7. 已知一组数据 $ x_1, x_2, x_3, \dots, x_n $ 的方差为 2，则另一组数据 $ 3x_1, 3x_2, 3x_3, \dots, 3x_n $ 的方差为 。

7. 18

【分析】
解题时首先回忆方差的计算公式与性质，思路如下：1. 先设原数据的平均数为$\overline{x}$，根据已知原方差为2写出原方差的表达式；2. 计算新数据的平均数，可知新平均数是原平均数的3倍；3. 将新数据和新平均数代入方差公式，化简后可得到新方差和原方差的关系，代入数值即可求出结果。也可以直接利用方差的性质：若一组数据每个元素都乘以$a$，则新方差是原方差的$a^2$倍，直接计算。
【解析】
设原数据$x_1,x_2,\dots,x_n$的平均数为$\overline{x}$，方差为$s^2$，由题意得$s^2=2$。
根据方差定义：
$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\dots+(x_n-\overline{x})^2]=2$
新数据$3x_1,3x_2,\dots,3x_n$的平均数为：
$\overline{x}'=\frac{1}{n}(3x_1+3x_2+\dots+3x_n)=3×\frac{1}{n}(x_1+x_2+\dots+x_n)=3\overline{x}$
新数据的方差为：
$\begin{aligned}s'^2&=\frac{1}{n}[(3x_1-\overline{x}')^2+(3x_2-\overline{x}')^2+\dots+(3x_n-\overline{x}')^2]\\&=\frac{1}{n}[(3x_1-3\overline{x})^2+(3x_2-3\overline{x})^2+\dots+(3x_n-3\overline{x})^2]\\&=\frac{1}{n}[9(x_1-\overline{x})^2+9(x_2-\overline{x})^2+\dots+9(x_n-\overline{x})^2]\\&=9×\frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\dots+(x_n-\overline{x})^2]\\&=9s^2\end{aligned}$
将$s^2=2$代入得：$s'^2=9×2=18$
【答案】
18
【知识点】
1. 方差的定义 2. 方差的性质
【点评】
本题属于基础题型，既可以通过方差的定义逐步推导求解，也可以直接利用方差的变化规律快速得出答案，熟练掌握方差的性质能大大提高解题效率。
【难度系数】
0.7

8. 需要对一批排球的质量是否符合标准进行检测，其中质量超过标准的克数记为正数，不足标准的克数记为负数，现抽取8个排球，通过检测所得数据如下（单位：克）：+1，-2，+1，0，+2，-3，0，+1，则这组数据的方差是。

8. 2.5

【分析】
要计算这组数据的方差，需遵循方差的计算步骤：首先计算这组数据的平均数，再求出每个数据与平均数的差的平方，最后计算这些平方值的平均数，即为所求方差。计算时先对8个检测数据求和，除以数据个数得到平均数，再代入方差公式计算即可。
【解析】
解：首先计算这组数据的平均数：
$\bar{x}=\frac{1}{8}×[(+1)+(-2)+(+1)+0+(+2)+(-3)+0+(+1)]=\frac{1}{8}×0=0$
根据方差公式$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\bar{x})^2+(x_2-\bar{x})^2+\dots+(x_n-\bar{x})^2]$，代入数据得：
$s^2=\frac{1}{8}×[(1-0)^2+(-2-0)^2+(1-0)^2+(0-0)^2+(2-0)^2+(-3-0)^2+(0-0)^2+(1-0)^2]$
$=\frac{1}{8}×(1+4+1+0+4+9+0+1)$
$=\frac{1}{8}×20=2.5$
【答案】
2.5
【知识点】
1. 平均数的计算
2. 方差的计算
【点评】
本题是方差计算的基础题型，重点考查方差的计算步骤，计算过程中要注意正负号的运算，避免数据求和时出现错误。
【难度系数】
0.7

9. 甲、乙两班举行一分钟跳绳比赛，参赛学生每分钟跳绳次数的统计结果如表：
| 班 级 | 参加人数 | 中位数 | 方 差 | 平均数 |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| 甲 | 45 | | 181 | 110 |
| 乙 | 45 | 111 | 108 | 110 |
某同学分析如表后得到如下结论：① 甲乙两班学生平均成绩相同；② 乙班优秀人数多于甲班优秀人数（每分钟跳绳≥110次为优秀）；③ 甲班成绩的波动比乙班大，则正确结论的序号是。

