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19.（8分）王老师驾驶小汽车从A地行驶到B地，行驶里程为480千米，设小汽车的行驶时间为t（单位：小时），行驶的平均速度为v（单位：千米/小时），且全程速度限定为不超过120千米/小时.
（1）求v关于t的函数表达式；
（2）王老师上午8点驾驶小汽车从A地出发.
① 王老师需要在当天13点至14点（含13点和14点）间到达B地，求小汽车行驶的平均速度v需达到的范围；
② 王老师能否在当天11点30分前到达B地？说明理由.
（1）求v关于t的函数表达式；
（2）王老师上午8点驾驶小汽车从A地出发.
① 王老师需要在当天13点至14点（含13点和14点）间到达B地，求小汽车行驶的平均速度v需达到的范围；
② 王老师能否在当天11点30分前到达B地？说明理由.
答案
19. (1) $\because vt=480$,且全程速度限定为不超过120千米/小时,$\therefore v$关于$t$的函数表达式为$v=\frac{480}{t}(t≥4)$.
(2) ① 8点至13点时间长为5小时,8点至14点时间长为6小时,将$t=6$代入$v=\frac{480}{t}$得$v=80$;将$t=5$代入$v=\frac{480}{t}$得$v=96$.$\therefore$ 小汽车行驶速度$v$的范围为$80≤ v≤96$.
② 王老师不能在当天11点30分前到达B地.理由如下:8点至11点30分时间长为$\frac{7}{2}$小时,将$t=\frac{7}{2}$代入$v=\frac{480}{t}$得$v=\frac{960}{7}＞120$千米/小时,超速了.故王老师不能在当天11点30分前到达B地.
(2) ① 8点至13点时间长为5小时,8点至14点时间长为6小时,将$t=6$代入$v=\frac{480}{t}$得$v=80$;将$t=5$代入$v=\frac{480}{t}$得$v=96$.$\therefore$ 小汽车行驶速度$v$的范围为$80≤ v≤96$.
② 王老师不能在当天11点30分前到达B地.理由如下:8点至11点30分时间长为$\frac{7}{2}$小时,将$t=\frac{7}{2}$代入$v=\frac{480}{t}$得$v=\frac{960}{7}＞120$千米/小时,超速了.故王老师不能在当天11点30分前到达B地.
解析
【分析】
（1）首先利用行程问题核心公式“路程=速度×时间”，结合总路程480千米可得$vt=480$，变形得到v关于t的初步表达式；再根据全程速度不超过120千米/小时的限定，推导出自变量t的最小取值，最终确定完整的函数表达式。
（2）①先计算8点到13点、14点的行驶时长，得到t的取值范围；结合反比例函数$v=\frac{480}{t}$（$t＞0$时，v随t增大而减小）的性质，代入两个端点的t值即可求出对应v的取值范围。
②先计算8点到11点30分的行驶时长，代入函数表达式求出所需的行驶速度，与最高限速120千米/小时对比，若超出限速则无法按时到达。
【解析】
(1) 由路程、速度、时间的关系得$vt=480$，变形可得$v=\frac{480}{t}$。
因为全程速度限定为不超过120千米/小时，即$v≤120$，代入得$\frac{480}{t}≤120$，解得$t≥4$。
因此$v$关于$t$的函数表达式为$v=\frac{480}{t}(t≥4)$。
(2) ① 上午8点到13点的行驶时长为$13-8=5$小时，8点到14点的行驶时长为$14-8=6$小时，即行驶时间$t$满足$5≤t≤6$。
将$t=6$代入$v=\frac{480}{t}$，得$v=\frac{480}{6}=80$；
将$t=5$代入$v=\frac{480}{t}$，得$v=\frac{480}{5}=96$。
结合反比例函数的增减性，可得小汽车行驶的平均速度$v$的范围为$80≤ v≤96$。
② 王老师不能在当天11点30分前到达B地，理由如下：
上午8点到11点30分的行驶时长为$3.5=\frac{7}{2}$小时，将$t=\frac{7}{2}$代入$v=\frac{480}{t}$，得$v=\frac{480}{\frac{7}{2}}=\frac{960}{7}\approx137.14$千米/小时，$\frac{960}{7}＞120$，超出了全程最高限速，因此无法在11点30分前到达。
【答案】
(1) $v=\frac{480}{t}(t≥4)$
(2) ① $80≤ v≤96$；② 不能，理由：若11点30分前到达所需速度超过120千米/小时，违反限速规定。
