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1. (2024·黑龙江)一组数据2,3,3,4,则这组数据的方差为 (
A.1
B.0.8
C.0.6
D.0.5
D
)A.1
B.0.8
C.0.6
D.0.5
答案
1. D
解析
【分析】
要计算这组数据的方差，需按照方差的固定计算步骤思考：第一步先求出这组数据的平均数，第二步计算每个数据与平均数的差的平方，第三步求这些平方值的平均数，最终结果就是该组数据的方差。
【解析】
1. 计算这组数据的平均数$\overline{x}$：
$\overline{x}=\frac{2+3+3+4}{4}=3$
2. 代入方差公式$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\dots+(x_n-\overline{x})^2]$（其中$n$是数据个数）计算：
$s^2=\frac{1}{4}[(2-3)^2+(3-3)^2+(3-3)^2+(4-3)^2]$
$=\frac{1}{4}×(1+0+0+1)$
$=\frac{2}{4}=0.5$
因此本题选D选项。
【答案】
D
【知识点】
平均数的计算，方差的计算
【点评】
本题属于基础题型，考查方差的常规运算，只要熟练掌握方差的计算公式，按照步骤计算即可得分。
【难度系数】
0.8
要计算这组数据的方差，需按照方差的固定计算步骤思考：第一步先求出这组数据的平均数，第二步计算每个数据与平均数的差的平方，第三步求这些平方值的平均数，最终结果就是该组数据的方差。
【解析】
1. 计算这组数据的平均数$\overline{x}$：
$\overline{x}=\frac{2+3+3+4}{4}=3$
2. 代入方差公式$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\dots+(x_n-\overline{x})^2]$（其中$n$是数据个数）计算：
$s^2=\frac{1}{4}[(2-3)^2+(3-3)^2+(3-3)^2+(4-3)^2]$
$=\frac{1}{4}×(1+0+0+1)$
$=\frac{2}{4}=0.5$
因此本题选D选项。
【答案】
D
【知识点】
平均数的计算，方差的计算
【点评】
本题属于基础题型，考查方差的常规运算，只要熟练掌握方差的计算公式，按照步骤计算即可得分。
【难度系数】
0.8
2.（2024·烟台）射击运动队进行射击测试，甲、乙两名选手的测试成绩如图，其成绩的方差分别记为$s^2_甲$和$s^2_乙$，则$s^2_甲$和$s^2_乙$的大小关系是 （
A.$s^2_甲＞s^2_乙$
B.$s^2_甲＜s^2_乙$
C.$s^2_甲=s^2_乙$
D.无法确定
A
）A.$s^2_甲＞s^2_乙$
B.$s^2_甲＜s^2_乙$
C.$s^2_甲=s^2_乙$
D.无法确定
答案
2. A
解析
【分析】
要比较甲、乙两人成绩的方差大小，首先明确方差的含义：方差是衡量一组数据波动程度的统计量，数据波动越大，方差越大。解题时有两种思路：一是直接观察两人成绩的分布情况，判断哪组数据更分散、波动更大；二是分别读取两人的8次射击成绩，计算平均数后再计算方差，比较大小得到结论。
【解析】
方法一（观察法）：观察甲、乙的成绩分布图，甲的成绩分布更分散，高低差距更大，波动更明显；乙的成绩相对更集中，波动更小。根据“数据波动越大，方差越大”的性质，可得$s^2_甲＞s^2_乙$。
方法二（计算法）：
1. 读取甲的8次成绩：5环、10环、9环、5环、8环、7环、6环、6环
甲的平均成绩：$\overline{x}_甲=\frac{5+10+9+5+8+7+6+6}{8}=7$（环）
甲的方差：$s^2_甲=\frac{(5-7)^2+(10-7)^2+(9-7)^2+(5-7)^2+(8-7)^2+(7-7)^2+(6-7)^2+(6-7)^2}{8}=\frac{4+9+4+4+1+0+1+1}{8}=3$
2. 读取乙的8次成绩：8环、7环、9环、7环、7环、8环、8环、10环
乙的平均成绩：$\overline{x}_乙=\frac{8+7+9+7+7+8+8+10}{8}=8$（环）
