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知识点一:四分位数与箱线图
1. 一般地,用$ m_{50} $表示一组数据的中位数,那么,中位数把这组数据分为两组,用$ m_{25} $和$ m_{75} $分别表示第一组数据和第二组数据的.这样,$ m_{25},m_{50},m_{75} $这三个数就把这组数据分为的四组,这三个数叫作这组数据的四分位数.其中,$ m_{25},m_{50},m_{75} $分别称为这组数据的第一、第二、第三四分位数(或25%分位数、50%分位数、75%分位数).
2. 借助四分位数及数据的,绘制出一个形如由一个箱子和两条线段组成的图形,就是箱线图.
例 某地有8个快递收件点,在某天接收到的快递个数分别为188,360,260,300,288,290,284,240,则这组数据的第三四分位数为.
解析:将这组数据按照从小到大的顺序排列得.
$\because 8×75\%=6,\therefore$第三四分位数是第6个和第7个数据的平均数,为.
1. 一般地,用$ m_{50} $表示一组数据的中位数,那么,中位数把这组数据分为两组,用$ m_{25} $和$ m_{75} $分别表示第一组数据和第二组数据的.这样,$ m_{25},m_{50},m_{75} $这三个数就把这组数据分为的四组,这三个数叫作这组数据的四分位数.其中,$ m_{25},m_{50},m_{75} $分别称为这组数据的第一、第二、第三四分位数(或25%分位数、50%分位数、75%分位数).
2. 借助四分位数及数据的,绘制出一个形如由一个箱子和两条线段组成的图形,就是箱线图.
例 某地有8个快递收件点,在某天接收到的快递个数分别为188,360,260,300,288,290,284,240,则这组数据的第三四分位数为.
解析:将这组数据按照从小到大的顺序排列得.
$\because 8×75\%=6,\therefore$第三四分位数是第6个和第7个数据的平均数,为.
答案
解：
1. 中位数；个数大致相等
2. 最大值和最小值
例：295
解析：188,240,260,284,288,290,300,360；295
1. 中位数；个数大致相等
2. 最大值和最小值
例：295
解析：188,240,260,284,288,290,300,360；295
解析
【分析】
本题包含基础概念填空和第三四分位数计算两部分，考查四分位数、箱线图的基础概念及分位数的计算方法。概念类题目可结合四分位数、箱线图的定义直接作答；计算第三四分位数时，遵循三步思路：第一步将数据从小到大排序，第二步用数据总个数乘75%得到对应位置，第三步若位置为整数，则取该位置和后一位置数据的平均数作为第三四分位数。
【解析】
1. 依据四分位数的定义：中位数$m_{50}$将数据分为前后两组，第一组数据的中位数为$m_{25}$，第二组数据的中位数为$m_{75}$；$m_{25},m_{50},m_{75}$三个数可将数据分为个数大致相等的四组，因此前两个空依次填中位数、个数大致相等。
2. 箱线图的绘制需要用到四分位数，以及整组数据的最大值和最小值，因此该空填最大值和最小值。
例题解析
先将数据从小到大排序：$188,240,260,284,288,290,300,360$。
计算第三四分位数的位置：$8×75\%=6$，结果为整数，因此第三四分位数为第6个和第7个数据的平均数，即$\frac{290+300}{2}=295$。
【答案】
1. 中位数；个数大致相等
2. 最大值和最小值
例题答案：295
排序结果：$188,240,260,284,288,290,300,360$；第三四分位数计算结果：$295$
【知识点】
四分位数定义，箱线图概念，分位数计算
【点评】
本题属于统计模块的基础题型，侧重考查基础概念的记忆和基础计算能力，只要准确掌握四分位数的相关定义，按步骤计算即可得分，计算排序时要注意避免数据排列错误。
【难度系数】
0.8
