题关键是准确识别图形中的内错角关系，通过简单的角的和差计算即可得出结果，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
首先，题目已知直线$ m // n $，三角板中$ ∠ ABC=30° $，$ ∠ 1=15° $，要求$ ∠ 2 $的度数。解题思路是利用平行线的性质：两直线平行，内错角相等。观察图形可知，$ ∠ 2 $与$ ∠ 1 $和$ ∠ ABC $的和是一组内错角，因此$ ∠ 2 $等于$ ∠ 1 $与$ ∠ ABC $的和，代入已知角度数值即可计算出结果。
【解析】
解：
∵ 直线$ m // n $，根据“两直线平行，内错角相等”，
∴ $ ∠ 2 = ∠ 1 + ∠ ABC $。
又
∵ $ ∠ 1 = 15° $，$ ∠ ABC = 30° $，
∴ $ ∠ 2 = 15° + 30° = 45° $。
【答案】
$ 45° $
【知识点】
平行线的性质、角的和差运算
【点评】
本题结合三角板的固定角度，考查平行线性质的实际应用，解题关键是准确识别图形中的内错角关系，通过简单的角的和差计算即可得出结果，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
6. 已知,如图,AB//DC,AF平分∠BAE,DF平分∠CDE,且∠AFD比∠AED的2倍小10°,则∠AED的度数为
76°
。答案
6.$76°$
解析
【分析】
本题需要结合平行线的折线模型、角平分线定义，通过建立方程求解。思考过程如下：
1. 先分析点E的位置：E在AB、DC外侧，利用“铅笔头模型”（平行线外侧点的角的关系），可得∠BAE + ∠CDE + ∠AED = 360°，从而推导出∠BAE + ∠CDE与∠AED的关系；
2. 再分析点F的位置：F在AB、DC之间，利用“猪蹄模型”（平行线内侧点的角的关系），可得∠AFD = ∠FAB + ∠FDC；
3. 结合角平分线定义，将∠FAB、∠FDC转化为∠BAE、∠CDE的一半，进而得到∠AFD与∠AED的关系式；
4. 最后根据题目给出的∠AFD与∠AED的数量关系，建立一元一次方程求解。
【解析】
设∠AED的度数为$ x $，则∠AFD = $ 2x - 10° $。
1. 过点E作$ EG // AB $，
因为$ AB // DC $，所以$ EG // DC $。
根据平行线性质，同旁内角互补：
$ ∠BAE + ∠AEG = 180° $，$ ∠CDE + ∠DEG = 180° $。
两式相加得：$ ∠BAE + ∠CDE + ∠AEG + ∠DEG = 360° $，
又因为$ ∠AEG + ∠DEG = ∠AED = x $，
所以$ ∠BAE + ∠CDE = 360° - x $。
2. 过点F作$ FH // AB $，同理$ FH // DC $。
根据平行线性质，内错角相等：
$ ∠FAB = ∠AFH $，$ ∠FDC = ∠DFH $，
因此$ ∠AFD = ∠AFH + ∠DFH = ∠FAB + ∠FDC $。
3. 因为AF平分∠BAE，DF平分∠CDE，
所以$ ∠FAB = \frac{1}{2}∠BAE $，$ ∠FDC = \frac{1}{2}∠CDE $，
则$ ∠AFD = \frac{1}{2}(∠BAE + ∠CDE) $。
将$ ∠BAE + ∠CDE = 360° - x $代入得：
$ ∠AFD = \frac{1}{2}(360° - x) = 180° - \frac{1}{2}x $。
4. 结合$ ∠AFD = 2x - 10° $，建立方程：
$ 180° - \frac{1}{2}x = 2x - 10° $
移项整理：
$ 190° = \frac{5}{2}x $
解得：$ x = 76° $。
【答案】
$\boldsymbol{76°}$
【知识点】
平行线的性质；角平分线的定义；一元一次方程的应用
【点评】
本题是平行线性质与角平分线的综合题，核心是利用平行线的折线模型实现角的转化，通过方程思想求解角度，考查了数形结合与逻辑推理能力。
【难度系数】
0.4
本题需要结合平行线的折线模型、角平分线定义，通过建立方程求解。思考过程如下：
1. 先分析点E的位置：E在AB、DC外侧，利用“铅笔头模型”（平行线外侧点的角的关系），可得∠BAE + ∠CDE + ∠AED = 360°，从而推导出∠BAE + ∠CDE与∠AED的关系；
2. 再分析点F的位置：F在AB、DC之间，利用“猪蹄模型”（平行线内侧点的角的关系），可得∠AFD = ∠FAB + ∠FDC；
