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23. (10分)某地旅游部门为了促进本地生态特色城镇和新农村建设，将甲、乙、丙三家民宿的相关资料放到某网络平台上进行推广宣传.该平台邀请部分曾在这三家民宿体验过的游客参与调查，得到了这三家民宿的“综合满意度”评分，评分越高表明游客体验越好，现从这三家民宿“综合满意度”的评分中各随机抽取10个评分数据，并对所得数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息.
a. 甲、乙两家民宿“综合满意度”评分的折线图：
b. 丙家民宿“综合满意度”评分：
2.6,4.7,4.5,5.0,4.5,4.8,4.5,3.8,4.5,3.1
c. 甲、乙、丙三家民宿“综合满意度”评分的平均数、中位数：
根据以上信息，回答下列问题：
(1) 表中m的值是
(2) 设甲、乙、丙三家民宿“综合满意度”评分的方差分别是$s^2_甲$，$s^2_乙$，$s^2_丙$，直接写出$s^2_甲$，$s^2_乙$，$s^2_丙$之间的大小关系；
(3) 根据“综合满意度”的评分情况，该平台打算将甲、乙、丙三家民宿中的一家置顶推荐，你认为该平台会将这三家民宿中的哪家置顶推荐？说明理由(至少从两个方面说明).
a. 甲、乙两家民宿“综合满意度”评分的折线图：
b. 丙家民宿“综合满意度”评分：
2.6,4.7,4.5,5.0,4.5,4.8,4.5,3.8,4.5,3.1
c. 甲、乙、丙三家民宿“综合满意度”评分的平均数、中位数：
根据以上信息，回答下列问题：
(1) 表中m的值是
4.5
，n的值是4.5
；(2) 设甲、乙、丙三家民宿“综合满意度”评分的方差分别是$s^2_甲$，$s^2_乙$，$s^2_丙$，直接写出$s^2_甲$，$s^2_乙$，$s^2_丙$之间的大小关系；
(3) 根据“综合满意度”的评分情况，该平台打算将甲、乙、丙三家民宿中的一家置顶推荐，你认为该平台会将这三家民宿中的哪家置顶推荐？说明理由(至少从两个方面说明).
答案
(1) 4.5 4.5
(2) 根据折线统计图可知,乙的评分数据在4分与5分之间波动,甲的数据在3.2分和5分之间波动,根据丙的数据可以在2.6至5分之间波动,$∴ s_乙^2＜s_甲^2＜s_丙^2$；
(3) 推荐乙,理由:乙的方差最小,数据稳定,平均分比丙高,答案不唯一,合理即可.
(2) 根据折线统计图可知,乙的评分数据在4分与5分之间波动,甲的数据在3.2分和5分之间波动,根据丙的数据可以在2.6至5分之间波动,$∴ s_乙^2＜s_甲^2＜s_丙^2$；
(3) 推荐乙,理由:乙的方差最小,数据稳定,平均分比丙高,答案不唯一,合理即可.
解析
【分析】
(1) 求解m、n时，先明确m为丙家民宿评分的中位数，中位数的计算需先把数据按从小到大顺序排列，数据个数为偶数时取中间两个数的平均数，据此算出m的值；再结合乙家评分的折线图，对乙的10个评分排序后取中间两个数的平均数，即可得到n的值。
(2) 方差的意义是衡量数据的波动大小，数据波动越大，方差越大，分别判断三家评分的波动程度，就能比较出三方差的大小关系。
(3) 选择置顶推荐的民宿，可结合平均数、中位数、方差等统计量的实际意义，从综合满意度的高低、评分的稳定性等角度分析，理由合理即可。
【解析】
(1) 先将丙家民宿的10个评分从小到大排列：2.6，3.1，3.8，4.5，4.5，4.5，4.5，4.7，4.8，5.0。共10个数据，中位数为第5个和第6个数据的平均数，即$m=\frac{4.5+4.5}{2}=4.5$。
