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1.将2,8,10,4,12按大小顺序分成两组,组内离差平方和最小是
10
。答案
1. 10
解析
【分析】
要解决这个问题，首先明确两个核心要点：①5个数分为两组非空集合，只能是一组2个数、一组3个数；②组内离差平方和越小，说明组内各数的集中程度越高、数与数之间越接近。因此我们先将5个数从小到大排序，再枚举所有合理的分组情况，分别计算每组的离差平方和（即组内每个数与组平均数的差的平方之和），再将两组的结果相加，找到最小的总和即可。
【解析】
第一步：先将5个数从小到大排序：2,4,8,10,12。
第二步：枚举合理分组，分别计算离差平方和总和：
情况1：分组为{2,4}和{8,10,12}
{2,4}的平均数：$(2+4)÷2=3$，离差平方和：$(2-3)^2+(4-3)^2=1+1=2$
{8,10,12}的平均数：$(8+10+12)÷3=10$，离差平方和：$(8-10)^2+(10-10)^2+(12-10)^2=4+0+4=8$
两组总和：$2+8=10$
情况2：分组为{2,4,8}和{10,12}
{2,4,8}的平均数：$(2+4+8)÷3=\frac{14}{3}$，离差平方和：$(2-\frac{14}{3})^2+(4-\frac{14}{3})^2+(8-\frac{14}{3})^2=\frac{64}{9}+\frac{4}{9}+\frac{100}{9}=\frac{56}{3}\approx18.67$
{10,12}的离差平方和：$(10-11)^2+(12-11)^2=2$
两组总和≈$20.67＞10$
其余分组（如组内包含差距过大的数，例如2和12同组），计算得到的离差平方和总和均大于10。
【答案】
10
【知识点】
离差平方和，平均数计算，分类讨论
【点评】
本题重点考察对离差平方和概念的理解，解题时可结合“组内数据越集中，离差平方和越小”的规律缩小枚举范围，再通过简单计算即可得到结果，属于统计概念的基础应用题型。
【难度系数】
0.6
要解决这个问题，首先明确两个核心要点：①5个数分为两组非空集合，只能是一组2个数、一组3个数；②组内离差平方和越小，说明组内各数的集中程度越高、数与数之间越接近。因此我们先将5个数从小到大排序，再枚举所有合理的分组情况，分别计算每组的离差平方和（即组内每个数与组平均数的差的平方之和），再将两组的结果相加，找到最小的总和即可。
【解析】
第一步：先将5个数从小到大排序：2,4,8,10,12。
第二步：枚举合理分组，分别计算离差平方和总和：
情况1：分组为{2,4}和{8,10,12}
{2,4}的平均数：$(2+4)÷2=3$，离差平方和：$(2-3)^2+(4-3)^2=1+1=2$
{8,10,12}的平均数：$(8+10+12)÷3=10$，离差平方和：$(8-10)^2+(10-10)^2+(12-10)^2=4+0+4=8$
两组总和：$2+8=10$
情况2：分组为{2,4,8}和{10,12}
{2,4,8}的平均数：$(2+4+8)÷3=\frac{14}{3}$，离差平方和：$(2-\frac{14}{3})^2+(4-\frac{14}{3})^2+(8-\frac{14}{3})^2=\frac{64}{9}+\frac{4}{9}+\frac{100}{9}=\frac{56}{3}\approx18.67$
{10,12}的离差平方和：$(10-11)^2+(12-11)^2=2$
两组总和≈$20.67＞10$
其余分组（如组内包含差距过大的数，例如2和12同组），计算得到的离差平方和总和均大于10。
【答案】
10
【知识点】
离差平方和，平均数计算，分类讨论
【点评】
本题重点考察对离差平方和概念的理解，解题时可结合“组内数据越集中，离差平方和越小”的规律缩小枚举范围，再通过简单计算即可得到结果，属于统计概念的基础应用题型。
【难度系数】
0.6
2.已知一组数据3,9,5,7,x的中位数是6，那么这组数据的方差是
4
。答案
2. 4
解析
【分析】
