26. (12分)如图,等腰△ABC内接于⊙O,AB=AC.
(1) 如图1,若∠B=60°,连接AO并延长交⊙O于点D,交BC于点H.
① $\overset{\frown}{BD}$的度数为;BH与CH的数量关系是;
② 请你仅使用无刻度的直尺在图1中作出一个正六边形,保留作图痕迹(作图过程用虚线表示,作图结果用实线表示);
(2) 如图2,若∠BAC=36°,E是AB的中点,请你仅使用无刻度的直尺在图2中,作一个⊙O的内接正五边形(作图过程用虚线表示,作图结果用实线表示).

26. (1) ① $60°$,$BH=CH$;
② 如图2,正六边形AFBDCE即为所作;
(2) 如图3,正五边形AHBCD即为所求作.

【分析】
(1) ① 先判断△ABC的形状：已知AB=AC，∠B=60°，可推出△ABC是等边三角形。AD是过圆心的直径，结合等腰三角形三线合一性质和垂径定理，可直接得到BH与CH的数量关系；再根据圆周角定理，圆周角的度数等于其所对弧度数的一半，结合∠BAD的度数即可求出$\overset{\frown}{BD}$的度数。
② 正六边形的边长等于圆的半径，且每个中心角为60°。已知△ABC是等边三角形，对应的圆心角∠AOB、∠BOC、∠AOC均为120°，将BO、CO分别延长与圆相交，即可得到圆的6个等分点，顺次连接即可得到正六边形。
(2) 正五边形的每个中心角为$360°÷5=72°$，先计算$\overset{\frown}{BC}$的度数：已知∠BAC=36°，根据圆周角定理，$\overset{\frown}{BC}$的度数为$2×36°=72°$，正好等于正五边形中心角对应的弧度数。E是AB的中点，根据垂径定理，连接OE并延长与圆相交，可得$\overset{\frown}{AB}$的中点，依次找到剩余的等分点，顺次连接即可得到正五边形。
【解析】
(1) ① 解：
$\because AB=AC$，$∠ ABC=60°$，
$\therefore △ ABC$是等边三角形，$∠ BAC=60°$。
$\because AD$是过圆心$O$的直径，在等腰$△ ABC$中$AD$平分$∠ BAC$，且$AD⊥ BC$，
根据垂径定理，$AD$垂直平分$BC$，因此$BH=CH$。
$∠ BAD=\frac{1}{2}∠ BAC=30°$，
根据圆周角定理，$\overset{\frown}{BD}$的度数是其所对圆周角度数的2倍，即$2×30°=60°$。
② 作图：1. 连接$BO$并延长，交$\odot O$于点$E$；2. 连接$CO$并延长，交$\odot O$于点$F$；3. 顺次连接$A、F、B、D、C、E$，$BO、CO$的延长线为虚线，六边形边为实线，所得图形即为所求正六边形。
(2) 作图：1. 连接$EO$并延长，交$\odot O$于点$H$；2. 连接$AO$并延长，交$\odot O$于点$D$；3. 顺次连接$A、H、B、C、D$，$EO、AO$的延长线为虚线，五边形边为实线，所得图形即为所求$\odot O$的内接正五边形。
【答案】
(1) ① $60°$，$BH=CH$；
② 如图2，正六边形AFBDCE即为所作；
(2) 如图3，正五边形AHBCD即为所求作。

【知识点】
垂径定理，圆周角定理，正多边形与圆
【点评】
本题综合考查了等腰三角形、圆的相关性质以及无刻度直尺作图的能力，解题核心是掌握正多边形的边长、中心角与圆的半径、对应弧度数的关系，侧重对基础知识应用和动手操作能力的考查。
【难度系数】
0.6

27. (14分)(1)【学习心得】
小赵同学在学习完“圆”这一章内容后,感觉到一些几何问题,如果添加辅助圆,运用圆的知识解决,可以使问题变得非常容易.我们把这个过程称为“化隐圆为显圆”.

