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9. 已知一个三角形的一条边的长为$2a + 4$，且这条边上的高为$2a^{2}+a + 1$，则这个三角形的面积是()
A.$2a^{3}+2$
B.$2a^{3}+5a^{2}+3a + 2$
C.$(2a + 4)(2a^{2}+a + 1)$
D.$4a^{3}+6a^{2}+6a + 4$
A.$2a^{3}+2$
B.$2a^{3}+5a^{2}+3a + 2$
C.$(2a + 4)(2a^{2}+a + 1)$
D.$4a^{3}+6a^{2}+6a + 4$
答案
B
解析
根据三角形面积公式，面积等于底乘以高再除以2。
已知底为$2a + 4$，高为$2a^{2} + a + 1$，因此面积为：
$\mathrm{面积} = \frac{1}{2} × (2a + 4)(2a^{2} + a + 1)$
先计算$(2a + 4)(2a^{2} + a + 1)$：
$2a × 2a^{2} = 4a^{3}$ ，
$2a × a = 2a^{2}$ ，
$2a × 1 = 2a$ ，
$4 × 2a^{2} = 8a^{2}$ ，
$4 × a = 4a$ ，
$4 × 1 = 4$ ，
合并后：$4a^{3} + (2a^{2} + 8a^{2}) + (2a + 4a) + 4 = 4a^{3} + 10a^{2} + 6a + 4$。
再除以2：$\frac{4a^{3} + 10a^{2} + 6a + 4}{2} = 2a^{3} + 5a^{2} + 3a + 2$。
与选项对比，答案为B。
已知底为$2a + 4$，高为$2a^{2} + a + 1$，因此面积为：
$\mathrm{面积} = \frac{1}{2} × (2a + 4)(2a^{2} + a + 1)$
先计算$(2a + 4)(2a^{2} + a + 1)$：
$2a × 2a^{2} = 4a^{3}$ ，
$2a × a = 2a^{2}$ ，
$2a × 1 = 2a$ ，
$4 × 2a^{2} = 8a^{2}$ ，
$4 × a = 4a$ ，
$4 × 1 = 4$ ，
合并后：$4a^{3} + (2a^{2} + 8a^{2}) + (2a + 4a) + 4 = 4a^{3} + 10a^{2} + 6a + 4$。
再除以2：$\frac{4a^{3} + 10a^{2} + 6a + 4}{2} = 2a^{3} + 5a^{2} + 3a + 2$。
与选项对比，答案为B。
10. 规定一种新运算：$\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=ad - bc$.例如$\begin{vmatrix}3&5\\4&6\end{vmatrix}=3×6 - 4×5$，$\begin{vmatrix}x&y\\2&4\end{vmatrix}=4x - 2y$.按照这种运算规律，若$\begin{vmatrix}x + 1&x + 3\\x - 2&x - 1\end{vmatrix}=0$，则$x=$ ______ .
答案
5
解析
根据题意，有$\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix} = ad - bc$，
所以$\begin{vmatrix}x + 1 & x + 3 \\ x - 2 & x - 1 \end{vmatrix} = (x + 1)(x - 1) - (x - 2)(x + 3)$，
化简表达式：
$(x + 1)(x - 1) = x^2 - 1$，
$(x - 2)(x + 3) = x^2 + 3x - 2x - 6 = x^2 + x - 6$，
代入：
$(x^2 - 1) - (x^2 + x - 6) = x^2 - 1 - x^2 - x + 6 = -x + 5$，
令$-x + 5 = 0$，
解得$x = 5$。
所以$\begin{vmatrix}x + 1 & x + 3 \\ x - 2 & x - 1 \end{vmatrix} = (x + 1)(x - 1) - (x - 2)(x + 3)$，
化简表达式：
$(x + 1)(x - 1) = x^2 - 1$，
$(x - 2)(x + 3) = x^2 + 3x - 2x - 6 = x^2 + x - 6$，
代入：
$(x^2 - 1) - (x^2 + x - 6) = x^2 - 1 - x^2 - x + 6 = -x + 5$，
令$-x + 5 = 0$，
解得$x = 5$。
11. 先化简，再求值：$3x^{2}y - [xy(3x - 1)-(2y + x)(y - x)]$，其中$x = 3$，$y=-2$.
