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1. 计算$(x - 1)(x^{2} - 1)$所得的结果是()
A.$x^{3}-1$
B.$x^{3}-x^{2}-x + 1$
C.$x^{3}-x + 1$
D.$x^{3}-x^{2}+1$
A.$x^{3}-1$
B.$x^{3}-x^{2}-x + 1$
C.$x^{3}-x + 1$
D.$x^{3}-x^{2}+1$
答案
B
解析
根据多项式乘法法则，将$(x - 1)$中的每一项与$(x^{2} - 1)$中的每一项相乘，即：
$(x - 1)(x^{2} - 1)$
$=x× x^{2}-x×1 - 1× x^{2}+1×1$
$=x^{3}-x - x^{2}+1$
$=x^{3}-x^{2}-x + 1$
$(x - 1)(x^{2} - 1)$
$=x× x^{2}-x×1 - 1× x^{2}+1×1$
$=x^{3}-x - x^{2}+1$
$=x^{3}-x^{2}-x + 1$
2. 计算$(x - 1)(x^{2}+x + 1)$所得的结果是()
A.$x^{3}-1$
B.$x^{3}+1$
C.$x^{3}-x - 1$
D.$x^{3}+x - 1$
A.$x^{3}-1$
B.$x^{3}+1$
C.$x^{3}-x - 1$
D.$x^{3}+x - 1$
答案
A
解析
根据多项式乘法法则，将$(x - 1)$中的每一项与$(x^{2}+x + 1)$中的每一项相乘，即：
$(x - 1)(x^{2}+x + 1)$
$=x× x^{2}+x× x+x×1 - 1× x^{2}-1× x - 1×1$
$=x^{3}+x^{2}+x - x^{2}-x - 1$
合并同类项后得$x^{3}-1$。
$(x - 1)(x^{2}+x + 1)$
$=x× x^{2}+x× x+x×1 - 1× x^{2}-1× x - 1×1$
$=x^{3}+x^{2}+x - x^{2}-x - 1$
合并同类项后得$x^{3}-1$。
3. 三个连续的偶数，若中间的一个数是$m$，则它们的积是()
A.$m^{3}+4$
B.$m^{3}-4$
C.$m^{3}+4m$
D.$m^{3}-4m$
A.$m^{3}+4$
B.$m^{3}-4$
C.$m^{3}+4m$
D.$m^{3}-4m$
答案
D
解析
因为三个连续偶数中间的数是$m$，所以另外两个数分别为$m - 2$和$m + 2$。它们的积为$(m - 2)m(m + 2)$，先计算$(m - 2)(m + 2)=m^2 - 4$，再乘以$m$，得到$m(m^2 - 4)=m^3 - 4m$。
4. 若$(2x - 4)(x + n)=2x^{2}+mx - 12$，则$m$的值是()
A.$2$
B.$-2$
C.$1$
D.$-1$
A.$2$
B.$-2$
C.$1$
D.$-1$
答案
A
解析
$(2x - 4)(x + n) = 2x^2 + (2n - 4)x - 4n$，对比$2x^2 + mx - 12$，得$-4n = -12$，$n = 3$；$m = 2n - 4 = 2×3 - 4 = 2$。
5. 若长方形的长为$(4a^{2}-2a + 1)$，宽为$(2a + 1)$，则这个长方形的面积为()
A.$8a^{3}-4a^{2}+2a - 1$
B.$8a^{3}+4a^{2}-2a - 1$
C.$8a^{3}-1$
D.$8a^{3}+1$
A.$8a^{3}-4a^{2}+2a - 1$
B.$8a^{3}+4a^{2}-2a - 1$
C.$8a^{3}-1$
D.$8a^{3}+1$
答案
D
解析
长方形面积 = 长×宽，即$(4a^{2}-2a + 1)(2a + 1)$。
$\begin{aligned}&4a^{2}×2a + 4a^{2}×1 - 2a×2a - 2a×1 + 1×2a + 1×1\\=&8a^{3} + 4a^{2} - 4a^{2} - 2a + 2a + 1\\=&8a^{3} + 1\end{aligned}$