本题包含基础概念填空和第三四分位数计算两部分，考查四分位数、箱线图的基础概念及分位数的计算方法。概念类题目可结合四分位数、箱线图的定义直接作答；计算第三四分位数时，遵循三步思路：第一步将数据从小到大排序，第二步用数据总个数乘75%得到对应位置，第三步若位置为整数，则取该位置和后一位置数据的平均数作为第三四分位数。
【解析】
1. 依据四分位数的定义：中位数$m_{50}$将数据分为前后两组，第一组数据的中位数为$m_{25}$，第二组数据的中位数为$m_{75}$；$m_{25},m_{50},m_{75}$三个数可将数据分为个数大致相等的四组，因此前两个空依次填中位数、个数大致相等。
2. 箱线图的绘制需要用到四分位数，以及整组数据的最大值和最小值，因此该空填最大值和最小值。
例题解析
先将数据从小到大排序：$188,240,260,284,288,290,300,360$。
计算第三四分位数的位置：$8×75\%=6$，结果为整数，因此第三四分位数为第6个和第7个数据的平均数，即$\frac{290+300}{2}=295$。
【答案】
1. 中位数；个数大致相等
2. 最大值和最小值
例题答案：295
排序结果：$188,240,260,284,288,290,300,360$；第三四分位数计算结果：$295$
【知识点】
四分位数定义，箱线图概念，分位数计算
【点评】
本题属于统计模块的基础题型，侧重考查基础概念的记忆和基础计算能力，只要准确掌握四分位数的相关定义，按步骤计算即可得分，计算排序时要注意避免数据排列错误。
【难度系数】
0.8
1.某机构从某社区随机调查了12人，得到他们的幸福指数分别是7.6,8.5,7.8,9.2，8.1,9,7.9,9.5,8.3,8.8,6.9,9.4，则这组数据的第一四分位数是
7.85
。答案
1. 7.85
解析
【分析】
要计算这组数据的第一四分位数，需按照固定步骤求解：首先要将所有数据从小到大进行排序，再根据数据总个数计算第一四分位数的位置：位置i=总个数×25%，若i为整数，则第一四分位数为第i个和第i+1个数据的平均数；若i不是整数，向上取整后对应的数据即为第一四分位数。本题数据共12个，按上述步骤计算即可。
【解析】
第一步：将12个幸福指数数据从小到大排序：
6.9，7.6，7.8，7.9，8.1，8.3，8.5，8.8，9，9.2，9.4，9.5
第二步：计算第一四分位数的位置：
$i=12×25\%=3$，i是整数，因此第一四分位数为排序后第3个数据和第4个数据的平均值。
第三步：计算平均值：
第3个数据是7.8，第4个数据是7.9，所以第一四分位数$=\frac{7.8+7.9}{2}=7.85$
【答案】
7.85
【知识点】
1. 第一四分位数计算
2. 数据排序整理
【点评】
本题考查统计中四分位数的基本计算，难度不高，易错点是计算前未对数据进行排序，或确定分位数位置后不知道整数位置需取相邻两个数的平均值，牢记四分位数的求解步骤即可正确作答。
【难度系数】
0.7
要计算这组数据的第一四分位数，需按照固定步骤求解：首先要将所有数据从小到大进行排序，再根据数据总个数计算第一四分位数的位置：位置i=总个数×25%，若i为整数，则第一四分位数为第i个和第i+1个数据的平均数；若i不是整数，向上取整后对应的数据即为第一四分位数。本题数据共12个，按上述步骤计算即可。
【解析】
第一步：将12个幸福指数数据从小到大排序：
6.9，7.6，7.8，7.9，8.1，8.3，8.5，8.8，9，9.2，9.4，9.5
第二步：计算第一四分位数的位置：
$i=12×25\%=3$，i是整数，因此第一四分位数为排序后第3个数据和第4个数据的平均值。
第三步：计算平均值：
第3个数据是7.8，第4个数据是7.9，所以第一四分位数$=\frac{7.8+7.9}{2}=7.85$
【答案】
7.85
【知识点】
1. 第一四分位数计算
2. 数据排序整理
【点评】
本题考查统计中四分位数的基本计算，难度不高，易错点是计算前未对数据进行排序，或确定分位数位置后不知道整数位置需取相邻两个数的平均值，牢记四分位数的求解步骤即可正确作答。