【知识点】
反比例函数应用、行程问题公式、不等式应用
【点评】
本题结合实际出行场景考查函数的实际应用，解题时需注意结合现实约束条件确定函数自变量的取值范围，计算时间区间时要准确，侧重对基础知识运用能力的考查。
【难度系数】
0.8
（1）首先利用行程问题核心公式“路程=速度×时间”，结合总路程480千米可得$vt=480$，变形得到v关于t的初步表达式；再根据全程速度不超过120千米/小时的限定，推导出自变量t的最小取值，最终确定完整的函数表达式。
（2）①先计算8点到13点、14点的行驶时长，得到t的取值范围；结合反比例函数$v=\frac{480}{t}$（$t＞0$时，v随t增大而减小）的性质，代入两个端点的t值即可求出对应v的取值范围。
②先计算8点到11点30分的行驶时长，代入函数表达式求出所需的行驶速度，与最高限速120千米/小时对比，若超出限速则无法按时到达。
【解析】
(1) 由路程、速度、时间的关系得$vt=480$，变形可得$v=\frac{480}{t}$。
因为全程速度限定为不超过120千米/小时，即$v≤120$，代入得$\frac{480}{t}≤120$，解得$t≥4$。
因此$v$关于$t$的函数表达式为$v=\frac{480}{t}(t≥4)$。
(2) ① 上午8点到13点的行驶时长为$13-8=5$小时，8点到14点的行驶时长为$14-8=6$小时，即行驶时间$t$满足$5≤t≤6$。
将$t=6$代入$v=\frac{480}{t}$，得$v=\frac{480}{6}=80$；
将$t=5$代入$v=\frac{480}{t}$，得$v=\frac{480}{5}=96$。
结合反比例函数的增减性，可得小汽车行驶的平均速度$v$的范围为$80≤ v≤96$。
② 王老师不能在当天11点30分前到达B地，理由如下：
上午8点到11点30分的行驶时长为$3.5=\frac{7}{2}$小时，将$t=\frac{7}{2}$代入$v=\frac{480}{t}$，得$v=\frac{480}{\frac{7}{2}}=\frac{960}{7}\approx137.14$千米/小时，$\frac{960}{7}＞120$，超出了全程最高限速，因此无法在11点30分前到达。
【答案】
(1) $v=\frac{480}{t}(t≥4)$
(2) ① $80≤ v≤96$；② 不能，理由：若11点30分前到达所需速度超过120千米/小时，违反限速规定。
【知识点】
反比例函数应用、行程问题公式、不等式应用
【点评】
本题结合实际出行场景考查函数的实际应用，解题时需注意结合现实约束条件确定函数自变量的取值范围，计算时间区间时要准确，侧重对基础知识运用能力的考查。
【难度系数】
0.8
20. (8分)张明和李亮在体育运动中报名参加了百米训练小组.在近几次百米训练中,教练对他们两人的测试成绩进行了统计和分析,请根据图表中的信息解答以下问题:
(1)请将表格填写完整;
(2)现在从张明和李亮中选择一名去参加比赛,若你是他们的教练,应该选择谁?请说明理由.
(1)请将表格填写完整;
(2)现在从张明和李亮中选择一名去参加比赛,若你是他们的教练,应该选择谁?请说明理由.
答案
20. (1) 张明的平均成绩为:$\frac{13.3+13.4+13.3+13.2+13.3}{5}=13.3$,将李亮的5次成绩从小到大进行排序为:13.1,13.2,13.3,13.4,13.5,排在中间位置的数为13.3,$\therefore$ 李亮成绩的中位数是13.3;张明5次成绩中出现次数最多的是13.3,$\therefore$ 张明5次成绩的众数为13.3;
| |平均数(s)|中位数(s)|方差($s^2$)|众数(s)|
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
|张明|13.3|13.3|0.004|13.3|
|李亮|13.3|13.3|0.02|/|
(2) 因为张明和李亮的平均成绩相同,但张明成绩的方差小于李亮成绩的方差,所以张明成绩比李亮成绩稳定,因此选择张明.
| |平均数(s)|中位数(s)|方差($s^2$)|众数(s)|
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
|张明|13.3|13.3|0.004|13.3|
|李亮|13.3|13.3|0.02|/|
(2) 因为张明和李亮的平均成绩相同,但张明成绩的方差小于李亮成绩的方差,所以张明成绩比李亮成绩稳定,因此选择张明.