乙的方差：$s^2_乙=\frac{(8-8)^2+(7-8)^2+(9-8)^2+(7-8)^2+(7-8)^2+(8-8)^2+(8-8)^2+(10-8)^2}{8}=\frac{0+1+1+1+1+0+0+4}{8}=1$
因为$3＞1$，所以$s^2_甲＞s^2_乙$。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
方差的意义,方差的计算,统计图信息读取
【点评】
本题考查方差的相关应用，既可以通过观察数据离散程度快速判断，也可以通过计算验证结果，解题核心是理解方差反映数据波动大小的性质，属于基础类题目。
【难度系数】
0.8
要比较甲、乙两人成绩的方差大小，首先明确方差的含义：方差是衡量一组数据波动程度的统计量，数据波动越大，方差越大。解题时有两种思路：一是直接观察两人成绩的分布情况，判断哪组数据更分散、波动更大；二是分别读取两人的8次射击成绩，计算平均数后再计算方差，比较大小得到结论。
【解析】
方法一（观察法）：观察甲、乙的成绩分布图，甲的成绩分布更分散，高低差距更大，波动更明显；乙的成绩相对更集中，波动更小。根据“数据波动越大，方差越大”的性质，可得$s^2_甲＞s^2_乙$。
方法二（计算法）：
1. 读取甲的8次成绩：5环、10环、9环、5环、8环、7环、6环、6环
甲的平均成绩：$\overline{x}_甲=\frac{5+10+9+5+8+7+6+6}{8}=7$（环）
甲的方差：$s^2_甲=\frac{(5-7)^2+(10-7)^2+(9-7)^2+(5-7)^2+(8-7)^2+(7-7)^2+(6-7)^2+(6-7)^2}{8}=\frac{4+9+4+4+1+0+1+1}{8}=3$
2. 读取乙的8次成绩：8环、7环、9环、7环、7环、8环、8环、10环
乙的平均成绩：$\overline{x}_乙=\frac{8+7+9+7+7+8+8+10}{8}=8$（环）
乙的方差：$s^2_乙=\frac{(8-8)^2+(7-8)^2+(9-8)^2+(7-8)^2+(7-8)^2+(8-8)^2+(8-8)^2+(10-8)^2}{8}=\frac{0+1+1+1+1+0+0+4}{8}=1$
因为$3＞1$，所以$s^2_甲＞s^2_乙$。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
方差的意义,方差的计算,统计图信息读取
【点评】
本题考查方差的相关应用，既可以通过观察数据离散程度快速判断，也可以通过计算验证结果，解题核心是理解方差反映数据波动大小的性质，属于基础类题目。
【难度系数】
0.8
3. 如图，老师绘制了一次数学小测验中甲、乙、丙三个班级学生得分的箱线图，根据该图判断下列说法错误的是（
A.三个班级中，甲班分数的方差最小
B.三个班级中，乙班的最高分与最低分相差最大
C.丙班得分低于80分的人数多于得分高于80分的学生人数
D.若每班有42名学生，则这三个班级的第11名中，丙班的分数最高
C
）A.三个班级中，甲班分数的方差最小
B.三个班级中，乙班的最高分与最低分相差最大
C.丙班得分低于80分的人数多于得分高于80分的学生人数
D.若每班有42名学生，则这三个班级的第11名中，丙班的分数最高
答案
3. C
解析
【分析】
解题时首先要明确箱线图各部分的含义：箱线图两端竖线的端点分别对应数据的最小值和最大值，箱体下沿是25%分位数（25%的数据小于等于该值），上沿是75%分位数（75%的数据小于等于该值），箱体中间横线是中位数（50%的数据小于等于该值）；数据越集中、波动越小，方差越小，极差为最大值与最小值的差。接下来结合上述含义逐一分析四个选项，找出错误表述即可。
【解析】
首先明确箱线图对应统计量的含义：
1. 两端竖线端点为该组数据的最小值、最大值，极差=最大值-最小值；
2. 箱体下沿为25%分位数，上沿为75%分位数，中间横线为中位数；
3. 数据越集中波动越小，方差越小。
逐一判断选项：
A. 观察箱线图可知甲班的数据范围最小、箱体最窄，数据最集中，因此甲班分数的方差最小，表述正确，不符合题意；
B. 计算极差：甲班极差约为31，乙班极差约为42，丙班极差约为38，因此乙班最高分与最低分相差最大，表述正确，不符合题意；
C. 丙班的中位数为80分，说明丙班至少有一半学生得分≥80分，因此得分低于80分的人数≤得分高于80分的人数，表述错误，符合题意；