【难度系数】
0.7
2.在数学学科单元模拟测试中，总分为100分，八年级某班学生成绩的箱线图如图所示，则该班学生成绩的第三四分位数是
90
分。答案
2. 90
解析
【分析】
解题时首先回忆箱线图的相关概念：箱线图包含五个关键统计量，从左到右依次为最小值、第一四分位数（下四分位数，25%分位数）、中位数（第二四分位数，50%分位数）、第三四分位数（上四分位数，75%分位数）、最大值，其中箱体的左边缘对应第一四分位数，箱体的右边缘对应第三四分位数。接下来结合题图找到箱体右边缘对应的数值，即可得到第三四分位数。
【解析】
根据箱线图的定义，箱体的右边缘对应的统计量为第三四分位数。观察题图可知，该班级成绩箱线图的箱体右边缘对应的数值为90分，因此该班学生成绩的第三四分位数是90分。
【答案】
90
【知识点】
箱线图的认识；四分位数的概念
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是对箱线图各部分对应统计量的识记，掌握相关概念即可快速得出答案。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆箱线图的相关概念：箱线图包含五个关键统计量，从左到右依次为最小值、第一四分位数（下四分位数，25%分位数）、中位数（第二四分位数，50%分位数）、第三四分位数（上四分位数，75%分位数）、最大值，其中箱体的左边缘对应第一四分位数，箱体的右边缘对应第三四分位数。接下来结合题图找到箱体右边缘对应的数值，即可得到第三四分位数。
【解析】
根据箱线图的定义，箱体的右边缘对应的统计量为第三四分位数。观察题图可知，该班级成绩箱线图的箱体右边缘对应的数值为90分，因此该班学生成绩的第三四分位数是90分。
【答案】
90
【知识点】
箱线图的认识；四分位数的概念
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是对箱线图各部分对应统计量的识记，掌握相关概念即可快速得出答案。
【难度系数】
0.8
知识点二:数据的方差及分组
1.设$ n $个数据$ x_1,···,x_n $的平均数为$ \bar{x} $,各个数据与平均数偏差的平方分别是$ (x_1-\bar{x})^2,(x_2-\bar{x})^2,···,(x_n-\bar{x})^2 $,它们的和称为这组数据的离差平方和.偏差平方的平均数叫作这组数据的________,用$ s^2 $表示,即$ s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\bar{x})^2+(x_2-\bar{x})^2+···+(x_n-\bar{x})^2] $.
2.当数据分布比较分散时,方差较________;当数据分布比较集中时,方差较________.因此,________的大小反映了数据波动(或离散程度)的大小.
3.把一组数据分成两组,这两组数据各自的离差平方和的________称为组内离差平方和.
1.设$ n $个数据$ x_1,···,x_n $的平均数为$ \bar{x} $,各个数据与平均数偏差的平方分别是$ (x_1-\bar{x})^2,(x_2-\bar{x})^2,···,(x_n-\bar{x})^2 $,它们的和称为这组数据的离差平方和.偏差平方的平均数叫作这组数据的________,用$ s^2 $表示,即$ s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\bar{x})^2+(x_2-\bar{x})^2+···+(x_n-\bar{x})^2] $.
2.当数据分布比较分散时,方差较________;当数据分布比较集中时,方差较________.因此,________的大小反映了数据波动(或离散程度)的大小.
3.把一组数据分成两组,这两组数据各自的离差平方和的________称为组内离差平方和.