解题时首先回忆中位数的定义：奇数个数据按大小排序后，位于最中间的数就是中位数。这组数据共5个（奇数个），已知中位数是6，现有数据中没有6，因此可先确定未知数据x的值；再根据方差的计算步骤，先求这组数据的平均数，再代入方差公式计算即可得到结果。
【解析】
1. 求x的值：
这组数据共有5个，为奇数个，将数据从小到大排列后，第3个数为中位数。
已知中位数是6，现有数据3、5、7、9中不含6，因此$x=6$，排序后的数据为：3，5，6，7，9。
2. 计算这组数据的平均数：
$\bar{x}=\frac{3+5+6+7+9}{5}=\frac{30}{5}=6$
3. 计算方差：
根据方差公式$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\bar{x})^2+(x_2-\bar{x})^2+\dots+(x_n-\bar{x})^2]$，代入数据得：
$s^2=\frac{1}{5}[(3-6)^2+(5-6)^2+(6-6)^2+(7-6)^2+(9-6)^2]$
$=\frac{1}{5}[9+1+0+1+9]$
$=\frac{1}{5}×20=4$
【答案】
4
【知识点】
中位数的定义；方差的计算
【点评】
本题是统计量计算的基础题，解题核心是先利用中位数的定义确定未知数据的取值，再严格按照方差的计算步骤求解即可，掌握常见统计量的定义和计算方法是解决这类题的关键。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆中位数的定义：奇数个数据按大小排序后，位于最中间的数就是中位数。这组数据共5个（奇数个），已知中位数是6，现有数据中没有6，因此可先确定未知数据x的值；再根据方差的计算步骤，先求这组数据的平均数，再代入方差公式计算即可得到结果。
【解析】
1. 求x的值：
这组数据共有5个，为奇数个，将数据从小到大排列后，第3个数为中位数。
已知中位数是6，现有数据3、5、7、9中不含6，因此$x=6$，排序后的数据为：3，5，6，7，9。
2. 计算这组数据的平均数：
$\bar{x}=\frac{3+5+6+7+9}{5}=\frac{30}{5}=6$
3. 计算方差：
根据方差公式$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\bar{x})^2+(x_2-\bar{x})^2+\dots+(x_n-\bar{x})^2]$，代入数据得：
$s^2=\frac{1}{5}[(3-6)^2+(5-6)^2+(6-6)^2+(7-6)^2+(9-6)^2]$
$=\frac{1}{5}[9+1+0+1+9]$
$=\frac{1}{5}×20=4$
【答案】
4
【知识点】
中位数的定义；方差的计算
【点评】
本题是统计量计算的基础题，解题核心是先利用中位数的定义确定未知数据的取值，再严格按照方差的计算步骤求解即可，掌握常见统计量的定义和计算方法是解决这类题的关键。
【难度系数】
0.7
3.甲、乙、丙、丁四人进行100 m短跑训练，教练统计了他们近期10次测试的平均成绩都是13.2 s，10次测试成绩的方差如下表。这四人中发挥最稳定的是
乙
。答案
3. 乙
解析
【分析】
要判断谁发挥最稳定，需要根据方差的意义来分析：方差是衡量一组数据波动大小的统计量，方差越小，说明数据的波动越小，成绩越稳定。因此解题时只需比较四名选手的方差大小，找出方差最小的选手即可。
【解析】
方差的性质为：方差越小，数据的波动程度越小，成绩越稳定。
对比四人的方差：$0.019（乙）＜0.020（甲）＜0.021（丙）＜0.022（丁）$，可知乙的方差最小，因此乙的发挥最稳定。
【答案】
乙
【知识点】
方差的意义，数据稳定性判断
【点评】
本题考查方差在实际问题中的应用，属于基础题型，牢记方差越小数据越稳定的性质即可快速求解。
【难度系数】
0.9
要判断谁发挥最稳定，需要根据方差的意义来分析：方差是衡量一组数据波动大小的统计量，方差越小，说明数据的波动越小，成绩越稳定。因此解题时只需比较四名选手的方差大小，找出方差最小的选手即可。
