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12. 某校舞蹈队共16名学生,测量并获取了所有学生的身高(单位:cm),数据整理如下:
a. 16名学生的身高:
161,162,162,164,165,165,165,166,166,167,168,168,170,172,172,175;
b. 16名学生的身高的平均数、中位数、众数:
(1) 写出表中$m,n$的值;
(2) 对于不同组的学生,如果一组学生的身高的方差越小,则认为该组舞台呈现效果越好,据此推断:在下列两组学生中,舞台呈现效果更好的是
(3) 该舞蹈队要选五名学生参加比赛,已确定三名学生参赛,他们的身高分别为168,168,172,他们的身高的方差为$\frac{32}{9}$. 在选另外两名学生时,首先要求所选的两名学生与已确定的三名学生所组成的五名学生的身高的方差小于$\frac{32}{9}$,其次要求所选的两名学生与已确定的三名学生所组成的五名学生的身高的平均数尽可能大,则选出的另外两名学生的身高分别为多少?
a. 16名学生的身高:
161,162,162,164,165,165,165,166,166,167,168,168,170,172,172,175;
b. 16名学生的身高的平均数、中位数、众数:
(1) 写出表中$m,n$的值;
(2) 对于不同组的学生,如果一组学生的身高的方差越小,则认为该组舞台呈现效果越好,据此推断:在下列两组学生中,舞台呈现效果更好的是
甲组
(填“甲组”或“乙组”);(3) 该舞蹈队要选五名学生参加比赛,已确定三名学生参赛,他们的身高分别为168,168,172,他们的身高的方差为$\frac{32}{9}$. 在选另外两名学生时,首先要求所选的两名学生与已确定的三名学生所组成的五名学生的身高的方差小于$\frac{32}{9}$,其次要求所选的两名学生与已确定的三名学生所组成的五名学生的身高的平均数尽可能大,则选出的另外两名学生的身高分别为多少?
答案
12. (1) 166 165
(2) 甲组
(3) $\because$ 168,168,172 的平均数为$\frac{1}{3}(168+168+172)=169\frac{1}{3}$(cm),且所选的两名学生与已确定的三名学生所组成的五名学生的身高的方差小于$\frac{32}{9}$,$\therefore$ 数据的差别较小,可供选择的有 170 cm,172 cm,平均数为:$\frac{1}{5}(168+168+170+172+172)=170$(cm),方差为:$\frac{1}{5}[(168-170)^2+(168-170)^2+(170-170)^2+(172-170)^2+(172-170)^2]=3.2＜\frac{32}{9}$,$\therefore$ 选出的另外两名学生的身高分别为 170 cm 和 172 cm.
(2) 甲组
(3) $\because$ 168,168,172 的平均数为$\frac{1}{3}(168+168+172)=169\frac{1}{3}$(cm),且所选的两名学生与已确定的三名学生所组成的五名学生的身高的方差小于$\frac{32}{9}$,$\therefore$ 数据的差别较小,可供选择的有 170 cm,172 cm,平均数为:$\frac{1}{5}(168+168+170+172+172)=170$(cm),方差为:$\frac{1}{5}[(168-170)^2+(168-170)^2+(170-170)^2+(172-170)^2+(172-170)^2]=3.2＜\frac{32}{9}$,$\therefore$ 选出的另外两名学生的身高分别为 170 cm 和 172 cm.