答案
解：
1. 方差
2. 大；小；方差
3. 和
1. 方差
2. 大；小；方差
3. 和
解析
【分析】
本题是对方差及相关概念的直接考查，解题时只需回忆教材中对应概念的表述，逐空匹配即可。第1小题对应方差的定义，第2小题对应方差的实际意义，第3小题对应组内离差平方和的概念，均为基础识记内容，直接根据记忆填写即可。
【解析】
1. 根据方差的定义：一组数据中各数据与平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差，因此本空填方差。
2. 方差是反映数据波动大小的统计量：数据分布越分散，波动越大，方差就越大；数据分布越集中，波动越小，方差就越小，因此方差的大小可以反映数据的离散程度，故依次填大、小、方差。
3. 根据组内离差平方和的定义，把一组数据分成两组时，两组各自的离差平方和的和称为组内离差平方和，因此本空填和。
【答案】
1. 方差
2. 大；小；方差
3. 和
【知识点】
方差的定义；方差的意义；组内离差平方和
【点评】
本题属于基础概念类题目，重点考查对方差相关基础概念的识记掌握情况，熟练掌握教材中相关定义是解题的关键，这类概念是后续学习方差计算、应用方差解决实际问题的基础。
【难度系数】
0.9
本题是对方差及相关概念的直接考查，解题时只需回忆教材中对应概念的表述，逐空匹配即可。第1小题对应方差的定义，第2小题对应方差的实际意义，第3小题对应组内离差平方和的概念，均为基础识记内容，直接根据记忆填写即可。
【解析】
1. 根据方差的定义：一组数据中各数据与平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差，因此本空填方差。
2. 方差是反映数据波动大小的统计量：数据分布越分散，波动越大，方差就越大；数据分布越集中，波动越小，方差就越小，因此方差的大小可以反映数据的离散程度，故依次填大、小、方差。
3. 根据组内离差平方和的定义，把一组数据分成两组时，两组各自的离差平方和的和称为组内离差平方和，因此本空填和。
【答案】
1. 方差
2. 大；小；方差
3. 和
【知识点】
方差的定义；方差的意义；组内离差平方和
【点评】
本题属于基础概念类题目，重点考查对方差相关基础概念的识记掌握情况，熟练掌握教材中相关定义是解题的关键，这类概念是后续学习方差计算、应用方差解决实际问题的基础。
【难度系数】
0.9
例 甲、乙两同学五次的体育测试成绩如下：
(1)甲、乙体育测试成绩的平均数是否相同？
(2)求甲、乙体育测试成绩的方差；
(3)哪一组数据相对于其平均数波动较大？波动大小与其方差之间有什么关系？
解析:计算甲体育测试成绩的平均数是，乙的平均数是.计算
$s^2_甲=\frac{1}{5}×\_\_\_\_\_\_=\_\_\_\_\_\_$，$s^2_乙=\frac{1}{5}×\_\_\_\_\_\_=$
.的成绩大多集中在其平均数附近，方差较，而的成绩相对于平均数波动较大，方差较.
(1)甲、乙体育测试成绩的平均数是否相同？
(2)求甲、乙体育测试成绩的方差；
(3)哪一组数据相对于其平均数波动较大？波动大小与其方差之间有什么关系？
解析:计算甲体育测试成绩的平均数是，乙的平均数是.计算
$s^2_甲=\frac{1}{5}×\_\_\_\_\_\_=\_\_\_\_\_\_$，$s^2_乙=\frac{1}{5}×\_\_\_\_\_\_=$
.的成绩大多集中在其平均数附近，方差较，而的成绩相对于平均数波动较大，方差较.