【解析】
方差的性质为：方差越小，数据的波动程度越小，成绩越稳定。
对比四人的方差：$0.019（乙）＜0.020（甲）＜0.021（丙）＜0.022（丁）$，可知乙的方差最小，因此乙的发挥最稳定。
【答案】
乙
【知识点】
方差的意义，数据稳定性判断
【点评】
本题考查方差在实际问题中的应用，属于基础题型，牢记方差越小数据越稳定的性质即可快速求解。
【难度系数】
0.9
4.某果农随机从甲、乙、丙三个品种的枇杷树中各选20棵进行调查，其产量的平均数$\bar{x}$(单位:kg)及方差$s^2$如下表所示，他准备从这三个品种中选出一种产量既高又稳定的枇杷树进行种植，则应选的品种是
甲
。答案
4. 甲
解析
【分析】
要选出产量既高又稳定的品种，需要结合平均数和方差的意义分步判断：第一步先比较三个品种的平均产量$\bar{x}$，平均产量越高说明整体产量越高，先筛选出产量高的品种；第二步在产量高的品种中比较方差$s^2$，方差越小说明数据波动越小，产量越稳定，最终同时满足两个条件的就是应选的品种。
【解析】
首先对比三个品种的平均产量：
$\bar{x}_甲=40\mathrm{kg}$，$\bar{x}_乙=40\mathrm{kg}$，$\bar{x}_丙=39\mathrm{kg}$，
可知甲和乙的平均产量高于丙，因此先排除产量较低的丙。
再对比甲和乙的方差：
方差反映数据的波动程度，方差越小，产量越稳定。
已知$s^2_甲=2.3$，$s^2_乙=2.7$，$2.3＜2.7$，说明甲的产量比乙更稳定。
综上，甲品种产量既高又稳定，符合选择要求。
【答案】
甲
【知识点】
平均数、方差
【点评】
本题是统计类基础应用题，解题核心是明确平均数和方差对应的实际意义，结合题目给出的“产量高”“稳定”两个要求，依次用对应统计量筛选即可，解题时注意不要混淆方差大小和稳定性的关系。
【难度系数】
0.85
要选出产量既高又稳定的品种，需要结合平均数和方差的意义分步判断：第一步先比较三个品种的平均产量$\bar{x}$，平均产量越高说明整体产量越高，先筛选出产量高的品种；第二步在产量高的品种中比较方差$s^2$，方差越小说明数据波动越小，产量越稳定，最终同时满足两个条件的就是应选的品种。
【解析】
首先对比三个品种的平均产量：
$\bar{x}_甲=40\mathrm{kg}$，$\bar{x}_乙=40\mathrm{kg}$，$\bar{x}_丙=39\mathrm{kg}$，
可知甲和乙的平均产量高于丙，因此先排除产量较低的丙。
再对比甲和乙的方差：
方差反映数据的波动程度，方差越小，产量越稳定。
已知$s^2_甲=2.3$，$s^2_乙=2.7$，$2.3＜2.7$，说明甲的产量比乙更稳定。
综上，甲品种产量既高又稳定，符合选择要求。
【答案】
甲
【知识点】
平均数、方差
【点评】
本题是统计类基础应用题，解题核心是明确平均数和方差对应的实际意义，结合题目给出的“产量高”“稳定”两个要求，依次用对应统计量筛选即可，解题时注意不要混淆方差大小和稳定性的关系。
【难度系数】
0.85
知识点三:用样本推断总体
由于抽样的任意性,即使是相同的样本容量,不同样本的平均数一般也;当样本容量较小时,差异可能还较大.但是当样本容量增大时,样本的平均数的波动变,逐渐趋于稳定,且与总体的平均数比较接近.因此,在实际中经常用样本的平均数估计总体的.同样的道理,我们也用样
本的方差估计总体的方差.
例 工人师傅用车床加工一种直径为20 mm的轴,从某天加工的轴中随机抽取了10件,测得其直径(单位:mm)如下:
20.1 19.9 20.3 20.2 19.8
19.7 19.9 20.3 20.0 19.8
(1)计算样本平均数和样本方差;
(2)求总体平均数和总体方差的估计值;
(3)规定当方差不超过0.05时,车床生产情况为正常.请你判断这台车床的生产情况是否正常.
解析:(1)样本平均数为$\overline{x}=\frac{1}{10}×$
$=20$(mm),样本方差为$s^2=\frac{1}{10}×[(20.1-20)^2+···+(19.8-20)^2]=$
.