D. 每班42名学生，从高到低排名第11名对应75%分位数的位置，观察箱体上沿（75%分位数），丙班的75%分位数最高，因此三个班级的第11名中丙班分数最高，表述正确，不符合题意。
【答案】
C
【知识点】
箱线图的应用，中位数，方差
【点评】
本题考查箱线图的分析，需要结合极差、方差、中位数、分位数的含义判断选项，掌握箱线图各部分对应的统计意义是解题的核心。
【难度系数】
0.7
解题时首先要明确箱线图各部分的含义：箱线图两端竖线的端点分别对应数据的最小值和最大值，箱体下沿是25%分位数（25%的数据小于等于该值），上沿是75%分位数（75%的数据小于等于该值），箱体中间横线是中位数（50%的数据小于等于该值）；数据越集中、波动越小，方差越小，极差为最大值与最小值的差。接下来结合上述含义逐一分析四个选项，找出错误表述即可。
【解析】
首先明确箱线图对应统计量的含义：
1. 两端竖线端点为该组数据的最小值、最大值，极差=最大值-最小值；
2. 箱体下沿为25%分位数，上沿为75%分位数，中间横线为中位数；
3. 数据越集中波动越小，方差越小。
逐一判断选项：
A. 观察箱线图可知甲班的数据范围最小、箱体最窄，数据最集中，因此甲班分数的方差最小，表述正确，不符合题意；
B. 计算极差：甲班极差约为31，乙班极差约为42，丙班极差约为38，因此乙班最高分与最低分相差最大，表述正确，不符合题意；
C. 丙班的中位数为80分，说明丙班至少有一半学生得分≥80分，因此得分低于80分的人数≤得分高于80分的人数，表述错误，符合题意；
D. 每班42名学生，从高到低排名第11名对应75%分位数的位置，观察箱体上沿（75%分位数），丙班的75%分位数最高，因此三个班级的第11名中丙班分数最高，表述正确，不符合题意。
【答案】
C
【知识点】
箱线图的应用，中位数，方差
【点评】
本题考查箱线图的分析，需要结合极差、方差、中位数、分位数的含义判断选项，掌握箱线图各部分对应的统计意义是解题的核心。
【难度系数】
0.7
4. (2025·烟台)求一组数据方差的算式为：$s^2=\frac{1}{n}×[(6-\overline{x})^2+(8-\overline{x})^2+(8-\overline{x})^2+(6-\overline{x})^2+(7-\overline{x})^2]$. 由算式提供的信息，下列说法错误的是（
A.$n$的值是5
B.该组数据的平均数是7
C.该组数据的众数是6
D.若该组数据加入两个数7,7,则这组新数据的方差变小
C
）A.$n$的值是5
B.该组数据的平均数是7
C.该组数据的众数是6
D.若该组数据加入两个数7,7,则这组新数据的方差变小
答案
4. C
解析
【分析】
解题时首先回忆方差的定义公式：$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\dots+(x_n-\overline{x})^2]$，其中$n$是数据总个数，$x_1,x_2\dots x_n$是原始数据，$\overline{x}$是平均数。我们先从给出的方差算式中提取原始数据、确定$n$，再依次计算平均数、众数，验证加入新数据后的方差变化，逐个判断选项正误即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
1. 判断A选项：方差算式中共有5个平方项，因此数据总个数$n=5$，A说法正确，不符合题意。
2. 判断B选项：从算式中提取原始数据为：6、8、8、6、7，计算平均数$\overline{x}=\frac{6+8+8+6+7}{5}=\frac{35}{5}=7$，B说法正确，不符合题意。
3. 判断C选项：众数是一组数据中出现次数最多的数，这组数据中6出现2次，8也出现2次，7出现1次，因此众数是6和8，不是只有6，C说法错误，符合题意。
4. 判断D选项：先算原方差：$s^2=\frac{1}{5}[(6-7)^2+(8-7)^2+(8-7)^2+(6-7)^2+(7-7)^2]=\frac{4}{5}=0.8$；加入两个7后，新数据共7个，平均数仍为7，新方差$s_新^2=\frac{1}{7}[2×(6-7)^2+2×(8-7)^2+3×(7-7)^2]=\frac{4}{7}\approx0.57＜0.8$，方差变小，D说法正确，不符合题意。
【答案】
