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25. (10分)如图,一个边长为8 m的正方形花坛由4块全等的小正方形组成.在小正方形ABCD中,点G,E,F分别在CD,AD,AB上,且$DG=1$ m,$AE=AF=x$,在$△ AEF$,$△ DEG$,五边形EFBCG三个区域上种植不同的花卉,每平方米的种植成本分别是20元、20元、10元.
(1)当$x=2$时,小正方形ABCD种植花卉所需的费用;
(2)试用含有$x$的代数式表示五边形EFBCG的面积;
(3)当$x$为何值时,大正方形花坛种植花卉所需的总费用是715元?
(1)当$x=2$时,小正方形ABCD种植花卉所需的费用;
(2)试用含有$x$的代数式表示五边形EFBCG的面积;
(3)当$x$为何值时,大正方形花坛种植花卉所需的总费用是715元?
答案
(1) 若$x=2$,则$DE=2,∴ S_{△AEF}=\frac{1}{2}AE×AF=2,S_{△DEG}=\frac{1}{2}DG×DE=\frac{1}{2}×1×2=1,∴ S_{五边形EFBCG}=S_{正方形ABCD}-S_{△AEF}-S_{△DEG}=16-2-1=13.∴$ 所需费用为:$20×2+20×1+10×13=190$(元)；
(2) 设$AE=AF=x$米,则$DF=(4-x)$米.$∴ S_{△AEF}=\frac{1}{2}AE×AF=\frac{1}{2}x^2,S_{△DEG}=\frac{1}{2}DG×DE=\frac{1}{2}×1×(4-x)=2-\frac{1}{2}x,∴ S_{五边形EFBCG}=S_{正方形ABCD}-S_{△AEF}-S_{△DEG}=16-\frac{1}{2}x^2-2+\frac{1}{2}x=-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{2}x+14.$
(3) 根据题意得$4×[20×\frac{1}{2}x^2+20×(2-\frac{1}{2}x)+10×(-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{2}x+14)]=715,$整理得$4x^2-4x+1=0,$解得$x_1=x_2=\frac{1}{2}.$答:当$AE=AF=\frac{1}{2}$米时,正方形花坛种植花卉所需的总费用是715元.
(2) 设$AE=AF=x$米,则$DF=(4-x)$米.$∴ S_{△AEF}=\frac{1}{2}AE×AF=\frac{1}{2}x^2,S_{△DEG}=\frac{1}{2}DG×DE=\frac{1}{2}×1×(4-x)=2-\frac{1}{2}x,∴ S_{五边形EFBCG}=S_{正方形ABCD}-S_{△AEF}-S_{△DEG}=16-\frac{1}{2}x^2-2+\frac{1}{2}x=-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{2}x+14.$
(3) 根据题意得$4×[20×\frac{1}{2}x^2+20×(2-\frac{1}{2}x)+10×(-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{2}x+14)]=715,$整理得$4x^2-4x+1=0,$解得$x_1=x_2=\frac{1}{2}.$答:当$AE=AF=\frac{1}{2}$米时,正方形花坛种植花卉所需的总费用是715元.