答案
解：
(1) 计算甲成绩的平均数：
$\overline{x}_甲 = \frac{83+90+97+85+95}{5} = 90$
计算乙成绩的平均数：
$\overline{x}_乙 = \frac{89+93+91+90+87}{5} = 90$
因此甲、乙体育测试成绩的平均数相同。
(2) 计算甲成绩的方差：
$s^2_甲 = \frac{1}{5}×[(83-90)^2+(90-90)^2+(97-90)^2+(85-90)^2+(95-90)^2] = \frac{1}{5}×148 = 29.6$
计算乙成绩的方差：
$s^2_乙 = \frac{1}{5}×[(89-90)^2+(93-90)^2+(91-90)^2+(90-90)^2+(87-90)^2] = \frac{1}{5}×20 = 4$
(3) 甲的成绩相对于其平均数波动较大。
关系：数据的波动越大，对应的方差越大；数据的波动越小，对应的方差越小。
对应填空答案依次为：90分；90分；$(83-90)^2+(90-90)^2+(97-90)^2+(85-90)^2+(95-90)^2$（或148）；29.6；$(89-90)^2+(93-90)^2+(91-90)^2+(90-90)^2+(87-90)^2$（或20）；4；乙；小；甲；大。
(1) 计算甲成绩的平均数：
$\overline{x}_甲 = \frac{83+90+97+85+95}{5} = 90$
计算乙成绩的平均数：
$\overline{x}_乙 = \frac{89+93+91+90+87}{5} = 90$
因此甲、乙体育测试成绩的平均数相同。
(2) 计算甲成绩的方差：
$s^2_甲 = \frac{1}{5}×[(83-90)^2+(90-90)^2+(97-90)^2+(85-90)^2+(95-90)^2] = \frac{1}{5}×148 = 29.6$
计算乙成绩的方差：
$s^2_乙 = \frac{1}{5}×[(89-90)^2+(93-90)^2+(91-90)^2+(90-90)^2+(87-90)^2] = \frac{1}{5}×20 = 4$
(3) 甲的成绩相对于其平均数波动较大。
关系：数据的波动越大，对应的方差越大；数据的波动越小，对应的方差越小。
对应填空答案依次为：90分；90分；$(83-90)^2+(90-90)^2+(97-90)^2+(85-90)^2+(95-90)^2$（或148）；29.6；$(89-90)^2+(93-90)^2+(91-90)^2+(90-90)^2+(87-90)^2$（或20）；4；乙；小；甲；大。
解析
【分析】
解决这道题可按以下思路逐步推导：1. 判断平均数是否相同：依据平均数计算公式“平均数=所有数据总和÷数据个数”，分别计算甲、乙两人五次成绩的平均数，再比较数值是否相等即可；2. 计算方差：牢记方差公式$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\dots+(x_n-\overline{x})^2]$（其中$\overline{x}$是平均数，n是数据个数），将甲乙的成绩和对应平均数代入公式计算即可；3. 判断波动情况：方差的作用是衡量数据的波动程度，方差越大说明数据偏离平均数越远、波动越大，方差越小说明数据越集中、波动越小，对比两人的方差大小就能判断波动情况，总结波动与方差的关系。
【解析】
(1) 计算甲的平均成绩：
$\overline{x}_甲=\frac{83+90+97+85+95}{5}=\frac{450}{5}=90$（分）
计算乙的平均成绩：
$\overline{x}_乙=\frac{89+93+91+90+87}{5}=\frac{450}{5}=90$（分）
二者平均数相等，因此甲、乙体育测试成绩的平均数相同。
(2) 代入方差公式计算：
甲的方差：
$s^2_甲=\frac{1}{5}×[(83-90)^2+(90-90)^2+(97-90)^2+(85-90)^2+(95-90)^2]$
$=\frac{1}{5}×(49+0+49+25+25)=\frac{1}{5}×148=29.6$
乙的方差：
$s^2_乙=\frac{1}{5}×[(89-90)^2+(93-90)^2+(91-90)^2+(90-90)^2+(87-90)^2]$
$=\frac{1}{5}×(1+9+1+0+9)=\frac{1}{5}×20=4$
(3) 因为$s^2_甲＞s^2_乙$，所以甲的成绩相对于平均数波动更大。
波动与方差的关系：数据的波动越大，对应的方差越大；数据的波动越小，对应的方差越小。
