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2. 在四边形 $ABCD$ 中，当 $∠ A:∠ B:∠ C:∠ D$ 的值可以为()
A.$1:2:3:4$
B.$5:6:5:6$
C.$2:4:4:5$
D.$4:4:3:3$
A.$1:2:3:4$
B.$5:6:5:6$
C.$2:4:4:5$
D.$4:4:3:3$
答案
B
解析
四边形内角和为360°，平行四边形两组对角分别相等。选项B中∠A:∠B:∠C:∠D=5:6:5:6，满足∠A=∠C，∠B=∠D，符合平行四边形判定条件。其他选项不满足两组对角分别相等。
1. 已知 $□ ABCD$ 的对角线 $AC$，$BD$ 相交于点 $O$，点 $E$，$F$ 是 $AC$ 上的两点，并且 $AE = CF$.
求证：四边形 $BFDE$ 是平行四边形.
注意：若所证四边形中有对角线出现或原已知四边形中出现了对角线，则首先考虑用“对角线互相平分的四边形是平行四边形”来证明. 若题中提供的条件是角的关系，在思考时首先考虑的是用“两组对角分别相等的四边形是平行四边形”这个判定定理. 所以在证明一个四边形是平行四边形时，要结合已知条件与图形的特征，灵活运用其判定方法.
求证：四边形 $BFDE$ 是平行四边形.
注意：若所证四边形中有对角线出现或原已知四边形中出现了对角线，则首先考虑用“对角线互相平分的四边形是平行四边形”来证明. 若题中提供的条件是角的关系，在思考时首先考虑的是用“两组对角分别相等的四边形是平行四边形”这个判定定理. 所以在证明一个四边形是平行四边形时，要结合已知条件与图形的特征，灵活运用其判定方法.
答案
证明：
∵四边形 $ABCD$ 是平行四边形，
∴ $OA = OC$，$OB = OD$（平行四边形对角线互相平分）。
∵ $AE = CF$，
∴ $OA - AE = OC - CF$，即 $OE = OF$。
∵ $OB = OD$ 且 $OE = OF$，
∴ 四边形 $BFDE$ 是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）。
∵四边形 $ABCD$ 是平行四边形，
∴ $OA = OC$，$OB = OD$（平行四边形对角线互相平分）。
∵ $AE = CF$，
∴ $OA - AE = OC - CF$，即 $OE = OF$。
∵ $OB = OD$ 且 $OE = OF$，
∴ 四边形 $BFDE$ 是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）。
2. 如图，在 $□ ABCD$ 中，已知 $E$，$F$ 分别为 $AB$，$CD$ 的中点. 求证：四边形 $AECF$ 是平行四边形.
答案
证明：
∵四边形$ABCD$是平行四边形，
∴$AB// CD$，$AB=CD$。
∵$E$，$F$分别为$AB$，$CD$的中点，
∴$AE=\frac{1}{2}AB$，$CF=\frac{1}{2}CD$，
∴$AE=CF$。
又∵$AB// CD$，即$AE// CF$，
∴四边形$AECF$是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）。
∵四边形$ABCD$是平行四边形，
∴$AB// CD$，$AB=CD$。
∵$E$，$F$分别为$AB$，$CD$的中点，
∴$AE=\frac{1}{2}AB$，$CF=\frac{1}{2}CD$，
∴$AE=CF$。
又∵$AB// CD$，即$AE// CF$，
∴四边形$AECF$是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）。
1. 如图，$AB = DC = EF$，$AD = BC$，$DE = CF$，图中有哪些互相平行的线段？
答案
1. AB // DC // EF，AD // BC，DE // CF
2. 如图，在 $□ ABCD$ 中，对角线 $AC$，$BD$ 相交于点 $O$，$E$，$F$ 分别是 $OA$，$OC$ 的中点. 求证：$BE = DF$.
答案
证明：
∵四边形 $ABCD$ 是平行四边形，
∴ $OA = OC$，$OB = OD$（平行四边形对角线互相平分）。
∵ $E$，$F$ 分别是 $OA$，$OC$ 的中点，
∴ $OE = \frac{1}{2}OA$，$OF = \frac{1}{2}OC$，
∴ $OE = OF$。
在 $△ OBE$ 和 $△ ODF$ 中，
$\begin{cases} OB = OD \\∠ BOE = ∠ DOF \\OE = OF \end{cases}$
∴ $△ OBE ≌ △ ODF$（SAS）。
∴ $BE = DF$。
∵四边形 $ABCD$ 是平行四边形，
∴ $OA = OC$，$OB = OD$（平行四边形对角线互相平分）。
∵ $E$，$F$ 分别是 $OA$，$OC$ 的中点，
∴ $OE = \frac{1}{2}OA$，$OF = \frac{1}{2}OC$，
∴ $OE = OF$。
在 $△ OBE$ 和 $△ ODF$ 中，
$\begin{cases} OB = OD \\∠ BOE = ∠ DOF \\OE = OF \end{cases}$
∴ $△ OBE ≌ △ ODF$（SAS）。
∴ $BE = DF$。
学习盘点
如图，在四边形 $ABCD$ 中，$AD// BC$，且 $AD ＞ BC$，$BC = 6\mathrm{cm}$，点 $P$，$Q$ 分别从点 $A$，$C$ 同时出发，点 $P$ 以 $1\mathrm{cm/s}$ 的速度由点 $A$ 出发向点 $D$ 运动，点 $Q$ 以 $2\mathrm{cm/s}$ 的速度由点 $C$ 出发向点 $B$ 运动，几秒后，四边形 $ABQP$ 是平行四边形？
如图，在四边形 $ABCD$ 中，$AD// BC$，且 $AD ＞ BC$，$BC = 6\mathrm{cm}$，点 $P$，$Q$ 分别从点 $A$，$C$ 同时出发，点 $P$ 以 $1\mathrm{cm/s}$ 的速度由点 $A$ 出发向点 $D$ 运动，点 $Q$ 以 $2\mathrm{cm/s}$ 的速度由点 $C$ 出发向点 $B$ 运动，几秒后，四边形 $ABQP$ 是平行四边形？
答案
解：设$t$秒后，四边形$ABQP$是平行四边形。
∵ $AD // BC，$
∴ 当$AP=BQ$时，四边形$ABQP$是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）。
由题意得：$AP=t，$$CQ=2t，$则$BQ=BC - CQ=6-2t，$
∴ $t=6-2t，$
解得：$t=2。$
答：2秒后，四边形$ABQP$是平行四边形。