C
【知识点】
方差的概念；平均数的计算；众数的概念
【点评】
本题围绕统计量的基础概念命题，解题关键是能从方差计算公式中准确还原原始数据，再结合各统计量的定义逐一验证，难度较低，侧重对基础概念的考查。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆方差的定义公式：$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\dots+(x_n-\overline{x})^2]$，其中$n$是数据总个数，$x_1,x_2\dots x_n$是原始数据，$\overline{x}$是平均数。我们先从给出的方差算式中提取原始数据、确定$n$，再依次计算平均数、众数，验证加入新数据后的方差变化，逐个判断选项正误即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
1. 判断A选项：方差算式中共有5个平方项，因此数据总个数$n=5$，A说法正确，不符合题意。
2. 判断B选项：从算式中提取原始数据为：6、8、8、6、7，计算平均数$\overline{x}=\frac{6+8+8+6+7}{5}=\frac{35}{5}=7$，B说法正确，不符合题意。
3. 判断C选项：众数是一组数据中出现次数最多的数，这组数据中6出现2次，8也出现2次，7出现1次，因此众数是6和8，不是只有6，C说法错误，符合题意。
4. 判断D选项：先算原方差：$s^2=\frac{1}{5}[(6-7)^2+(8-7)^2+(8-7)^2+(6-7)^2+(7-7)^2]=\frac{4}{5}=0.8$；加入两个7后，新数据共7个，平均数仍为7，新方差$s_新^2=\frac{1}{7}[2×(6-7)^2+2×(8-7)^2+3×(7-7)^2]=\frac{4}{7}\approx0.57＜0.8$，方差变小，D说法正确，不符合题意。
【答案】
C
【知识点】
方差的概念；平均数的计算；众数的概念
【点评】
本题围绕统计量的基础概念命题，解题关键是能从方差计算公式中准确还原原始数据，再结合各统计量的定义逐一验证，难度较低，侧重对基础概念的考查。
【难度系数】
0.7
5. (2025·兰州)射箭运动项目中,新手成绩通常不太稳定.甲和乙同时进行12次射箭练习后,成绩的统计数据如表,请根据表中信息估计新手是
甲
.(填“甲”或“乙")答案
5. 甲
解析
【分析】
要判断谁是新手，首先结合题目给出的“新手成绩通常不太稳定”的特点，明确需要用到反映数据波动程度的统计量方差：方差越大，数据波动越大，成绩越不稳定；同时平均成绩也能反映整体射击水平，新手的平均成绩通常也更低。接下来只需对比甲、乙两人的方差和平均成绩即可得出结论。
【解析】
方差是衡量一组数据波动大小的统计量，方差越大，数据的离散程度越大，成绩越不稳定；平均成绩反映一组数据的平均水平。
根据表格数据：
甲的方差$s^2_甲=6.91$，乙的方差$s^2_乙=0.72$，显然$6.91＞0.72$，说明甲的成绩波动远大于乙，更不稳定；
同时甲的平均成绩$\overline{x}_甲=6.58$环，低于乙的平均成绩$\overline{x}_乙=7.67$环，也符合新手成绩偏低的特点。
因此可以估计新手是甲。
【答案】
甲
【知识点】
方差的意义；平均数的意义
【点评】
本题考查统计量在实际场景中的应用，解题的核心是理解不同统计量代表的实际含义，结合题目的已知特征对应选择合适的统计量分析即可。
【难度系数】
0.9
要判断谁是新手，首先结合题目给出的“新手成绩通常不太稳定”的特点，明确需要用到反映数据波动程度的统计量方差：方差越大，数据波动越大，成绩越不稳定；同时平均成绩也能反映整体射击水平，新手的平均成绩通常也更低。接下来只需对比甲、乙两人的方差和平均成绩即可得出结论。
【解析】
方差是衡量一组数据波动大小的统计量，方差越大，数据的离散程度越大，成绩越不稳定；平均成绩反映一组数据的平均水平。
根据表格数据：
甲的方差$s^2_甲=6.91$，乙的方差$s^2_乙=0.72$，显然$6.91＞0.72$，说明甲的成绩波动远大于乙，更不稳定；
同时甲的平均成绩$\overline{x}_甲=6.58$环，低于乙的平均成绩$\overline{x}_乙=7.67$环，也符合新手成绩偏低的特点。