3. 结合角平分线定义，将∠FAB、∠FDC转化为∠BAE、∠CDE的一半，进而得到∠AFD与∠AED的关系式；
4. 最后根据题目给出的∠AFD与∠AED的数量关系，建立一元一次方程求解。
【解析】
设∠AED的度数为$ x $，则∠AFD = $ 2x - 10° $。
1. 过点E作$ EG // AB $，
因为$ AB // DC $，所以$ EG // DC $。
根据平行线性质，同旁内角互补：
$ ∠BAE + ∠AEG = 180° $，$ ∠CDE + ∠DEG = 180° $。
两式相加得：$ ∠BAE + ∠CDE + ∠AEG + ∠DEG = 360° $，
又因为$ ∠AEG + ∠DEG = ∠AED = x $，
所以$ ∠BAE + ∠CDE = 360° - x $。
2. 过点F作$ FH // AB $，同理$ FH // DC $。
根据平行线性质，内错角相等：
$ ∠FAB = ∠AFH $，$ ∠FDC = ∠DFH $，
因此$ ∠AFD = ∠AFH + ∠DFH = ∠FAB + ∠FDC $。
3. 因为AF平分∠BAE，DF平分∠CDE，
所以$ ∠FAB = \frac{1}{2}∠BAE $，$ ∠FDC = \frac{1}{2}∠CDE $，
则$ ∠AFD = \frac{1}{2}(∠BAE + ∠CDE) $。
将$ ∠BAE + ∠CDE = 360° - x $代入得：
$ ∠AFD = \frac{1}{2}(360° - x) = 180° - \frac{1}{2}x $。
4. 结合$ ∠AFD = 2x - 10° $，建立方程：
$ 180° - \frac{1}{2}x = 2x - 10° $
移项整理：
$ 190° = \frac{5}{2}x $
解得：$ x = 76° $。
【答案】
$\boldsymbol{76°}$
【知识点】
平行线的性质；角平分线的定义；一元一次方程的应用
【点评】
本题是平行线性质与角平分线的综合题，核心是利用平行线的折线模型实现角的转化，通过方程思想求解角度，考查了数形结合与逻辑推理能力。
【难度系数】
0.4
7. 如图,在△ABC中,∠ABC=90°,AB=6,BC=8,AC=10,则点B到直线AC的距离为
4.8
。答案
7.4.8
解析
【分析】
要求点B到直线AC的距离，根据点到直线的距离定义，该距离是过点B作AC的垂线段的长度。已知△ABC是直角三角形，我们可以利用面积法求解：直角三角形的面积既可以用两条直角边的乘积的一半计算，也可以用斜边与斜边上的高（即点B到AC的距离）的乘积的一半计算，通过两种面积表达式相等建立等式，即可求出所求距离。
【解析】
设点B到直线AC的距离为$ h $。
因为$ ∠ ABC=90° $，所以$ △ ABC $是直角三角形，根据直角三角形面积公式：
$ S_{△ ABC}=\frac{1}{2} × AB × BC = \frac{1}{2} × 6 × 8 = 24 $。
同时，$ S_{△ ABC}=\frac{1}{2} × AC × h $，将$ AC=10 $，$ S_{△ ABC}=24 $代入得：
$ \frac{1}{2} × 10 × h = 24 $，
解得$ h = \frac{24 × 2}{10} = 4.8 $。
【答案】
4.8
【知识点】
直角三角形面积计算，点到直线的距离
【点评】
本题考查了利用面积法求直角三角形斜边上的高，核心是灵活运用直角三角形的两种面积计算方式，通过面积相等建立方程求解，这种方法是几何中求线段长度的常用技巧，有助于提升学生对几何图形面积与线段关系的理解。
【难度系数】
0.7
要求点B到直线AC的距离，根据点到直线的距离定义，该距离是过点B作AC的垂线段的长度。已知△ABC是直角三角形，我们可以利用面积法求解：直角三角形的面积既可以用两条直角边的乘积的一半计算，也可以用斜边与斜边上的高（即点B到AC的距离）的乘积的一半计算，通过两种面积表达式相等建立等式，即可求出所求距离。
【解析】
设点B到直线AC的距离为$ h $。
因为$ ∠ ABC=90° $，所以$ △ ABC $是直角三角形，根据直角三角形面积公式：
$ S_{△ ABC}=\frac{1}{2} × AB × BC = \frac{1}{2} × 6 × 8 = 24 $。
同时，$ S_{△ ABC}=\frac{1}{2} × AC × h $，将$ AC=10 $，$ S_{△ ABC}=24 $代入得：
$ \frac{1}{2} × 10 × h = 24 $，