解析
【分析】
（1）首先明确大正方形边长为8m，因此每个小正方形边长为4m，面积为16m²。当x=2时，先分别计算△AEF和△DEG的面积，再用小正方形面积减去两个三角形的面积得到五边形EFBCG的面积，最后结合各区域的单价求和即可得到小正方形的种植总费用。
（2）将AE=AF=x作为变量，先表示出DE的长度为(4-x)m，再分别用含x的代数式表示△AEF和△DEG的面积，用小正方形面积减去两个三角形的面积，整理后即可得到五边形EFBCG的面积表达式。
（3）大正方形由4块全等的小正方形组成，因此总费用为1个小正方形种植费用的4倍。先列出1个小正方形种植费用的代数式，乘4后等于总费用715元，得到一元二次方程，求解方程并验证解的合理性即可。
【解析】
解：(1) 由题意得小正方形ABCD的边长为$8÷2=4\ \mathrm{m}$，面积为$4×4=16\ \mathrm{m}^2$。
当$x=2$时，$AE=AF=2\ \mathrm{m}$，$DE=4-2=2\ \mathrm{m}$，
$S_{△ AEF}=\frac{1}{2}× AE× AF=\frac{1}{2}×2×2=2\ \mathrm{m}^2$，
$S_{△ DEG}=\frac{1}{2}× DG× DE=\frac{1}{2}×1×2=1\ \mathrm{m}^2$，
$S_{五边形EFBCG}=16-2-1=13\ \mathrm{m}^2$，
总费用为：$20×2 + 20×1 + 10×13 = 40+20+130=190$（元）。
(2) 若$AE=AF=x\ \mathrm{m}$，则$DE=(4-x)\ \mathrm{m}$，
$S_{△ AEF}=\frac{1}{2}× AE× AF=\frac{1}{2}x^2\ \mathrm{m}^2$，
$S_{△ DEG}=\frac{1}{2}× DG× DE=\frac{1}{2}×1×(4-x)=2-\frac{1}{2}x\ \mathrm{m}^2$，
∴ $S_{五边形EFBCG}=S_{正方形ABCD}-S_{△ AEF}-S_{△ DEG}$
$=16-\frac{1}{2}x^2-(2-\frac{1}{2}x)$
$=-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{2}x+14$（$\mathrm{m}^2$）。
(3) 大正方形由4个全等的小正方形组成，根据题意列方程：
$4×[20×\frac{1}{2}x^2 + 20×(2-\frac{1}{2}x) + 10×(-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{2}x+14)]=715$，
整理得$4x^2-4x+1=0$，
因式分解得$(2x-1)^2=0$，解得$x_1=x_2=\frac{1}{2}$，符合实际取值范围。
【答案】
(1) 190元；
(2) $S_{五边形EFBCG}=-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{2}x+14$；
(3) $x=\frac{1}{2}$
【知识点】
列代数式，一元二次方程的应用，图形面积计算
【点评】
本题结合花卉种植的实际场景，将图形面积计算、代数式表示和方程求解相结合，解题的关键是理清各区域的面积关系，注意大正方形由4个全等小正方形组成的隐含条件，整体难度适中，考查了学生的综合应用能力。
【难度系数】
0.65
（1）首先明确大正方形边长为8m，因此每个小正方形边长为4m，面积为16m²。当x=2时，先分别计算△AEF和△DEG的面积，再用小正方形面积减去两个三角形的面积得到五边形EFBCG的面积，最后结合各区域的单价求和即可得到小正方形的种植总费用。
（2）将AE=AF=x作为变量，先表示出DE的长度为(4-x)m，再分别用含x的代数式表示△AEF和△DEG的面积，用小正方形面积减去两个三角形的面积，整理后即可得到五边形EFBCG的面积表达式。
（3）大正方形由4块全等的小正方形组成，因此总费用为1个小正方形种植费用的4倍。先列出1个小正方形种植费用的代数式，乘4后等于总费用715元，得到一元二次方程，求解方程并验证解的合理性即可。
【解析】
解：(1) 由题意得小正方形ABCD的边长为$8÷2=4\ \mathrm{m}$，面积为$4×4=16\ \mathrm{m}^2$。
当$x=2$时，$AE=AF=2\ \mathrm{m}$，$DE=4-2=2\ \mathrm{m}$，
$S_{△ AEF}=\frac{1}{2}× AE× AF=\frac{1}{2}×2×2=2\ \mathrm{m}^2$，
$S_{△ DEG}=\frac{1}{2}× DG× DE=\frac{1}{2}×1×2=1\ \mathrm{m}^2$，