结合乙家评分的折线图，将乙的10个评分排序后，第5、6个数据的平均数为4.5，故$n=4.5$。
(2) 方差反映数据的波动程度，波动越小方差越小：观察数据可知，乙的评分在4分到5分之间波动，波动最小；甲的评分在3.2分到5分之间波动，波动大于乙；丙的评分在2.6分到5分之间波动，波动最大。因此方差大小关系为$s^2_乙 ＜ s^2_甲 ＜ s^2_丙$。
(3) 选择乙民宿置顶推荐，理由可从统计量特征说明：乙的方差最小，说明综合满意度评分最稳定；乙的平均综合满意度高于丙，整体表现更优。
【答案】
(1) $4.5$，$4.5$
(2) $s^2_乙 ＜ s^2_甲 ＜ s^2_丙$
(3) 推荐乙，理由：乙的方差最小，数据稳定，平均分比丙高（合理即可）
【知识点】
中位数的计算，方差的意义，统计量的应用
【点评】
本题结合民宿推广的实际场景，考查了统计中常见统计量的计算与应用，要求学生掌握中位数、方差的基本概念，能结合数据特征解决实际问题，贴近生活，实用性强。
【难度系数】
0.7
(1) 求解m、n时，先明确m为丙家民宿评分的中位数，中位数的计算需先把数据按从小到大顺序排列，数据个数为偶数时取中间两个数的平均数，据此算出m的值；再结合乙家评分的折线图，对乙的10个评分排序后取中间两个数的平均数，即可得到n的值。
(2) 方差的意义是衡量数据的波动大小，数据波动越大，方差越大，分别判断三家评分的波动程度，就能比较出三方差的大小关系。
(3) 选择置顶推荐的民宿，可结合平均数、中位数、方差等统计量的实际意义，从综合满意度的高低、评分的稳定性等角度分析，理由合理即可。
【解析】
(1) 先将丙家民宿的10个评分从小到大排列：2.6，3.1，3.8，4.5，4.5，4.5，4.5，4.7，4.8，5.0。共10个数据，中位数为第5个和第6个数据的平均数，即$m=\frac{4.5+4.5}{2}=4.5$。
结合乙家评分的折线图，将乙的10个评分排序后，第5、6个数据的平均数为4.5，故$n=4.5$。
(2) 方差反映数据的波动程度，波动越小方差越小：观察数据可知，乙的评分在4分到5分之间波动，波动最小；甲的评分在3.2分到5分之间波动，波动大于乙；丙的评分在2.6分到5分之间波动，波动最大。因此方差大小关系为$s^2_乙 ＜ s^2_甲 ＜ s^2_丙$。
(3) 选择乙民宿置顶推荐，理由可从统计量特征说明：乙的方差最小，说明综合满意度评分最稳定；乙的平均综合满意度高于丙，整体表现更优。
【答案】
(1) $4.5$，$4.5$
(2) $s^2_乙 ＜ s^2_甲 ＜ s^2_丙$
(3) 推荐乙，理由：乙的方差最小，数据稳定，平均分比丙高（合理即可）
【知识点】
中位数的计算，方差的意义，统计量的应用
【点评】
本题结合民宿推广的实际场景，考查了统计中常见统计量的计算与应用，要求学生掌握中位数、方差的基本概念，能结合数据特征解决实际问题，贴近生活，实用性强。
【难度系数】
0.7
24. (10分)如图,在$△ ABC$中,O是AC上(异于点A,C)的一点,$\odot O$恰好经过点A,B,$AD⊥ CB$于点D,且AB平分$∠ CAD$.
(1) 判断BC与$\odot O$的位置关系,并说明理由.
(2) 若$AC=10,DC=8$,求$\odot O$的半径长.
(1) 判断BC与$\odot O$的位置关系,并说明理由.
(2) 若$AC=10,DC=8$,求$\odot O$的半径长.