解得$ h = \frac{24 × 2}{10} = 4.8 $。
【答案】
4.8
【知识点】
直角三角形面积计算，点到直线的距离
【点评】
本题考查了利用面积法求直角三角形斜边上的高，核心是灵活运用直角三角形的两种面积计算方式，通过面积相等建立方程求解，这种方法是几何中求线段长度的常用技巧，有助于提升学生对几何图形面积与线段关系的理解。
【难度系数】
0.7
8. 如图,已知AB//CD,∠C=125°,∠A=45°,则∠E的度数为
80°
。答案
8.$80°$
解析
【分析】
要计算∠E的度数，可通过平行线性质和三角形外角性质结合求解：
1. 首先利用AB//CD的条件，根据平行线的同位角相等，找到与∠C相等的角∠EFB；
2. 观察到∠EFB是△AEF的外角，根据三角形外角等于不相邻两内角之和的性质，建立∠EFB、∠A与∠E的关系，代入已知角度即可求出∠E。
【解析】
已知AB//CD，根据“两直线平行，同位角相等”，可得：
$∠ EFB = ∠ C = 125°$
又因为$∠ EFB$是$△ AEF$的外角，根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，所以：
$∠ EFB = ∠ A + ∠ E$
将$∠ A=45°$，$∠ EFB=125°$代入上式：
$125° = 45° + ∠ E$
解得：$∠ E = 125° - 45° = 80°$
【答案】
$80°$
【知识点】
平行线的性质，三角形外角性质
【点评】
本题考查平行线性质与三角形外角性质的综合运用，解题核心是通过平行线找到相等的角，再利用外角定理建立角的数量关系，题目基础，需熟练掌握几何基本性质并灵活应用。
【难度系数】
0.7
要计算∠E的度数，可通过平行线性质和三角形外角性质结合求解：
1. 首先利用AB//CD的条件，根据平行线的同位角相等，找到与∠C相等的角∠EFB；
2. 观察到∠EFB是△AEF的外角，根据三角形外角等于不相邻两内角之和的性质，建立∠EFB、∠A与∠E的关系，代入已知角度即可求出∠E。
【解析】
已知AB//CD，根据“两直线平行，同位角相等”，可得：
$∠ EFB = ∠ C = 125°$
又因为$∠ EFB$是$△ AEF$的外角，根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，所以：
$∠ EFB = ∠ A + ∠ E$
将$∠ A=45°$，$∠ EFB=125°$代入上式：
$125° = 45° + ∠ E$
解得：$∠ E = 125° - 45° = 80°$
【答案】
$80°$
【知识点】
平行线的性质，三角形外角性质
【点评】
本题考查平行线性质与三角形外角性质的综合运用，解题核心是通过平行线找到相等的角，再利用外角定理建立角的数量关系，题目基础，需熟练掌握几何基本性质并灵活应用。
【难度系数】
0.7
9. 已知:如图,AB//CD,线段EF分别与AB,CD相交于点E,F。
(1)如图①,已知∠A=30°,∠APC=80°,求∠C的度数;
(2)如图②,当动点P在线段EF上运动时(不包括E,F两点),∠A,∠APC与∠C之间有何数量关系?写出你的结论并证明;
(3)当动点P在直线EF(线段EF除外)上运动时,(2)中的结论是否仍然成立?如果不成立,请直接写出∠A,∠APC与∠C之间的数量关系。
(1)如图①,已知∠A=30°,∠APC=80°,求∠C的度数;
(2)如图②,当动点P在线段EF上运动时(不包括E,F两点),∠A,∠APC与∠C之间有何数量关系?写出你的结论并证明;
(3)当动点P在直线EF(线段EF除外)上运动时,(2)中的结论是否仍然成立?如果不成立,请直接写出∠A,∠APC与∠C之间的数量关系。
答案
9.解:(1)如图①,过$P$作$PO// AB$。
因为$AB// CD$,所以$AB// PO//$
$CD$,
因为$∠ A=30°$,所以$∠ APO=∠ A$
$=30°$,$∠ C=∠ CPO$。
因为$∠ APC=80°$,
所以$∠ C=∠ CPO=∠ APC-∠ APO=80°-30°=50°$。
(2)$∠ A+∠ C=∠ APC$。
证明:如图②,过$P$作$PO// AB$。
因为$AB// CD$,所以$AB// PO//$
$CD$。
所以$∠ APO=∠ A$,$∠ C=∠ CPO$,
所以$∠ APC=∠ APO+∠ CPO=∠ A+∠ C$。
(3)不成立,关系式是:$∠ A-∠ C=∠ APC$或$∠ C-∠ A$
$=∠ APC$。
解析