$S_{五边形EFBCG}=16-2-1=13\ \mathrm{m}^2$，
总费用为：$20×2 + 20×1 + 10×13 = 40+20+130=190$（元）。
(2) 若$AE=AF=x\ \mathrm{m}$，则$DE=(4-x)\ \mathrm{m}$，
$S_{△ AEF}=\frac{1}{2}× AE× AF=\frac{1}{2}x^2\ \mathrm{m}^2$，
$S_{△ DEG}=\frac{1}{2}× DG× DE=\frac{1}{2}×1×(4-x)=2-\frac{1}{2}x\ \mathrm{m}^2$，
∴ $S_{五边形EFBCG}=S_{正方形ABCD}-S_{△ AEF}-S_{△ DEG}$
$=16-\frac{1}{2}x^2-(2-\frac{1}{2}x)$
$=-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{2}x+14$（$\mathrm{m}^2$）。
(3) 大正方形由4个全等的小正方形组成，根据题意列方程：
$4×[20×\frac{1}{2}x^2 + 20×(2-\frac{1}{2}x) + 10×(-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{2}x+14)]=715$，
整理得$4x^2-4x+1=0$，
因式分解得$(2x-1)^2=0$，解得$x_1=x_2=\frac{1}{2}$，符合实际取值范围。
【答案】
(1) 190元；
(2) $S_{五边形EFBCG}=-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{2}x+14$；
(3) $x=\frac{1}{2}$
【知识点】
列代数式，一元二次方程的应用，图形面积计算
【点评】
本题结合花卉种植的实际场景，将图形面积计算、代数式表示和方程求解相结合，解题的关键是理清各区域的面积关系，注意大正方形由4个全等小正方形组成的隐含条件，整体难度适中，考查了学生的综合应用能力。
【难度系数】
0.65
26. (12分)教室里的饮水机接通电源就进入自动程序，开机加热时每分钟上升10 ℃，加热到100 ℃停止加热，水温开始下降，此时水温与y(℃)开机后用时x(min)成反比例关系，直至水温降至30 ℃，饮水机关机，饮水机关机后即刻自动开机，重复上述自动程序。若在水温为30 ℃时接通电源，水温(℃)与时间x(min)的关系如图所示。
(1) 分别写出水温上升和下降阶段y与x之间的函数关系式；
(2) 怡萱同学想喝高于50 ℃的水，请问她最多需要等待多长时间？
(1) 分别写出水温上升和下降阶段y与x之间的函数关系式；
(2) 怡萱同学想喝高于50 ℃的水，请问她最多需要等待多长时间？
答案
(1) 观察图象,可知:当$x=7$时,水温$y=100$,当$0≤x≤7$时,设$y$关于$x$的函数关系式为:$y=kx+b,\begin{cases}b=30,\\7k+b=100,\end{cases}$得$\begin{cases}k=10,\\b=30,\end{cases}$即$0≤x≤7$当时,$y$关于$x$的函数关系式为$y=10x+30,$当$x＞7$时,设$y=\frac{a}{x},100=\frac{a}{7},$得$a=700,$即当$x＞7$时,$y=\frac{700}{x}$,当$y=30$时,$x=\frac{70}{3}$,
$∴ y$与$x$的函数关系式为:$y=\begin{cases}10x+30(0≤x≤7),\\\frac{700}{x}(7＜x≤\frac{70}{3}),\end{cases}$ $y$与$x$的函数关系式每$\frac{70}{3}$ min重复出现一次；
(2) 将$y=50$代入$y=10x+30,$得$x=2,$将$y=50$代入$y=\frac{700}{x},$得$x=14,∵ 14-2=12,\frac{70}{3}-12=\frac{34}{3},∴$ 怡萱同学想喝高于50 ℃的水,她最多需要等待$\frac{34}{3}$ min.
$∴ y$与$x$的函数关系式为:$y=\begin{cases}10x+30(0≤x≤7),\\\frac{700}{x}(7＜x≤\frac{70}{3}),\end{cases}$ $y$与$x$的函数关系式每$\frac{70}{3}$ min重复出现一次；
(2) 将$y=50$代入$y=10x+30,$得$x=2,$将$y=50$代入$y=\frac{700}{x},$得$x=14,∵ 14-2=12,\frac{70}{3}-12=\frac{34}{3},∴$ 怡萱同学想喝高于50 ℃的水,她最多需要等待$\frac{34}{3}$ min.