① 已知:如图1,OA=OB=OC,若∠AOB=50°,求∠ACB的度数.
解:若以点O为圆心,OA为半径作辅助圆,∠AOB是⊙O的圆心角,而∠ACB是圆周角,从而可容易得到∠ACB=°.
② 如图2,点P为正方形ABCD内一点,且∠BPC=90°,若AB=4,求AP的最小值.
解:∵BC=4,∠BPC=90°,∴点P在以BC为直径的圆上,
设圆心为点O,则O,P,A三点共线时AP最小,最小值为.
(2)【问题解决】
① 如图3,在平行四边形ABCD中,已知AB=4,BC=6,∠ABC=60°,点P是BC边上一动点(点P不与B,C重合),连接AP,作点B关于直线AP的对称点Q,则线段QC的最小值为.
② 如图4,△ABC中,∠BAC=90°,AB=4,AC=3,D为AC上一动点,以AD为直径的⊙O交BD于E,求线段CE的最小值.
(3)【问题拓展】
如图5,在平面直角坐标系中,已知两点A(2,3),B(6,7),x轴上有一动点P,当∠APB最大时,直接写出点P的坐标.

27. (1) ① 25 ② $2\sqrt{5}-2$
(2) ① 如图3,过点A作$AH⊥ BC$于H,$\because AB=4$,$BC=6$,$∠ ABC=60°$,则$AH=AB·\sin∠ ABC=2\sqrt{3}$,$BH=2$,$\therefore CH=BC-BH=6-2=4$,在$Rt△ ACH$中,$AC=\sqrt{AH^2+CH^2}=\sqrt{(2\sqrt{3})^2+4^2}=2\sqrt{7}$. $\because$ 点B与点Q关于直线AP对称,$\therefore AQ=AB=4$,$\therefore$ 点Q在以A为圆心AB为半径的$\odot A$上,$\therefore$ 当C,Q,A三点共线时QC最小,QC的最小值$=AC-AQ=2\sqrt{7}-4$.
② 如图4,连接AE,$\because AD$是$\odot O$的直径,$\therefore ∠ AED=90°$,$\therefore ∠ AEB=180°-∠ AED=90°$,即点E在以AB为直径的圆上,以AB为直径作$\odot Q$,交$\odot O$于E,当C,E,Q三点共线时,CE最小. $\because △ ABC$中,$∠ BAC=90°$,$AB=4$,$AC=3$,$\therefore QE=AQ=\frac{1}{2}AB=2$,$\therefore CQ=\sqrt{AC^2+AQ^2}=\sqrt{3^2+2^2}=\sqrt{13}$,$\therefore CE=CQ-QE=\sqrt{13}-2$,故线段CE的最小值为$\sqrt{13}-2$.
(3) 当$∠ APB$最大时,过A,B两点的$\odot O'$与x轴相切,设直线AB的解析式为$y=kx+b$,把$A(2,3)$,$B(6,7)$代入,得:$\begin{cases}2k+b=3,\\6k+b=7,\end{cases}$解得:$\begin{cases}k=1,\\b=1,\end{cases}$$\therefore$ 直线AB的解析式为$y=x+1$. $\because$ 线段AB的中点坐标为$(4,5)$,圆心$O'$在AB的垂直平分线上,$\therefore$ 线段AB的垂直平分线为$y=-x+9$.设$O'(m,-m+9)$,$\because O'A=O'B=O'P$,$\therefore (m-2)^2+(-m+9-3)^2=(-m+9)^2$,解得:$m=\sqrt{42}-1$或$m=-\sqrt{42}-1$(舍去),$\therefore$ 点P的坐标为$(\sqrt{42}-1,0)$,故答案为:$(\sqrt{42}-1,0)$.

