22. (8分)如图,在△ABC中,∠C=90°,⊙O是△ABC的内切圆,切点分别是D,E,F.
(1)连接OA,OB,则∠AOB=.
(2)若BD=6,AD=4,求⊙O的半径r.

22. (1)$135°$
(2) 如图,连接EO,FO,$\because \odot O$是$△ ABC$的内切圆,切点分别为D,E,F,$\therefore OE⊥ BC$,$OF⊥ AC$,$BD=BE$,$AD=AF$,$EC=CF$,又$\because ∠ C=90°$,$\therefore$ 四边形ECFO是矩形,又$\because EO=FO$,$\therefore$ 矩形OECF是正方形,设$EO=x$,则$EC=CF=x$,在$Rt△ ABC$中,$BC^2+AC^2=AB^2$,故$(x+6)^2+(x+4)^2=10^2$,解得:$x=2$,即$\odot O$的半径$r=2$.

【分析】
(1) 解题思路：首先明确三角形内切圆的圆心是三角形的内心，即三个内角角平分线的交点，因此OA、OB分别平分∠CAB和∠CBA。先结合∠C=90°求出∠CAB与∠CBA的和，再求出两个半角的和，最后利用三角形内角和即可算出∠AOB的度数。
(2) 解题思路：先根据切线长定理得到三组相等的切线段，再结合内切圆半径垂直于切线、∠C=90°的条件，证明四边形OECF是正方形，得到边长等于半径r。最后将直角三角形的三边用含r的式子表示，用勾股定理列方程求解即可得到半径长度。
【解析】
(1)
∵⊙O是△ABC的内切圆，
∴O是△ABC的内心，即OA平分∠CAB，OB平分∠CBA，
∴∠OAB = $\frac{1}{2}$∠CAB，∠OBA = $\frac{1}{2}$∠CBA，
∵∠C=90°，
∴∠CAB + ∠CBA = 90°，
∴∠OAB + ∠OBA = $\frac{1}{2}$×90° = 45°，
在△AOB中，∠AOB = 180° - (∠OAB + ∠OBA) = 180° - 45° = 135°。
(2) 连接EO，FO，
∵⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D,E,F，
∴OE⊥BC，OF⊥AC，BD=BE=6，AD=AF=4，EC=CF，
又
∵∠C=90°，
∴四边形ECFO是矩形，
又
∵EO=FO=r，
∴矩形OECF是正方形，即EC=CF=r，
∴BC=6+r，AC=4+r，AB=4+6=10，
在Rt△ABC中，由勾股定理得$BC^2+AC^2=AB^2$，
代入得：$(r+6)^2+(r+4)^2=10^2$，
整理得$r^2+10r-24=0$，解得$r=2$（$r=-12$不符合题意舍去），即⊙O的半径为2。
【答案】
(1) $135°$
(2) $\odot O$的半径$r=2$

【知识点】
三角形内切圆性质；切线长定理；勾股定理
【点评】
本题是圆与直角三角形结合的典型题型，核心考查内切圆相关性质的应用，解题时需要结合角平分线性质、切线长定理、正方形判定和勾股定理多个知识点，理清各线段的数量关系是解题的关键。
【难度系数】
0.7

23. (8分)如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ C=90°$,点$D,E,F$分别是边$AB,BC,AC$上的点,以AD为直径的半圆O经过点E,F,且AE平分$∠ CAB$.
(1)求证:BC是半圆O的切线;
(2)若$∠ B=30°$,$AB=12$,求CF的长.

23. (1) 如图,连接OE,$\because AE$平分$∠ CAB$,$\therefore ∠ CAE=∠ DAE$. $\because OA=OE$,$\therefore ∠ EAO=∠ AEO$,$\therefore ∠ CAE=∠ AEO$,$\therefore AC// OE$. $\because ∠ C=90°$,$\therefore ∠ OEB=90°$. $\because OE$是$\odot O$的半径,$\therefore BC$是半圆O的切线；
(2) $\because ∠ C=∠ OEB=90°$,$∠ B=30°$,$AB=12$,$\therefore AC=\frac{1}{2}AB=6$,$OB=2OE$. $\because OE=OD$,$\therefore OD=BD$,$\therefore OA=OE=OD=BD=4$,$\therefore AD=8$. $\because AD$是半圆O的直径,$\therefore ∠ C=∠ DFA=90°$,$\therefore DF// BC$,$\therefore ∠ B=∠ FDA=30°$,$\therefore AF=\frac{1}{2}AD=4$,$\therefore CF=AC-AF=2$.