解析
【分析】
本题分为两小问，解题思路如下：（1）首先明确平均数、中位数、众数的定义：平均数是所有数据之和除以数据的总个数；中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）排序后，位于中间位置的数（数据个数为奇数时取最中间的数，为偶数时取中间两个数的平均数）；众数是一组数据中出现次数最多的数。分别对应计算张明的平均成绩、众数，李亮的中位数，即可补全表格。（2）选择参赛选手时，先比较两人的平均成绩，若平均成绩相同，再比较方差，方差越小说明成绩波动越小、越稳定，优先选择成绩稳定的选手。
【解析】
(1) 计算张明的平均成绩：
$\overline{x}_{\mathrm{张明}}=\frac{13.3+13.4+13.3+13.2+13.3}{5}=13.3$
将李亮的5次成绩从小到大排序为：13.1，13.2，13.3，13.4，13.5，共5个数据，第3个数据为13.3，因此李亮成绩的中位数是13.3；
张明的5次成绩中，13.3共出现3次，出现次数最多，因此张明成绩的众数为13.3。
补全表格如下：
| |平均数(s)|中位数(s)|方差($s^2$)|众数(s)|
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
|张明|13.3|13.3|0.004|13.3|
|李亮|13.3|13.3|0.02|/|
(2) 两人的平均成绩相同，说明平均水平相当，张明成绩的方差小于李亮成绩的方差，说明张明成绩的波动更小，成绩更稳定，因此选择张明参加比赛。
【答案】
(1) 张明的平均成绩为13.3，李亮成绩的中位数是13.3，张明成绩的众数为13.3，补全表格如下：
| |平均数(s)|中位数(s)|方差($s^2$)|众数(s)|
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
|张明|13.3|13.3|0.004|13.3|
|李亮|13.3|13.3|0.02|/|
(2) 选择张明，理由：张明和李亮的平均成绩相同，但张明成绩的方差小于李亮成绩的方差，张明成绩更稳定。
【知识点】
平均数计算，中位数与众数，方差的意义
【点评】
本题结合体育训练的实际场景考查统计量的计算与应用，要求学生熟练掌握各类常见统计量的计算方法，理解方差反映数据稳定性的特征，能够结合统计结果做出合理的实际决策。
【难度系数】
0.8
本题分为两小问，解题思路如下：（1）首先明确平均数、中位数、众数的定义：平均数是所有数据之和除以数据的总个数；中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）排序后，位于中间位置的数（数据个数为奇数时取最中间的数，为偶数时取中间两个数的平均数）；众数是一组数据中出现次数最多的数。分别对应计算张明的平均成绩、众数，李亮的中位数，即可补全表格。（2）选择参赛选手时，先比较两人的平均成绩，若平均成绩相同，再比较方差，方差越小说明成绩波动越小、越稳定，优先选择成绩稳定的选手。
【解析】
(1) 计算张明的平均成绩：
$\overline{x}_{\mathrm{张明}}=\frac{13.3+13.4+13.3+13.2+13.3}{5}=13.3$
将李亮的5次成绩从小到大排序为：13.1，13.2，13.3，13.4，13.5，共5个数据，第3个数据为13.3，因此李亮成绩的中位数是13.3；
张明的5次成绩中，13.3共出现3次，出现次数最多，因此张明成绩的众数为13.3。
补全表格如下：
| |平均数(s)|中位数(s)|方差($s^2$)|众数(s)|
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
|张明|13.3|13.3|0.004|13.3|
|李亮|13.3|13.3|0.02|/|
(2) 两人的平均成绩相同，说明平均水平相当，张明成绩的方差小于李亮成绩的方差，说明张明成绩的波动更小，成绩更稳定，因此选择张明参加比赛。
【答案】
(1) 张明的平均成绩为13.3，李亮成绩的中位数是13.3，张明成绩的众数为13.3，补全表格如下：
| |平均数(s)|中位数(s)|方差($s^2$)|众数(s)|
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
|张明|13.3|13.3|0.004|13.3|
|李亮|13.3|13.3|0.02|/|
(2) 选择张明，理由：张明和李亮的平均成绩相同，但张明成绩的方差小于李亮成绩的方差，张明成绩更稳定。
【知识点】
平均数计算，中位数与众数，方差的意义
【点评】
本题结合体育训练的实际场景考查统计量的计算与应用，要求学生熟练掌握各类常见统计量的计算方法，理解方差反映数据稳定性的特征，能够结合统计结果做出合理的实际决策。
【难度系数】
0.8
21. (8分)已知关于x的方程$x^2-(2k+1)x+k^2+k=0$.
（1）试说明：该方程有两个不相等的实数根；
（2）若$x_1^2+x_2^2=x_1· x_2+3$，求实数k的值.
（1）试说明：该方程有两个不相等的实数根；
（2）若$x_1^2+x_2^2=x_1· x_2+3$，求实数k的值.