【分析】
本题核心解题思路是“化隐圆为显圆”，根据动点满足的条件判断其轨迹为圆，再结合圆的相关性质求解：
1. 第(1)①问：由OA=OB=OC可知A、B、C在以O为圆心的圆上，直接用同弧所对圆周角是圆心角的一半计算；
2. 第(1)②问：∠BPC=90°，BC为定边，符合“定角对定边”特征，故P在以BC为直径的圆上，求AP最小值即求点A到圆心的距离减去半径；
3. 第(2)①问：由对称性质得AQ=AB为定值，故Q在以A为圆心、AB为半径的圆上，QC最小值为AC长度减去半径；
4. 第(2)②问：由直径所对圆周角为直角得∠AEB=90°，AB为定边，故E在以AB为直径的圆上，CE最小值为点C到圆心的距离减去半径；
5. 第(3)问：∠APB最大时，过A、B两点的圆与x轴相切，结合垂直平分线性质、切线性质求圆心坐标，进而得到切点P的坐标。
【解析】
(1) ① 以O为圆心，OA为半径作圆，A、B、C均在⊙O上，∠AOB是弧AB所对的圆心角，∠ACB是弧AB所对的圆周角，根据圆周角定理可得$∠ ACB=\frac{1}{2}∠ AOB=\frac{1}{2}×50°=25°$。
② 由$∠ BPC=90°$，BC为定边，可知点P在以BC为直径的圆上，BC=AB=4，圆心O为BC中点，故OB=OC=2。连接AO，在$Rt△ ABO$中，AB=4，BO=2，$AO=\sqrt{4^2+2^2}=2\sqrt{5}$。当O、P、A三点共线时，AP最小，最小值为$AO-OP=2\sqrt{5}-2$。
(2) ① 过点A作$AH⊥ BC$于H，在$Rt△ ABH$中，AB=4，$∠ ABC=60°$，故$AH=AB·\sin60°=2\sqrt{3}$，$BH=AB·\cos60°=2$，$CH=BC-BH=6-2=4$。在$Rt△ ACH$中，$AC=\sqrt{AH^2+CH^2}=\sqrt{(2\sqrt{3})^2+4^2}=2\sqrt{7}$。
∵点B与Q关于AP对称，
∴$AQ=AB=4$，即Q在以A为圆心、AB为半径的⊙A上。当A、Q、C三点共线时QC最小，最小值为$AC-AQ=2\sqrt{7}-4$。
② 连接AE，
∵AD是⊙O的直径，
∴$∠ AED=90°$，故$∠ AEB=180°-∠ AED=90°$，即E在以AB为直径的⊙Q上。Q为AB中点，故$AQ=QE=\frac{1}{2}AB=2$。
在$Rt△ ACQ$中，AQ=2，AC=3，$∠ BAC=90°$，故$CQ=\sqrt{AC^2+AQ^2}=\sqrt{3^2+2^2}=\sqrt{13}$。当C、E、Q三点共线时CE最小，最小值为$CQ-QE=\sqrt{13}-2$。
(3) 设过A、B的圆$O'$与x轴相切于P，此时$∠ APB$最大。
先求直线AB的解析式：将A(2,3)、B(6,7)代入$y=kx+b$，得$\begin{cases}2k+b=3\\6k+b=7\end{cases}$，解得$\begin{cases}k=1\\b=1\end{cases}$，故AB解析式为$y=x+1$。
AB中点为(4,5)，AB的垂直平分线斜率为-1，故垂直平分线解析式为$y-5=-(x-4)$，即$y=-x+9$，故圆心$O'(m,-m+9)$。
∵⊙$O'$与x轴相切，
∴半径等于$O'$的纵坐标，即$r=-m+9$，又$O'A=r$，故：
$(m-2)^2+(-m+9-3)^2=(-m+9)^2$
整理得$m^2+2m-41=0$，解得$m=\sqrt{42}-1$（舍去负根$-\sqrt{42}-1$），故P点横坐标为$\sqrt{42}-1$，即$P(\sqrt{42}-1,0)$。
【答案】
(1) ① 25；② $2\sqrt{5}-2$
(2) ① $2\sqrt{7}-4$；② $\sqrt{13}-2$
(3) $(\sqrt{42}-1,0)$

【知识点】
圆周角定理，隐圆的应用，切线的性质
【点评】
本题以“化隐圆为显圆”为核心考点，从基础的圆周角计算，到利用“定点定长”“定角对定边”判定隐圆求解线段最值，再拓展到最大角的切线模型，层层递进，侧重考查对圆的性质的灵活运用能力，解题的关键是准确判断动点的轨迹为圆，再结合点与圆、直线与圆的位置关系求解。
【难度系数】
0.3