【分析】
(1) 证明直线是圆的切线的常规思路是“连半径，证垂直”，因此先连接半径OE。首先利用角平分线的性质得到角相等，再结合等腰三角形等边对等角的性质，通过等量代换得到内错角相等，推出AC//OE，最后结合∠C=90°即可证明OE⊥BC，满足切线的判定条件。
(2) 求CF的长，观察图形可得CF=AC-AF，因此只需分别求出AC和AF的长度即可。先在Rt△ABC中利用30°角直角三角形的性质求出AC；再根据“直径所对的圆周角是直角”得∠AFD=90°，推出DF//BC，得到∠FDA=30°，在Rt△AFD中求出AF的长度，二者作差即可得到CF的长。
【解析】
(1) 证明：如图，连接OE，
∵AE平分∠CAB，
∴∠CAE=∠DAE。
∵OA=OE，
∴∠EAO=∠AEO，
∴∠CAE=∠AEO，
∴AC//OE。
∵∠C=90°，
∴∠OEB=∠C=90°，即OE⊥BC。
又
∵OE是⊙O的半径，
∴BC是半圆O的切线。
(2) 解：
∵∠C=∠OEB=90°，∠B=30°，AB=12，
在Rt△ABC中，∠B=30°，
∴AC=$\frac{1}{2}$AB=6，且OB=2OE。
∵OE=OD，
∴OB=2OD，即BD+OD=2OD，
∴BD=OD，
∴OA=OE=OD=BD，AB=BD+OD+OA=3OA=12，解得OA=4，
∴AD=OD+OA=8。
∵AD是半圆O的直径，
∴∠DFA=90°=∠C，
∴DF//BC，
∴∠FDA=∠B=30°，
在Rt△AFD中，∠FDA=30°，
∴AF=$\frac{1}{2}$AD=4，
∴CF=AC-AF=6-4=2。
【答案】
(1) 如图,连接OE,$\because AE$平分$∠ CAB$,$\therefore ∠ CAE=∠ DAE$. $\because OA=OE$,$\therefore ∠ EAO=∠ AEO$,$\therefore ∠ CAE=∠ AEO$,$\therefore AC// OE$. $\because ∠ C=90°$,$\therefore ∠ OEB=90°$. $\because OE$是$\odot O$的半径,$\therefore BC$是半圆O的切线；
(2) $\because ∠ C=∠ OEB=90°$,$∠ B=30°$,$AB=12$,$\therefore AC=\frac{1}{2}AB=6$,$OB=2OE$. $\because OE=OD$,$\therefore OD=BD$,$\therefore OA=OE=OD=BD=4$,$\therefore AD=8$. $\because AD$是半圆O的直径,$\therefore ∠ C=∠ DFA=90°$,$\therefore DF// BC$,$\therefore ∠ B=∠ FDA=30°$,$\therefore AF=\frac{1}{2}AD=4$,$\therefore CF=AC-AF=2$.

【知识点】
切线的判定；含30°角的直角三角形的性质；圆周角定理
【点评】
本题是圆与特殊直角三角形结合的常见综合题，第一问考查切线的常规判定方法，第二问综合了平行线的判定、圆周角定理和特殊直角三角形的边长关系，解题时注意合理添加辅助线，结合已知条件逐步推导即可。
【难度系数】
0.7

24. (10分)某商场经营某种品牌的童装,进价为每件70元,根据市场调研,在一段时间内,当童装的销售定价为每件110元时,可售出20件,而每件定价每降低1元,销售量就增加2件.
(1) 当童装销售定价为每件100元时,销售量为件；
(2) 直接写出销售量y(件)与售价x(元/件)的函数关系式为；
(3) 该童装的销售定价为每件多少元时,商场销售该品牌童装可盈利1200元？

24. (1)40
(2) 依题意,$y=20+(110-x)×2=-2x+240$,故答案为:$y=-2x+240$.
(3) 设童装的销售定价为每件$x$元时,商场销售该品牌童装可盈利1200元,则$(x-70)(-2x+240)=1200$,解得:$x_1=90$,$x_2=100$,答:童装的销售定价为每件90元或100元时,商场销售该品牌童装可盈利1200元.