答案
(1) BC与$\odot O$相切,理由如下:如图
,连接OB,$∵ OA=OB,∴ ∠OAB=∠OBA.$$∵ AB$平分$∠CAD,∴ ∠DAB=∠CAB,∴ ∠DAB=∠OBA,∴ AD// OB.∵ AD⊥ CB,∴ OB⊥ CB.∵ OB$是$\odot O$的半径,$∴ BC$与$\odot O$相切；
(2) $\odot O$的半径长为$\frac{15}{4}.$
解析
【分析】
(1)要判断BC与$\odot O$的位置关系，根据切线的判定定理，只需证明BC垂直于$\odot O$过点B的半径，因此先作辅助线连接OB。结合已知OA=OB可得$∠ OAB=∠ OBA$，再由AB平分$∠ CAD$推出$∠ DAB=∠ OBA$，进而得到OB$//$AD，结合AD⊥CB即可推出OB⊥BC，证得BC是$\odot O$的切线。
(2)求半径长，先在$Rt△ ADC$中用勾股定理求出AD的长度，再由OB$//$AD可得$△ COB ∽ △ CAD$，利用相似三角形对应边成比例列方程即可求解半径。
【解析】
(1) BC与$\odot O$相切，理由如下：
如图，连接OB，
$\because OA=OB,\therefore ∠ OAB=∠ OBA.$
$\because AB$平分$∠ CAD,\therefore ∠ DAB=∠ CAB$，
$\therefore ∠ DAB=∠ OBA,\therefore AD// OB.$
$\because AD⊥ CB,\therefore OB⊥ CB.$
$\because OB$是$\odot O$的半径，$\therefore BC$与$\odot O$相切.
(2) 在$Rt△ ADC$中，$AC=10,DC=8$，由勾股定理得：
$AD=\sqrt{AC^2-DC^2}=\sqrt{10^2-8^2}=6$.
设$\odot O$的半径为$r$，则$OA=OB=r$，$OC=AC-OA=10-r$.
$\because OB// AD,\therefore △ COB ∽ △ CAD$，
$\therefore \frac{OB}{AD}=\frac{OC}{AC}$，即$\frac{r}{6}=\frac{10-r}{10}$，
解得$10r=6(10-r)$，$16r=60$，$r=\frac{15}{4}$.
【答案】
(1) BC与$\odot O$相切，理由见解析；
(2) $\odot O$的半径长为$\frac{15}{4}$.
【知识点】
切线的判定，相似三角形的性质，勾股定理
【点评】
本题是圆的基础综合题，第一问的核心是掌握切线判定的常规辅助线作法：连半径，证垂直；第二问结合勾股定理和相似三角形求解线段长度，是圆类题型的常见考法，熟练掌握相关性质和模型即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
(1)要判断BC与$\odot O$的位置关系，根据切线的判定定理，只需证明BC垂直于$\odot O$过点B的半径，因此先作辅助线连接OB。结合已知OA=OB可得$∠ OAB=∠ OBA$，再由AB平分$∠ CAD$推出$∠ DAB=∠ OBA$，进而得到OB$//$AD，结合AD⊥CB即可推出OB⊥BC，证得BC是$\odot O$的切线。
(2)求半径长，先在$Rt△ ADC$中用勾股定理求出AD的长度，再由OB$//$AD可得$△ COB ∽ △ CAD$，利用相似三角形对应边成比例列方程即可求解半径。
【解析】
(1) BC与$\odot O$相切，理由如下：
如图
，连接OB，$\because OA=OB,\therefore ∠ OAB=∠ OBA.$
$\because AB$平分$∠ CAD,\therefore ∠ DAB=∠ CAB$，
$\therefore ∠ DAB=∠ OBA,\therefore AD// OB.$
$\because AD⊥ CB,\therefore OB⊥ CB.$
$\because OB$是$\odot O$的半径，$\therefore BC$与$\odot O$相切.
(2) 在$Rt△ ADC$中，$AC=10,DC=8$，由勾股定理得：
$AD=\sqrt{AC^2-DC^2}=\sqrt{10^2-8^2}=6$.
设$\odot O$的半径为$r$，则$OA=OB=r$，$OC=AC-OA=10-r$.
$\because OB// AD,\therefore △ COB ∽ △ CAD$，
$\therefore \frac{OB}{AD}=\frac{OC}{AC}$，即$\frac{r}{6}=\frac{10-r}{10}$，
解得$10r=6(10-r)$，$16r=60$，$r=\frac{15}{4}$.
【答案】
(1) BC与$\odot O$相切，理由见解析；
(2) $\odot O$的半径长为$\frac{15}{4}$.
【知识点】
切线的判定，相似三角形的性质，勾股定理
【点评】
本题是圆的基础综合题，第一问的核心是掌握切线判定的常规辅助线作法：连半径，证垂直；第二问结合勾股定理和相似三角形求解线段长度，是圆类题型的常见考法，熟练掌握相关性质和模型即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