因此可以估计新手是甲。
【答案】
甲
【知识点】
方差的意义；平均数的意义
【点评】
本题考查统计量在实际场景中的应用，解题的核心是理解不同统计量代表的实际含义，结合题目的已知特征对应选择合适的统计量分析即可。
【难度系数】
0.9
6. 若一组数据2,3,4,5,x的方差与另一组数据5,6,7,8,9的方差相等,则x的值为 (
A.1
B.6
C.1或6
D.5或6
C
)A.1
B.6
C.1或6
D.5或6
答案
6. C
解析
【分析】
解题思路有两种：方法一，先计算出数据5,6,7,8,9的方差，再计算含x的第一组数据的方差，令两者相等列方程求解x；方法二，利用方差的性质：一组数据中的每个数据加上或减去同一个常数，方差不变。观察可知第二组是连续的5个整数，因此第一组也应为连续的5个整数，即可快速判断x的可能取值，两种方法都可得到结果，方法二更简便。
【解析】
方法1：先计算第二组数据的方差：
数据5,6,7,8,9的平均数为$\frac{5+6+7+8+9}{5}=7$，
方差为$\frac{(5-7)^2+(6-7)^2+(7-7)^2+(8-7)^2+(9-7)^2}{5}=\frac{4+1+0+1+4}{5}=2$。
设第一组数据2,3,4,5,x的平均数为$\bar{x_1}$，则$\bar{x_1}=\frac{2+3+4+5+x}{5}=\frac{14+x}{5}$，
由题意两组方差相等，可得：
$\frac{(2-\frac{14+x}{5})^2+(3-\frac{14+x}{5})^2+(4-\frac{14+x}{5})^2+(5-\frac{14+x}{5})^2+(x-\frac{14+x}{5})^2}{5}=2$
化简计算后解得$x=1$或$x=6$。
方法2：根据方差的性质：若将一组数据的每个数都加上同一个常数，方差不变。
数据5,6,7,8,9可看作是由数据1,2,3,4,5每个数加4得到，也可看作是由数据2,3,4,5,6每个数加3得到，因此这两组数据的方差都和5,6,7,8,9的方差相等，因此x的值为1或6。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
方差的计算；方差的性质；平均数的计算
【点评】
本题考查方差的相关应用，既可以通过列方程计算的方式求解，也可以利用方差的性质快速得出答案，解题时可灵活选择方法，提升解题速度。
【难度系数】
0.7
解题思路有两种：方法一，先计算出数据5,6,7,8,9的方差，再计算含x的第一组数据的方差，令两者相等列方程求解x；方法二，利用方差的性质：一组数据中的每个数据加上或减去同一个常数，方差不变。观察可知第二组是连续的5个整数，因此第一组也应为连续的5个整数，即可快速判断x的可能取值，两种方法都可得到结果，方法二更简便。
【解析】
方法1：先计算第二组数据的方差：
数据5,6,7,8,9的平均数为$\frac{5+6+7+8+9}{5}=7$，
方差为$\frac{(5-7)^2+(6-7)^2+(7-7)^2+(8-7)^2+(9-7)^2}{5}=\frac{4+1+0+1+4}{5}=2$。
设第一组数据2,3,4,5,x的平均数为$\bar{x_1}$，则$\bar{x_1}=\frac{2+3+4+5+x}{5}=\frac{14+x}{5}$，
由题意两组方差相等，可得：
$\frac{(2-\frac{14+x}{5})^2+(3-\frac{14+x}{5})^2+(4-\frac{14+x}{5})^2+(5-\frac{14+x}{5})^2+(x-\frac{14+x}{5})^2}{5}=2$
化简计算后解得$x=1$或$x=6$。
方法2：根据方差的性质：若将一组数据的每个数都加上同一个常数，方差不变。
数据5,6,7,8,9可看作是由数据1,2,3,4,5每个数加4得到，也可看作是由数据2,3,4,5,6每个数加3得到，因此这两组数据的方差都和5,6,7,8,9的方差相等，因此x的值为1或6。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
方差的计算；方差的性质；平均数的计算
【点评】
本题考查方差的相关应用，既可以通过列方程计算的方式求解，也可以利用方差的性质快速得出答案，解题时可灵活选择方法，提升解题速度。
【难度系数】
0.7