【分析】
（1）先计算定价从110元降到100元的降价金额，再结合“每降1元销量增加2件”计算增加的销量，最后加原有销量即可得到总销量；
（2）售价为x元时，先算出售价比110元低的金额，再得到对应增加的销量，用原有销量加增加的销量即可得到y与x的关系式，化简即可；
（3）销售总利润=单件利润×总销量，单件利润为（售价-进价），总销量用第（2）问的函数式代入，结合总盈利1200元列一元二次方程，求解后验证解符合实际意义即可。
【解析】
(1) 定价从110元降到100元，降价金额为$110-100=10$元，增加的销量为$10×2=20$件，总销量为$20+20=40$件。
(2) 售价为x元时，比110元低$(110-x)$元，增加的销量为$2(110-x)$件，因此销量：
$y=20+2(110-x)$
化简得：$y=-2x+240$
(3) 设销售定价为每件x元时，盈利1200元。
单件利润为$(x-70)$元，销量为$(-2x+240)$件，根据总利润公式列方程：
$(x-70)(-2x+240)=1200$
整理得$x^2-190x+9000=0$
因式分解得$(x-90)(x-100)=0$
解得$x_1=90$，$x_2=100$，两个解均大于进价70，符合销售实际。
【答案】
(1) $\boxed{40}$
(2) $\boxed{y=-2x+240}$
(3) 童装的销售定价为每件90元或100元时，商场销售该品牌童装可盈利1200元。
【知识点】
一次函数的实际应用；一元二次方程的应用；销售利润问题
【点评】
本题是典型的销售类实际应用题，解题关键是理清销量、售价、利润之间的等量关系，正确列出函数式和方程，求解后要注意验证结果是否符合实际销售的取值要求。
【难度系数】
0.75

25. (10分)如图1，张爷爷用30 m长的隔离网在一段15 m长的院墙边围成矩形养殖园，已知矩形的边CD靠院墙，AD和BC与院墙垂直，设AB的长为x m.
（1）当围成的矩形养殖园面积为108 m²时，求BC的长；
（2）如图2，张爷爷打算在养殖园饲养鸡、鸭、鹅三种家禽，需要在中间多加上两道隔离网.已知两道隔离网与院墙垂直，请问此时养殖园的面积能否达到100 m²？若能，求出AB的长；若不能，请说明理由.

25. (1) $\because$ 隔离网的总长为30 m,且$AB=x$ m,$\therefore AD=\frac{30-x}{2}$ m. 根据题意得:$x·\frac{30-x}{2}=108$,整理得:$x^2-30x+216=0$,解得:$x_1=12$,$x_2=18$(不符合题意,舍去),$\therefore \frac{30-x}{2}=\frac{30-12}{2}=9$.答:$BC$的长为9 m；
(2) 养殖园的面积不能达到100 m²,理由如下:$\because$ 隔离网的总长为30 m,且$AB=x$ m,$\therefore AD=\frac{30-x}{4}$ m. 根据题意得:$x·\frac{30-x}{4}=100$,整理得:$x^2-30x+400=0$,$\because \Delta=(-30)^2-4×1×400=-700＜0$,$\therefore$ 该方程无实数根,$\therefore$ 养殖园的面积不能达到100 m².

【分析】
（1）解决第一问时，先根据隔离网总长的组成，用AB的长度x表示出垂直边BC的长度，再结合矩形面积公式列一元二次方程；求解后注意AB长度不能超过院墙长度15m，舍去不符合实际的解，最后计算BC的长度即可。
（2）解决第二问时，先明确新增两道垂直隔离网后，垂直于院墙的边共有4条，据此用x表示出垂直边的长度，再列面积为100m²的方程，通过计算根的判别式判断方程是否有实数根，即可确定面积能否达到要求。
【解析】
(1) 已知隔离网总长为30 m，AB的长为x m，隔离网由AB、AD、BC三段组成，且AD=BC，因此$BC=AD=\frac{30-x}{2}$ m。
由于CD靠院墙，AB与CD长度相等，因此AB的长需满足$x≤15$ m。
根据矩形面积公式可列方程：
$x·\frac{30-x}{2}=108$
整理得：$x^2-30x+216=0$
解得：$x_1=12$，$x_2=18$。
$x_2=18＞15$，不符合院墙长度限制，故舍去。
因此$BC=\frac{30-12}{2}=9$ m。
(2) 养殖园的面积不能达到100 m²，理由如下：
新增两道与院墙垂直的隔离网后，垂直于院墙的边共4条，因此垂直边长度$AD=\frac{30-x}{4}$ m。
若养殖园面积为100 m²，可列方程：
$x·\frac{30-x}{4}=100$
整理得：$x^2-30x+400=0$
计算根的判别式：$\Delta=(-30)^2-4×1×400=-700＜0$
因此该一元二次方程无实数根，不存在符合条件的AB长度，故养殖园面积不能达到100 m²。
【答案】
(1) BC的长为9 m；
(2) 养殖园的面积不能达到100 m²。
【知识点】
一元二次方程的应用、根的判别式、矩形面积计算
【点评】
本题结合生活实际场景考查一元二次方程的应用，解题时要注意结合实际限制条件对方程的解进行取舍，第二问通过根的判别式判断方程解的存在性，是代数知识结合几何应用的典型题型，能较好地考查知识的实际应用能力。
【难度系数】
0.65