解析
【分析】
(1) 求中位数和众数：中位数是将排序后的数据取中间位置的数值，数据个数为偶数时取中间两个数的平均数；众数是一组数据中出现次数最多的数。结合给出的已排序的16个身高数据，即可求出m、n的值。
(2) 题目明确方差越小舞台呈现效果越好，直接比较两组方差大小，选择方差更小的组即可。
(3) 解题时先计算已确定3名学生的身高平均数，要同时满足两个要求：①五人方差小于$\frac{32}{9}$，即新增数据与原有数据的波动要小；②五人平均数尽可能大，所以优先从较高的身高中选取，代入验证方差是否符合要求，最终确定符合条件的两个身高。
【解析】
(1) 16个身高数据已经从小到大排序，第8个和第9个数据分别为166、166，因此中位数$m=\frac{166+166}{2}=166$；
统计各身高出现的次数，165出现了3次，出现次数最多，因此众数$n=165$。
(2) 根据题意，方差越小舞台呈现效果越好，甲组方差小于乙组，因此舞台呈现效果更好的是甲组。
(3) 首先计算已确定的3名学生的身高平均数：
$\overline{x}=\frac{1}{3}×(168+168+172)=169\frac{1}{3}\ \mathrm{cm}$
要满足五人方差小于$\frac{32}{9}$，需新增的两个身高与原有数据偏差较小，同时要让五人平均数尽可能大，优先选择较高的身高验证：
选取170cm和172cm时，五人身高的平均数为：
$\overline{x}_五=\frac{1}{5}×(168+168+170+172+172)=170\ \mathrm{cm}$
此时方差为：
$s^2=\frac{1}{5}×[(168-170)^2+(168-170)^2+(170-170)^2+(172-170)^2+(172-170)^2]=3.2$
因为$3.2＜\frac{32}{9}$，满足方差要求，且此时五人平均数最大，符合条件。
【答案】
(1) $m=166$，$n=165$；(2) 甲组；(3) 170 cm和172 cm
【知识点】
中位数与众数，方差的应用，平均数的计算
【点评】
本题结合实际应用场景考查统计量的相关知识，既需要学生掌握中位数、众数、平均数、方差的计算方法，也需要学生理解各统计量的实际意义，能结合题目要求筛选符合条件的数据，兼顾了基础计算和应用能力的考查。
【难度系数】
0.65
(1) 求中位数和众数：中位数是将排序后的数据取中间位置的数值，数据个数为偶数时取中间两个数的平均数；众数是一组数据中出现次数最多的数。结合给出的已排序的16个身高数据，即可求出m、n的值。
(2) 题目明确方差越小舞台呈现效果越好，直接比较两组方差大小，选择方差更小的组即可。
(3) 解题时先计算已确定3名学生的身高平均数，要同时满足两个要求：①五人方差小于$\frac{32}{9}$，即新增数据与原有数据的波动要小；②五人平均数尽可能大，所以优先从较高的身高中选取，代入验证方差是否符合要求，最终确定符合条件的两个身高。
【解析】
(1) 16个身高数据已经从小到大排序，第8个和第9个数据分别为166、166，因此中位数$m=\frac{166+166}{2}=166$；
统计各身高出现的次数，165出现了3次，出现次数最多，因此众数$n=165$。
(2) 根据题意，方差越小舞台呈现效果越好，甲组方差小于乙组，因此舞台呈现效果更好的是甲组。
(3) 首先计算已确定的3名学生的身高平均数：
$\overline{x}=\frac{1}{3}×(168+168+172)=169\frac{1}{3}\ \mathrm{cm}$
要满足五人方差小于$\frac{32}{9}$，需新增的两个身高与原有数据偏差较小，同时要让五人平均数尽可能大，优先选择较高的身高验证：
选取170cm和172cm时，五人身高的平均数为：
$\overline{x}_五=\frac{1}{5}×(168+168+170+172+172)=170\ \mathrm{cm}$
此时方差为：
$s^2=\frac{1}{5}×[(168-170)^2+(168-170)^2+(170-170)^2+(172-170)^2+(172-170)^2]=3.2$
因为$3.2＜\frac{32}{9}$，满足方差要求，且此时五人平均数最大，符合条件。
【答案】
(1) $m=166$，$n=165$；(2) 甲组；(3) 170 cm和172 cm
【知识点】
中位数与众数，方差的应用，平均数的计算
【点评】
本题结合实际应用场景考查统计量的相关知识，既需要学生掌握中位数、众数、平均数、方差的计算方法，也需要学生理解各统计量的实际意义，能结合题目要求筛选符合条件的数据，兼顾了基础计算和应用能力的考查。
【难度系数】
0.65