(2)在实际中经常用样本的平均数和方差估计总体的平均数和方差,所以该题中,总体平均数和总体方差的估计值分别为mm和.
(3)由于方差不超过0.05,所以可以认为车床的生产情况.
由于抽样的任意性,即使是相同的样本容量,不同样本的平均数一般也;当样本容量较小时,差异可能还较大.但是当样本容量增大时,样本的平均数的波动变,逐渐趋于稳定,且与总体的平均数比较接近.因此,在实际中经常用样本的平均数估计总体的.同样的道理,我们也用样
本的方差估计总体的方差.
例 工人师傅用车床加工一种直径为20 mm的轴,从某天加工的轴中随机抽取了10件,测得其直径(单位:mm)如下:
20.1 19.9 20.3 20.2 19.8
19.7 19.9 20.3 20.0 19.8
(1)计算样本平均数和样本方差;
(2)求总体平均数和总体方差的估计值;
(3)规定当方差不超过0.05时,车床生产情况为正常.请你判断这台车床的生产情况是否正常.
解析:(1)样本平均数为$\overline{x}=\frac{1}{10}×$
$=20$(mm),样本方差为$s^2=\frac{1}{10}×[(20.1-20)^2+···+(19.8-20)^2]=$
.
(2)在实际中经常用样本的平均数和方差估计总体的平均数和方差,所以该题中,总体平均数和总体方差的估计值分别为mm和.
(3)由于方差不超过0.05,所以可以认为车床的生产情况.
答案
解：
知识点填空：不同；小；平均数
(1) 样本平均数为$\overline{x}=\frac{1}{10}×(20.1+19.9+20.3+20.2+19.8+19.7+19.9+20.3+20.0+19.8)=20(\mathrm{mm})$，
样本方差为$s^2=\frac{1}{10}×[(20.1-20)^2+(19.9-20)^2+(20.3-20)^2+(20.2-20)^2+(19.8-20)^2+(19.7-20)^2+(19.9-20)^2+(20.3-20)^2+(20.0-20)^2+(19.8-20)^2]=0.042$。
(2) 用样本平均数和样本方差估计总体平均数和总体方差，可得总体平均数和总体方差的估计值分别为20 mm和0.042。
(3) 由于方差0.042≤0.05，因此可以认为车床的生产情况正常。
答：这台车床的生产情况正常。
知识点填空：不同；小；平均数
(1) 样本平均数为$\overline{x}=\frac{1}{10}×(20.1+19.9+20.3+20.2+19.8+19.7+19.9+20.3+20.0+19.8)=20(\mathrm{mm})$，
样本方差为$s^2=\frac{1}{10}×[(20.1-20)^2+(19.9-20)^2+(20.3-20)^2+(20.2-20)^2+(19.8-20)^2+(19.7-20)^2+(19.9-20)^2+(20.3-20)^2+(20.0-20)^2+(19.8-20)^2]=0.042$。
(2) 用样本平均数和样本方差估计总体平均数和总体方差，可得总体平均数和总体方差的估计值分别为20 mm和0.042。
(3) 由于方差0.042≤0.05，因此可以认为车床的生产情况正常。
答：这台车床的生产情况正常。
解析
【分析】
本题分为基础概念填空和实际应用两部分，解题思路如下：1. 概念填空部分：结合用样本推断总体的性质，抽样具有随机性，相同样本容量的不同样本平均数通常存在差异，样本容量越大，平均数波动越小，常用样本平均数估计总体平均数。2. 例题部分：(1)计算样本平均数直接套用平均数公式：所有数据之和除以样本容量；计算样本方差套用方差公式：每个数据与平均数差的平方之和除以样本容量。(2)根据用样本估计总体的思想，样本平均数和方差就是总体平均数和方差的估计值。(3)将计算得到的方差与规定的0.05比较，若小于等于0.05则生产正常。
【解析】
首先完成知识点填空：
由于抽样的任意性，即使是相同的样本容量，不同样本的平均数一般也不同；当样本容量较小时，差异可能还较大。但是当样本容量增大时，样本的平均数的波动变小，逐渐趋于稳定，且与总体的平均数比较接近。因此，在实际中经常用样本的平均数估计总体的平均数。