答案
21. (1) $\because \Delta=[-(2k+1)]^2-4(k^2+k)=4k^2+4k+1-4k^2-4k=1＞0$,$\therefore$ 该方程有两个不相等的实数根；
(2) $\because x_1^2+x_2^2=x_1·x_2+3$,$\therefore (x_1+x_2)^2-3x_1x_2-3=0$,$\therefore (2k+1)^2-3(k^2+k)-3=0$,$\therefore k^2+k-2=0$,$\therefore k=-2$或1.
(2) $\because x_1^2+x_2^2=x_1·x_2+3$,$\therefore (x_1+x_2)^2-3x_1x_2-3=0$,$\therefore (2k+1)^2-3(k^2+k)-3=0$,$\therefore k^2+k-2=0$,$\therefore k=-2$或1.
解析
【分析】
（1）判断一元二次方程根的个数可通过根的判别式Δ的符号判定：若Δ＞0，则方程有两个不相等的实数根。本题只需代入方程各项系数计算Δ，验证其恒大于0即可证明结论。
（2）已知等式涉及两根的平方和与两根积，首先利用完全平方公式将$x_1^2+x_2^2$变形为$(x_1+x_2)^2-2x_1x_2$，将等式转化为仅含两根和、两根积的形式；再根据根与系数的关系写出$x_1+x_2$、$x_1x_2$关于k的表达式，代入变形后的等式得到关于k的一元二次方程，解方程即可求出k的值。
【解析】
（1）对于方程$x^2-(2k+1)x+k^2+k=0$，二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-(2k+1)$，常数项$c=k^2+k$，
根的判别式$\Delta=b^2-4ac=[-(2k+1)]^2-4×1×(k^2+k)$
$=4k^2+4k+1-4k^2-4k=1$，
∵$\Delta=1＞0$，
∴该方程有两个不相等的实数根。
（2）由根与系数的关系可得：
$x_1+x_2=2k+1$，$x_1x_2=k^2+k$，
已知$x_1^2+x_2^2=x_1·x_2+3$，将$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2$代入得：
$(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=x_1x_2+3$，
移项整理得：$(x_1+x_2)^2-3x_1x_2-3=0$，
将$x_1+x_2=2k+1$、$x_1x_2=k^2+k$代入上式：
$(2k+1)^2-3(k^2+k)-3=0$，
展开化简得：$4k^2+4k+1-3k^2-3k-3=0$，即$k^2+k-2=0$，
解得$k=-2$或$k=1$。
【答案】
（1）该方程有两个不相等的实数根，证明成立；
（2）实数k的值为-2或1。
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 根与系数的关系
3. 完全平方公式变形
【点评】
本题是一元二次方程的基础综合题，既考查了根的判别式的应用，也考查了根与系数关系的代数变形，熟练掌握相关公式和常见的代数式变形技巧即可顺利解题。
【难度系数】
0.7
（1）判断一元二次方程根的个数可通过根的判别式Δ的符号判定：若Δ＞0，则方程有两个不相等的实数根。本题只需代入方程各项系数计算Δ，验证其恒大于0即可证明结论。
（2）已知等式涉及两根的平方和与两根积，首先利用完全平方公式将$x_1^2+x_2^2$变形为$(x_1+x_2)^2-2x_1x_2$，将等式转化为仅含两根和、两根积的形式；再根据根与系数的关系写出$x_1+x_2$、$x_1x_2$关于k的表达式，代入变形后的等式得到关于k的一元二次方程，解方程即可求出k的值。
【解析】
（1）对于方程$x^2-(2k+1)x+k^2+k=0$，二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-(2k+1)$，常数项$c=k^2+k$，
根的判别式$\Delta=b^2-4ac=[-(2k+1)]^2-4×1×(k^2+k)$
$=4k^2+4k+1-4k^2-4k=1$，
∵$\Delta=1＞0$，
∴该方程有两个不相等的实数根。
（2）由根与系数的关系可得：
$x_1+x_2=2k+1$，$x_1x_2=k^2+k$，
已知$x_1^2+x_2^2=x_1·x_2+3$，将$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2$代入得：
$(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=x_1x_2+3$，
移项整理得：$(x_1+x_2)^2-3x_1x_2-3=0$，
将$x_1+x_2=2k+1$、$x_1x_2=k^2+k$代入上式：
$(2k+1)^2-3(k^2+k)-3=0$，
展开化简得：$4k^2+4k+1-3k^2-3k-3=0$，即$k^2+k-2=0$，
解得$k=-2$或$k=1$。
【答案】
（1）该方程有两个不相等的实数根，证明成立；
（2）实数k的值为-2或1。
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 根与系数的关系
3. 完全平方公式变形
【点评】
本题是一元二次方程的基础综合题，既考查了根的判别式的应用，也考查了根与系数关系的代数变形，熟练掌握相关公式和常见的代数式变形技巧即可顺利解题。
【难度系数】
0.7