答案
$-1$
解析
化简过程：
$\begin{aligned}&3x^{2}y - [xy(3x - 1)-(2y + x)(y - x)]\\=&3x^{2}y - [3x^{2}y - xy - (2y^{2} - 2xy + xy - x^{2})]\\=&3x^{2}y - [3x^{2}y - xy - (2y^{2} - xy - x^{2})]\\=&3x^{2}y - [3x^{2}y - xy - 2y^{2} + xy + x^{2}]\\=&3x^{2}y - [3x^{2}y - 2y^{2} + x^{2}]\\=&3x^{2}y - 3x^{2}y + 2y^{2} - x^{2}\\=& -x^{2} + 2y^{2}\end{aligned}$
代入求值：
当$x = 3$，$y = -2$时，
$\begin{aligned}& -x^{2} + 2y^{2}\\=& -3^{2} + 2×(-2)^{2}\\=& -9 + 2×4\\=& -9 + 8\\=& -1\end{aligned}$
$\begin{aligned}&3x^{2}y - [xy(3x - 1)-(2y + x)(y - x)]\\=&3x^{2}y - [3x^{2}y - xy - (2y^{2} - 2xy + xy - x^{2})]\\=&3x^{2}y - [3x^{2}y - xy - (2y^{2} - xy - x^{2})]\\=&3x^{2}y - [3x^{2}y - xy - 2y^{2} + xy + x^{2}]\\=&3x^{2}y - [3x^{2}y - 2y^{2} + x^{2}]\\=&3x^{2}y - 3x^{2}y + 2y^{2} - x^{2}\\=& -x^{2} + 2y^{2}\end{aligned}$
代入求值：
当$x = 3$，$y = -2$时，
$\begin{aligned}& -x^{2} + 2y^{2}\\=& -3^{2} + 2×(-2)^{2}\\=& -9 + 2×4\\=& -9 + 8\\=& -1\end{aligned}$
12. 已知$(x + 2)(x^{2}+ax + b)$展开后不含$x$的二次项和一次项.
(1) 求$a$，$b$的值.
(2) 求$(a - b)(a^{2}+ab + b^{2})$的值.
(1) 求$a$，$b$的值.
(2) 求$(a - b)(a^{2}+ab + b^{2})$的值.
答案
(1)
首先将$(x + 2)(x^{2}+ax + b)$展开：
$(x + 2)(x^{2}+ax + b)=x^{3}+ax^{2}+bx+2x^{2}+2ax + 2b=x^{3}+(a + 2)x^{2}+(b + 2a)x+2b$
因为展开后不含$x$的二次项和一次项，所以二次项和一次项的系数都为$0$。
则可得方程组$\begin{cases}a + 2 = 0\\b + 2a = 0\end{cases}$
由$a + 2 = 0$，解得$a=-2$。
把$a = - 2$代入$b + 2a = 0$，得$b+2×(-2)=0$，解得$b = 4$。
(2)
将$a=-2$，$b = 4$代入$(a - b)(a^{2}+ab + b^{2})$：
$(a - b)(a^{2}+ab + b^{2})=a^{3}+a^{2}b+ab^{2}-a^{2}b - ab^{2}-b^{3}=a^{3}-b^{3}$
把$a=-2$，$b = 4$代入$a^{3}-b^{3}$得：
$(-2)^{3}-4^{3}=-8 - 64=-72$
综上，答案为：(1)$a=-2$，$b = 4$；(2)$-72$。
首先将$(x + 2)(x^{2}+ax + b)$展开：
$(x + 2)(x^{2}+ax + b)=x^{3}+ax^{2}+bx+2x^{2}+2ax + 2b=x^{3}+(a + 2)x^{2}+(b + 2a)x+2b$
因为展开后不含$x$的二次项和一次项，所以二次项和一次项的系数都为$0$。
则可得方程组$\begin{cases}a + 2 = 0\\b + 2a = 0\end{cases}$
由$a + 2 = 0$，解得$a=-2$。
把$a = - 2$代入$b + 2a = 0$，得$b+2×(-2)=0$，解得$b = 4$。
(2)
将$a=-2$，$b = 4$代入$(a - b)(a^{2}+ab + b^{2})$：
$(a - b)(a^{2}+ab + b^{2})=a^{3}+a^{2}b+ab^{2}-a^{2}b - ab^{2}-b^{3}=a^{3}-b^{3}$
把$a=-2$，$b = 4$代入$a^{3}-b^{3}$得：
$(-2)^{3}-4^{3}=-8 - 64=-72$
综上，答案为：(1)$a=-2$，$b = 4$；(2)$-72$。