例题解答：
(1) 样本平均数为$\overline{x}=\frac{1}{10}×(20.1+19.9+20.3+20.2+19.8+19.7+19.9+20.3+20.0+19.8)=20$(mm)，
样本方差为$s^2=\frac{1}{10}×[(20.1-20)^2+(19.9-20)^2+(20.3-20)^2+(20.2-20)^2+(19.8-20)^2+(19.7-20)^2+(19.9-20)^2+(20.3-20)^2+(20.0-20)^2+(19.8-20)^2]=0.042$。
(2) 根据用样本估计总体的思想，总体平均数的估计值等于样本平均数20mm，总体方差的估计值等于样本方差0.042。
(3) 因为$0.042＜0.05$，满足方差不超过0.05的要求，所以这台车床的生产情况正常。
【答案】
知识点填空：不同；小；平均数
(1) $(20.1+19.9+20.3+20.2+19.8+19.7+19.9+20.3+20.0+19.8)$；$0.042$
(2) $20$；$0.042$
(3) 正常
综上，这台车床的生产情况正常。
【知识点】
用样本估计总体；平均数计算；方差计算
【点评】
本题是统计部分的基础题型，既考查了用样本推断总体的核心概念，又结合实际场景考查了平均数、方差的计算能力，解题关键是熟记统计量的计算公式，理解样本统计量对总体的估计意义。
【难度系数】
0.8
本题分为基础概念填空和实际应用两部分，解题思路如下：1. 概念填空部分：结合用样本推断总体的性质，抽样具有随机性，相同样本容量的不同样本平均数通常存在差异，样本容量越大，平均数波动越小，常用样本平均数估计总体平均数。2. 例题部分：(1)计算样本平均数直接套用平均数公式：所有数据之和除以样本容量；计算样本方差套用方差公式：每个数据与平均数差的平方之和除以样本容量。(2)根据用样本估计总体的思想，样本平均数和方差就是总体平均数和方差的估计值。(3)将计算得到的方差与规定的0.05比较，若小于等于0.05则生产正常。
【解析】
首先完成知识点填空：
由于抽样的任意性，即使是相同的样本容量，不同样本的平均数一般也不同；当样本容量较小时，差异可能还较大。但是当样本容量增大时，样本的平均数的波动变小，逐渐趋于稳定，且与总体的平均数比较接近。因此，在实际中经常用样本的平均数估计总体的平均数。
例题解答：
(1) 样本平均数为$\overline{x}=\frac{1}{10}×(20.1+19.9+20.3+20.2+19.8+19.7+19.9+20.3+20.0+19.8)=20$(mm)，
样本方差为$s^2=\frac{1}{10}×[(20.1-20)^2+(19.9-20)^2+(20.3-20)^2+(20.2-20)^2+(19.8-20)^2+(19.7-20)^2+(19.9-20)^2+(20.3-20)^2+(20.0-20)^2+(19.8-20)^2]=0.042$。
(2) 根据用样本估计总体的思想，总体平均数的估计值等于样本平均数20mm，总体方差的估计值等于样本方差0.042。
(3) 因为$0.042＜0.05$，满足方差不超过0.05的要求，所以这台车床的生产情况正常。
【答案】
知识点填空：不同；小；平均数
(1) $(20.1+19.9+20.3+20.2+19.8+19.7+19.9+20.3+20.0+19.8)$；$0.042$
(2) $20$；$0.042$
(3) 正常
综上，这台车床的生产情况正常。
【知识点】
用样本估计总体；平均数计算；方差计算
【点评】
本题是统计部分的基础题型，既考查了用样本推断总体的核心概念，又结合实际场景考查了平均数、方差的计算能力，解题关键是熟记统计量的计算公式，理解样本统计量对总体的估计意义。
【难度系数】
0.8
1.小颖随机抽查了她家11月份5天的日用电量(单位:千瓦时)为9,11,7,10,8.根据这些数据,估计小颖家11月份的日平均用电量为 （
A.6千瓦时
B.7千瓦时
C.8千瓦时
D.9千瓦时