对应题干填空依次为：90分；90分；$(83-90)^2+(90-90)^2+(97-90)^2+(85-90)^2+(95-90)^2$（或148）；29.6；$(89-90)^2+(93-90)^2+(91-90)^2+(90-90)^2+(87-90)^2$（或20）；4；乙；小；甲；大。
【答案】
(1) 甲、乙体育测试成绩的平均数相同，均为90分；
(2) 甲的方差为29.6，乙的方差为4；
(3) 甲的成绩相对于其平均数波动较大；波动与方差的关系为：数据波动越大，对应的方差越大，数据波动越小，对应的方差越小。
填空答案：90分；90分；$(83-90)^2+(90-90)^2+(97-90)^2+(85-90)^2+(95-90)^2$（或148）；29.6；$(89-90)^2+(93-90)^2+(91-90)^2+(90-90)^2+(87-90)^2$（或20）；4；乙；小；甲；大。
【知识点】
平均数的计算；方差的计算；方差的意义
【点评】
本题是统计模块的基础题型，主要考查平均数、方差的计算方法以及方差的实际应用意义，解题核心是牢记相关公式，计算过程中注意运算准确性即可顺利完成，这类题型是统计部分的常规考点，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.8
解决这道题可按以下思路逐步推导：1. 判断平均数是否相同：依据平均数计算公式“平均数=所有数据总和÷数据个数”，分别计算甲、乙两人五次成绩的平均数，再比较数值是否相等即可；2. 计算方差：牢记方差公式$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\dots+(x_n-\overline{x})^2]$（其中$\overline{x}$是平均数，n是数据个数），将甲乙的成绩和对应平均数代入公式计算即可；3. 判断波动情况：方差的作用是衡量数据的波动程度，方差越大说明数据偏离平均数越远、波动越大，方差越小说明数据越集中、波动越小，对比两人的方差大小就能判断波动情况，总结波动与方差的关系。
【解析】
(1) 计算甲的平均成绩：
$\overline{x}_甲=\frac{83+90+97+85+95}{5}=\frac{450}{5}=90$（分）
计算乙的平均成绩：
$\overline{x}_乙=\frac{89+93+91+90+87}{5}=\frac{450}{5}=90$（分）
二者平均数相等，因此甲、乙体育测试成绩的平均数相同。
(2) 代入方差公式计算：
甲的方差：
$s^2_甲=\frac{1}{5}×[(83-90)^2+(90-90)^2+(97-90)^2+(85-90)^2+(95-90)^2]$
$=\frac{1}{5}×(49+0+49+25+25)=\frac{1}{5}×148=29.6$
乙的方差：
$s^2_乙=\frac{1}{5}×[(89-90)^2+(93-90)^2+(91-90)^2+(90-90)^2+(87-90)^2]$
$=\frac{1}{5}×(1+9+1+0+9)=\frac{1}{5}×20=4$
(3) 因为$s^2_甲＞s^2_乙$，所以甲的成绩相对于平均数波动更大。
波动与方差的关系：数据的波动越大，对应的方差越大；数据的波动越小，对应的方差越小。
对应题干填空依次为：90分；90分；$(83-90)^2+(90-90)^2+(97-90)^2+(85-90)^2+(95-90)^2$（或148）；29.6；$(89-90)^2+(93-90)^2+(91-90)^2+(90-90)^2+(87-90)^2$（或20）；4；乙；小；甲；大。
【答案】
(1) 甲、乙体育测试成绩的平均数相同，均为90分；
(2) 甲的方差为29.6，乙的方差为4；
(3) 甲的成绩相对于其平均数波动较大；波动与方差的关系为：数据波动越大，对应的方差越大，数据波动越小，对应的方差越小。
填空答案：90分；90分；$(83-90)^2+(90-90)^2+(97-90)^2+(85-90)^2+(95-90)^2$（或148）；29.6；$(89-90)^2+(93-90)^2+(91-90)^2+(90-90)^2+(87-90)^2$（或20）；4；乙；小；甲；大。
【知识点】
平均数的计算；方差的计算；方差的意义
【点评】
本题是统计模块的基础题型，主要考查平均数、方差的计算方法以及方差的实际应用意义，解题核心是牢记相关公式，计算过程中注意运算准确性即可顺利完成，这类题型是统计部分的常规考点，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.8
