8. 如图，在$□ ABCD$中，$O$为对角线$AC$的中点，过点$O$作一条直线分别与$AB,CD$交于点$M,N$，点$E,F$在直线$MN$上，且$OE = OF$.
(1)图共有几对全等三角形？请把它们都写出来.
(2)求证：$∠ MAE = ∠ NCF$.

8.  (1) 解：

1. 平行四边形的性质：
(1) 平行四边形的对边.
(2) 平行四边形的对角.
(3) 平行四边形的对角线.

(1) 平行且相等
(2) 相等
(3) 互相平分

2. 1 题中的三个命题，它们的逆命题分别是：
(1).
(2).
(3).
逆命题都是真命题吗？试着利用三角形的全等和平行四边形的定义来证明它们.

设原命题分别为：
(1)若一个四边形是平行四边形，则它的两组对边分别相等；
(2)若一个四边形是平行四边形，则它的两组对角分别相等；
(3)若一个四边形是平行四边形，则它的对角线互相平分。
它们的逆命题分别为：
(1)如果一个四边形的两组对边分别相等，那么这个四边形是平行四边形。
证明：
设四边形$ABCD$中，$AB = CD$，$BC = AD$，
连接$AC$，
因为$AB = CD$，$BC = AD$，$AC=AC$（公共边），
根据$SSS$全等条件，三角形$ABC$全等于三角形$CDA$，
所以$∠ BAC = ∠ DCA$，$∠ ACB = ∠ CAD$，
根据内错角相等，两直线平行，
所以$AB // CD$，$BC // AD$，
因此，四边形$ABCD$是平行四边形。
(2)如果一个四边形的两组对角分别相等，那么这个四边形是平行四边形。
证明：
设四边形$ABCD$中，$∠ A = ∠ C$，$∠ B = ∠ D$，
因为四边形的内角和为$360°$，
所以$∠ A + ∠ B + ∠ C + ∠ D = 360°$，
又因为$∠ A = ∠ C$，$∠ B = ∠ D$，
所以$2∠ A + 2∠ B = 360°$，
即$∠ A + ∠ B = 180°$，
根据同旁内角互补，两直线平行，
所以$AD // BC$，
同理，$∠ A + ∠ D = 180°$，
所以$AB // CD$，
因此，四边形$ABCD$是平行四边形。
(3)如果一个四边形的对角线互相平分，那么这个四边形是平行四边形。
证明：
设四边形$ABCD$中，对角线$AC$和$BD$相交于点$O$，且$AO = OC$，$BO = OD$，
在三角形$AOB$和三角形$COD$中，
因为$AO = OC$，$BO = OD$，$∠ AOB = ∠ COD$（对顶角相等），
根据$SAS$全等条件，三角形$AOB$全等于三角形$COD$，
所以$∠ BAO = ∠ DCO$，
根据内错角相等，两直线平行，
所以$AB // CD$，
同理，三角形$AOD$全等于三角形$COB$，
所以$∠ ADO = ∠ CBO$，
所以$AD // BC$，
因此，四边形$ABCD$是平行四边形。

3. 平行四边形的判定定理：
(1).
(2).
(3).

(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形。
(2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
(3)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

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1. 如图，在四边形 $ABCD$ 中，

$AB = 10\mathrm{cm}$，$BC = 20\mathrm{cm}$，$CD = 10\mathrm{cm}$，$DA = 20\mathrm{cm}$，则 $ABCD$(填“是”或“不是”)平行四边形，根据是.

是；两组对边分别相等的四边形是平行四边形