D
）A.6千瓦时
B.7千瓦时
C.8千瓦时
D.9千瓦时
答案
1. D
解析
【分析】
本题考查用样本平均数估计总体平均数的应用，解题思路如下：首先，随机抽查的5天日用电量属于随机样本，其平均用电量可以代表11月份整体的日平均用电量；其次只需先计算出这5天用电量的总和，再除以抽查天数得到样本平均数，就能得到11月份日平均用电量的估计值。
【解析】
首先计算抽查的5天的用电量总和：
$9 + 11 + 7 + 10 + 8 = 45$（千瓦时）
再计算这5天的日平均用电量：
$\bar{x} = \frac{45}{5} = 9$（千瓦时）
根据随机抽样的样本平均数可估计总体平均水平的原理，可知估计小颖家11月份的日平均用电量为9千瓦时。
故选：D
【答案】
D
【知识点】
算术平均数计算；用样本估计总体
【点评】
本题属于统计类基础题，主要考查对抽样估计思想的理解和算术平均数的计算能力，解题核心是明确随机抽样的样本平均数可以代表总体平均水平。
【难度系数】
0.9
本题考查用样本平均数估计总体平均数的应用，解题思路如下：首先，随机抽查的5天日用电量属于随机样本，其平均用电量可以代表11月份整体的日平均用电量；其次只需先计算出这5天用电量的总和，再除以抽查天数得到样本平均数，就能得到11月份日平均用电量的估计值。
【解析】
首先计算抽查的5天的用电量总和：
$9 + 11 + 7 + 10 + 8 = 45$（千瓦时）
再计算这5天的日平均用电量：
$\bar{x} = \frac{45}{5} = 9$（千瓦时）
根据随机抽样的样本平均数可估计总体平均水平的原理，可知估计小颖家11月份的日平均用电量为9千瓦时。
故选：D
【答案】
D
【知识点】
算术平均数计算；用样本估计总体
【点评】
本题属于统计类基础题，主要考查对抽样估计思想的理解和算术平均数的计算能力，解题核心是明确随机抽样的样本平均数可以代表总体平均水平。
【难度系数】
0.9
2.在统计中,样本的方差可以近似地反映总体的
（
A.平均状态
B.波动大小
C.分布规律
D.最大值和最小值
（
B
）A.平均状态
B.波动大小
C.分布规律
D.最大值和最小值
答案
2. B
解析
【分析】
这道题考查常见统计量的实际意义，解题时先回忆各统计量对应的总体特征，再逐一匹配选项即可。首先明确：反映平均状态的是平均数，反映波动大小的是方差，反映分布规律的是频数/频率类统计量，最大值和最小值属于数据极值，和方差无关，据此就能选出正确答案。
【解析】
我们对每个选项逐一分析：
A. 总体的平均状态由平均数反映，不属于方差的作用，该选项错误；
B. 方差的核心意义是衡量一组数据的离散程度即波动大小，样本方差可以近似反映总体的波动大小，该选项正确；
C. 总体的分布规律一般由频数分布表、频率分布直方图等体现，方差无法反映分布规律，该选项错误；
D. 总体的最大值和最小值是数据的极值，和方差无关联，该选项错误。
【答案】
B
【知识点】
方差的意义；统计量的含义；用样本估计总体
【点评】
本题属于基础概念题，重点考查对各统计量核心意义的掌握，熟记不同统计量对应的总体特征即可快速解答。
【难度系数】
0.9
这道题考查常见统计量的实际意义，解题时先回忆各统计量对应的总体特征，再逐一匹配选项即可。首先明确：反映平均状态的是平均数，反映波动大小的是方差，反映分布规律的是频数/频率类统计量，最大值和最小值属于数据极值，和方差无关，据此就能选出正确答案。
【解析】
我们对每个选项逐一分析：
A. 总体的平均状态由平均数反映，不属于方差的作用，该选项错误；
B. 方差的核心意义是衡量一组数据的离散程度即波动大小，样本方差可以近似反映总体的波动大小，该选项正确；
C. 总体的分布规律一般由频数分布表、频率分布直方图等体现，方差无法反映分布规律，该选项错误；
D. 总体的最大值和最小值是数据的极值，和方差无关联，该选项错误。
【答案】
B
【知识点】
方差的意义；统计量的含义；用样本估计总体
【点评】
本题属于基础概念题，重点考查对各统计量核心意义的掌握，熟记不同统计量对应的总体特征即可快速解答。
【难度系数】
0.9