【分析】
1. 第(1)问：已知$AB// CD$，要求$∠ C$的度数，可通过过点$P$作平行线，利用平行线的传递性得到三条直线平行，再根据“两直线平行，内错角相等”，将$∠ APC$拆分为与$∠ A$、$∠ C$相关的角，通过角的差计算出$∠ C$。
2. 第(2)问：动点$P$在线段$EF$上时，同样采用作辅助线构造平行线的方法，利用平行线的性质，将$∠ APC$分解为两个分别等于$∠ A$和$∠ C$的角，从而推导出三个角的数量关系。
3. 第(3)问：当$P$在直线$EF$（线段$EF$除外）上时，需要分$P$在$E$点上方和$F$点下方两种情况讨论，作辅助线后根据平行线性质得到角的差的关系，判断原结论不成立并得出新的数量关系。
【解析】
(1) 如图①，过$P$作$PO// AB$。
因为$AB// CD$，所以$AB// PO// CD$，
因为$∠ A=30°$，所以$∠ APO=∠ A=30°$，$∠ C=∠ CPO$。
因为$∠ APC=80°$，
所以$∠ C=∠ CPO=∠ APC-∠ APO=80°-30°=50°$。
(2) 结论：$\boldsymbol{∠ A+∠ C=∠ APC}$。
证明：如图②，过$P$作$PO// AB$。
因为$AB// CD$，所以$AB// PO// CD$。
所以$∠ APO=∠ A$，$∠ C=∠ CPO$，
所以$∠ APC=∠ APO+∠ CPO=∠ A+∠ C$。
(3) 不成立，关系式是：$\boldsymbol{∠ A-∠ C=∠ APC}$或$\boldsymbol{∠ C-∠ A=∠ APC}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{50°}$；
(2) $\boldsymbol{∠ A+∠ C=∠ APC}$，证明见解析；
(3) 不成立，关系式为$\boldsymbol{∠ A-∠ C=∠ APC}$或$\boldsymbol{∠ C-∠ A=∠ APC}$。
【知识点】
平行线的性质，角的和差计算，分类讨论思想
【点评】
本题主要考查平行线的性质的应用，通过作辅助线构造平行线是解题的核心技巧，同时第(3)问需要分情况讨论动点位置，培养了学生的分类讨论思维和几何推理能力。
【难度系数】
0.6
1. 第(1)问：已知$AB// CD$，要求$∠ C$的度数，可通过过点$P$作平行线，利用平行线的传递性得到三条直线平行，再根据“两直线平行，内错角相等”，将$∠ APC$拆分为与$∠ A$、$∠ C$相关的角，通过角的差计算出$∠ C$。
2. 第(2)问：动点$P$在线段$EF$上时，同样采用作辅助线构造平行线的方法，利用平行线的性质，将$∠ APC$分解为两个分别等于$∠ A$和$∠ C$的角，从而推导出三个角的数量关系。
3. 第(3)问：当$P$在直线$EF$（线段$EF$除外）上时，需要分$P$在$E$点上方和$F$点下方两种情况讨论，作辅助线后根据平行线性质得到角的差的关系，判断原结论不成立并得出新的数量关系。
【解析】
(1) 如图①，过$P$作$PO// AB$。
因为$AB// CD$，所以$AB// PO// CD$，
因为$∠ A=30°$，所以$∠ APO=∠ A=30°$，$∠ C=∠ CPO$。
因为$∠ APC=80°$，
所以$∠ C=∠ CPO=∠ APC-∠ APO=80°-30°=50°$。
(2) 结论：$\boldsymbol{∠ A+∠ C=∠ APC}$。
证明：如图②，过$P$作$PO// AB$。
因为$AB// CD$，所以$AB// PO// CD$。
所以$∠ APO=∠ A$，$∠ C=∠ CPO$，
所以$∠ APC=∠ APO+∠ CPO=∠ A+∠ C$。
(3) 不成立，关系式是：$\boldsymbol{∠ A-∠ C=∠ APC}$或$\boldsymbol{∠ C-∠ A=∠ APC}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{50°}$；
(2) $\boldsymbol{∠ A+∠ C=∠ APC}$，证明见解析；
(3) 不成立，关系式为$\boldsymbol{∠ A-∠ C=∠ APC}$或$\boldsymbol{∠ C-∠ A=∠ APC}$。
【知识点】
平行线的性质，角的和差计算，分类讨论思想
【点评】
本题主要考查平行线的性质的应用，通过作辅助线构造平行线是解题的核心技巧，同时第(3)问需要分情况讨论动点位置，培养了学生的分类讨论思维和几何推理能力。
【难度系数】
0.6