$\begin{aligned}&4a^{2}×2a + 4a^{2}×1 - 2a×2a - 2a×1 + 1×2a + 1×1\\=&8a^{3} + 4a^{2} - 4a^{2} - 2a + 2a + 1\\=&8a^{3} + 1\end{aligned}$
6. 方程$x(2x - 5)-(x^{2}+4)=x(x - 1)$的解为()
A.$x = 1$
B.$x=-1$
C.$x = 2$
D.$x=-2$
A.$x = 1$
B.$x=-1$
C.$x = 2$
D.$x=-2$
答案
B
解析
首先将方程两边的多项式展开：
$x(2x - 5) = 2x^2 - 5x$，
$x(x - 1) = x^2 - x$。
原方程变为：
$2x^2 - 5x - (x^2 + 4) = x^2 - x$，
去掉括号并合并同类项：
$2x^2 - 5x - x^2 - 4 = x^2 - x$，
$x^2 - 5x - 4 = x^2 - x$。
两边同时减去$x^2$：
$-5x - 4 = -x$，
将$-5x$和$-x$移到同一边：
$-4 = 4x$，
解得：$x = -1$。
$x(2x - 5) = 2x^2 - 5x$，
$x(x - 1) = x^2 - x$。
原方程变为：
$2x^2 - 5x - (x^2 + 4) = x^2 - x$，
去掉括号并合并同类项：
$2x^2 - 5x - x^2 - 4 = x^2 - x$，
$x^2 - 5x - 4 = x^2 - x$。
两边同时减去$x^2$：
$-5x - 4 = -x$，
将$-5x$和$-x$移到同一边：
$-4 = 4x$，
解得：$x = -1$。
7. 化简代数式$(x - 3)(x - 4)-(x - 1)(x - 3)$，结果是.
答案
-3x + 9
解析
$\begin{aligned}&(x - 3)(x - 4)-(x - 1)(x - 3)\\=&[x^2 - 4x - 3x + 12]-[x^2 - 3x - x + 3]\\=&(x^2 - 7x + 12)-(x^2 - 4x + 3)\\=&x^2 - 7x + 12 - x^2 + 4x - 3\\=&-3x + 9\end{aligned}$
8. 化简：
(1) $(2x - 1)(x - x^{2})$.
(2) $3a(a^{2}+2a - 3)-(a^{2}-3)(3a + 6)$.
(1) $(2x - 1)(x - x^{2})$.
(2) $3a(a^{2}+2a - 3)-(a^{2}-3)(3a + 6)$.
答案
(1) 原式$=2x· x - 2x· x^{2} - 1· x + 1· x^{2}$
$=2x^{2} - 2x^{3} - x + x^{2}$
$=-2x^{3} + 3x^{2} - x$
(2) 原式$=3a· a^{2} + 3a· 2a - 3a· 3 - [a^{2}· 3a + a^{2}· 6 - 3· 3a - 3· 6]$
$=3a^{3} + 6a^{2} - 9a - [3a^{3} + 6a^{2} - 9a - 18]$
$=3a^{3} + 6a^{2} - 9a - 3a^{3} - 6a^{2} + 9a + 18$
$=18$
$=2x^{2} - 2x^{3} - x + x^{2}$
$=-2x^{3} + 3x^{2} - x$
(2) 原式$=3a· a^{2} + 3a· 2a - 3a· 3 - [a^{2}· 3a + a^{2}· 6 - 3· 3a - 3· 6]$
$=3a^{3} + 6a^{2} - 9a - [3a^{3} + 6a^{2} - 9a - 18]$
$=3a^{3} + 6a^{2} - 9a - 3a^{3} - 6a^{2} + 9a + 18$
$=18$