9. ①②③

【分析】
要判断三个结论是否正确，我们可结合对应统计量的含义逐一验证：结论①对应平均数，直接对比两班平均数即可判断；结论②对应中位数，先明确中位数是排序后中间位置的数，再结合优秀标准即可判断两班优秀人数的多少；结论③对应方差，根据“方差越大，数据波动越大”的性质对比两班方差即可判断。
【解析】
1. 验证结论①：由表格数据可知，甲、乙两班的平均数均为110，因此两班学生的平均成绩相同，结论①正确。
2. 验证结论②：两班参赛人数都是45人，将成绩从小到大排序后，中位数为第23名的成绩。甲班中位数为109，说明甲班第23名的成绩是109次，低于优秀标准110次，因此甲班优秀人数最多为$45-23=22$人；乙班中位数为111，说明乙班第23名的成绩是111次，已经达到优秀标准，因此乙班优秀人数至少为23人，可得乙班优秀人数多于甲班，结论②正确。
3. 验证结论③：方差是反映数据波动大小的统计量，方差越大，成绩波动越大。甲班方差181大于乙班方差108，因此甲班成绩的波动比乙班大，结论③正确。
综上，三个结论均正确。
【答案】
①②③
【知识点】
平均数的意义；中位数的意义；方差的意义
【点评】
本题考查常见统计量的实际应用，解题关键是准确掌握平均数、中位数、方差分别代表的统计意义，结合题干信息逐一判断即可。
【难度系数】
0.8

10. 若一组数据$ x_1, x_2, \dots, x_n $的方差是$ s^2 $，则新的一组数据$ ax_1 + 1, ax_2 + 1, \dots, ax_n + 1 $（$ a $为常数，$ a ≠ 0 $）的方差是________。（用含有$ a, s^2 $的代数式表示）

10. $a^2s^2$

【分析】
解题时可结合方差的定义推导，也可利用方差的变化规律求解：首先明确方差是衡量数据波动程度的统计量，一组数据每个数同时加相同常数时，数据波动程度不变，方差不变；每个数同时乘非零常数a时，波动程度变为原来的a倍，方差变为原来的$a^2$倍，结合两个规律可直接得到结果，也可通过代入平均数、方差公式逐步推导验证。
【解析】
设原数据$x_1, x_2, \dots, x_n$的平均数为$\overline{x}$，根据方差定义可得：
$s^2 = \frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^2 + (x_2-\overline{x})^2 + \dots + (x_n-\overline{x})^2]$
先计算新数据的平均数$\overline{x}'$：
$\begin{aligned}\overline{x}' &= \frac{1}{n}[(ax_1+1)+(ax_2+1)+\dots+(ax_n+1)] \\&= \frac{1}{n}[a(x_1+x_2+\dots+x_n) + n] \\&= a·\frac{x_1+x_2+\dots+x_n}{n} + 1 \\&= a\overline{x} + 1\end{aligned}$
再代入方差公式计算新数据的方差$s'^2$：
$\begin{aligned}s'^2 &= \frac{1}{n}[(ax_1+1 - \overline{x}')^2 + (ax_2+1 - \overline{x}')^2 + \dots + (ax_n+1 - \overline{x}')^2] \\&= \frac{1}{n}[(ax_1+1 - (a\overline{x}+1))^2 + (ax_2+1 - (a\overline{x}+1))^2 + \dots + (ax_n+1 - (a\overline{x}+1))^2] \\&= \frac{1}{n}[(ax_1 - a\overline{x})^2 + (ax_2 - a\overline{x})^2 + \dots + (ax_n - a\overline{x})^2] \\&= \frac{1}{n}[a^2(x_1-\overline{x})^2 + a^2(x_2-\overline{x})^2 + \dots + a^2(x_n-\overline{x})^2] \\&= a^2 · \frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^2 + (x_2-\overline{x})^2 + \dots + (x_n-\overline{x})^2] \\&= a^2 s^2\end{aligned}$
【答案】
$a^2s^2$
【知识点】
1. 方差计算公式
2. 数据变换的方差规律
【点评】
本题考查方差的计算与性质，既可以通过公式逐步推导得到结果，也可以直接利用方差的变化规律快速解题，解题时注意不要混淆方差和平均数的变化规律，避免错写为$as^2$。
【难度系数】
0.7

11. (2024·青海)为了解学生物理实验操作情况,随机抽取小青和小海两名同学的10次实验得分,并对他们的得分情况从以下两方面整理描述如下:
① 操作规范性:

② 书写准确性:
小青:1 1 2 2 2 3 1 3 2 1
小海:1 2 2 3 3 3 2 1 2 1
操作规范性和书写准确性的得分统计表:

根据以上信息,回答下列问题:
(1)表格中的$a=$,比较$s_1^2$和$s_2^2$的大小;
(2)计算表格中$b$的值;
(3)综合上表的统计量,请你对两名同学的得分进行评价并说明理由;
(4)为了取得更好的成绩,你认为在实验过程中还应该注意哪些方面?

11. (1) 2,$s_1^2＞s_2^2$
(2) 小海的平均数$b=\frac{1+2+2+3+3+3+2+1+2+1}{10}=2$；
(3) 情况①从操作规范性来分析,小青和小海的平均得分相等,但是小海的方差小于小青的方差,所以小海在物理实验操作中发挥较稳定;或:情况②从书写准确性来分析,小海的平均得分比小青的平均得分高,所以小海在物理实验中书写更准确;或:情况③从两个方面综合分析,小海的操作更稳定,并且书写的准确性更高,所以小海的综合成绩更好.
(4) 情况①熟悉实验方案和操作流程. 或:情况②注意仔细观察实验现象和结果. 或:情况③平稳心态,沉稳应对. 备注:第(3)(4)题答案不唯一,言之有理即可,至少列出一条.

【分析】
（1）首先明确a为对应得分的统计量，结合数据特征可直接得出a的值；方差反映数据的波动程度，波动越大方差越大，对比两人操作规范性的得分波动即可判断方差大小关系。
（2）b是小海书写准确性得分的平均数，按照“平均数=所有数据总和÷数据个数”的公式代入计算即可。
（3）评价时结合“平均数反映平均水平、方差反映数据稳定性”的统计意义，可从操作规范性、书写准确性或综合两个维度分析，言之有理即可。
（4）属于开放性问题，结合物理实验操作的实际要求，写出合理的注意事项即可。
【解析】
（1）结合统计量的特征可得a=2；操作规范性得分中，小青的得分波动大于小海，因此方差$s_1^2＞s_2^2$。
（2）根据平均数计算公式：$\bar{x}=\frac{x_1+x_2+\dots+x_n}{n}$，小海书写准确性的得分总和为$1+2+2+3+3+3+2+1+2+1=20$，共10次得分，因此$b=\frac{20}{10}=2$。
（3）示例：综合两方面分析，操作规范性上，小青和小海平均得分相等，但小海的方差更小，说明小海操作规范性发挥更稳定；书写准确性上，小海的平均得分更高，说明小海书写准确度更好，因此小海的综合成绩更优。（言之有理即可）
（4）示例：实验前熟悉操作流程，实验中仔细观察、准确记录实验结果，实验后认真核对填写内容，避免书写失误。（言之有理即可）
【答案】
(1) $2$，$s_1^2＞s_2^2$
(2) $b=2$
(3) 示例：小海的综合成绩更好，理由：操作规范性两人平均得分相同，小海方差更小，发挥更稳定；书写准确性小海平均得分更高，书写更准确。（答案不唯一）
(4) 示例：熟悉实验操作流程，认真记录实验结果。（答案不唯一）
【知识点】
平均数计算、方差的意义、统计量的应用
【点评】
本题结合物理实验得分的实际场景，考查统计量的计算与实际应用，既要求学生掌握平均数、方差的基础计算方法，又要求学生能结合统计量的意义进行合理分析，贴近生活，能较好地考查学生对统计知识的应用能力。
【难度系数】
0.75