解析
【分析】
本题是分段函数的实际应用问题，解题思路如下：
1. 求解上升和下降阶段的函数关系式：首先观察图象，水温上升阶段（$0≤ x≤7$）为一次函数，已知初始点$(0,30)$和加热至$100℃$的点$(7,100)$，代入一次函数一般式即可求解；水温下降阶段（$x＞7$）为反比例函数，已知过点$(7,100)$，代入反比例函数式求出系数，再求出水温降至$30℃$对应的$x$值，确定反比例函数的定义域，同时明确函数每$\frac{70}{3}$min重复一次周期。
2. 求解最长等待时间：要喝高于$50℃$的水，先将$y=50$分别代入两个阶段的函数解析式，求出对应的两个$x$值，得到一个周期内水温高于$50℃$的时长，用一个周期的总时长减去该时长，就是最多需要等待的时间。
【解析】
(1) 分阶段求函数关系式：
① 当$0≤ x≤7$时，水温处于上升阶段，设函数关系式为$y=kx+b$，
由图象可知：$x=0$时$y=30$，$x=7$时$y=100$，代入得：
$\begin{cases}b=30\\7k+b=100\end{cases}$，解得$\begin{cases}k=10\\b=30\end{cases}$，
即该阶段函数关系式为$y=10x+30$；
② 当$x＞7$时，水温处于下降阶段，设反比例函数关系式为$y=\frac{a}{x}$，
将点$(7,100)$代入得$100=\frac{a}{7}$，解得$a=700$，
即该阶段函数关系式为$y=\frac{700}{x}$；
当水温降到$30℃$时，代入$y=\frac{700}{x}$得$30=\frac{700}{x}$，解得$x=\frac{70}{3}$，即该阶段定义域为$7＜x≤\frac{70}{3}$。
综上，$y$与$x$的函数关系式为：
$y=\begin{cases}10x+30&(0≤ x≤7)\\\frac{700}{x}&(7＜x≤\frac{70}{3})\end{cases}$，且函数每$\frac{70}{3}$min重复出现一次。
(2) 求最多等待时间：
将$y=50$代入上升阶段函数$y=10x+30$，得$50=10x+30$，解得$x=2$；
将$y=50$代入下降阶段函数$y=\frac{700}{x}$，得$50=\frac{700}{x}$，解得$x=14$；
则一个周期内水温高于$50℃$的时长为$14-2=12$min，
一个周期总时长为$\frac{70}{3}$min，因此最多等待时间为$\frac{70}{3}-12=\frac{34}{3}$min。
【答案】
(1) $y=\begin{cases}10x+30&(0≤ x≤7)\\\frac{700}{x}&(7＜x≤\frac{70}{3})\end{cases}$（函数每$\frac{70}{3}$min重复一次）；
(2) $\frac{34}{3}$min
【知识点】
一次函数的应用，反比例函数的应用，分段函数
【点评】
本题结合生活中饮水机水温变化的场景，考查了分段函数的解析式求解及实际应用，需要学生准确识别不同阶段的函数类型，结合图象确定已知点坐标代入求解，同时要注意函数的周期性特点，有效考查了学生的读图分析能力和知识应用能力。
【难度系数】
0.7
本题是分段函数的实际应用问题，解题思路如下：
1. 求解上升和下降阶段的函数关系式：首先观察图象，水温上升阶段（$0≤ x≤7$）为一次函数，已知初始点$(0,30)$和加热至$100℃$的点$(7,100)$，代入一次函数一般式即可求解；水温下降阶段（$x＞7$）为反比例函数，已知过点$(7,100)$，代入反比例函数式求出系数，再求出水温降至$30℃$对应的$x$值，确定反比例函数的定义域，同时明确函数每$\frac{70}{3}$min重复一次周期。
2. 求解最长等待时间：要喝高于$50℃$的水，先将$y=50$分别代入两个阶段的函数解析式，求出对应的两个$x$值，得到一个周期内水温高于$50℃$的时长，用一个周期的总时长减去该时长，就是最多需要等待的时间。
【解析】
(1) 分阶段求函数关系式：
① 当$0≤ x≤7$时，水温处于上升阶段，设函数关系式为$y=kx+b$，
由图象可知：$x=0$时$y=30$，$x=7$时$y=100$，代入得：
$\begin{cases}b=30\\7k+b=100\end{cases}$，解得$\begin{cases}k=10\\b=30\end{cases}$，
即该阶段函数关系式为$y=10x+30$；
② 当$x＞7$时，水温处于下降阶段，设反比例函数关系式为$y=\frac{a}{x}$，
将点$(7,100)$代入得$100=\frac{a}{7}$，解得$a=700$，
即该阶段函数关系式为$y=\frac{700}{x}$；
当水温降到$30℃$时，代入$y=\frac{700}{x}$得$30=\frac{700}{x}$，解得$x=\frac{70}{3}$，即该阶段定义域为$7＜x≤\frac{70}{3}$。
综上，$y$与$x$的函数关系式为：
$y=\begin{cases}10x+30&(0≤ x≤7)\\\frac{700}{x}&(7＜x≤\frac{70}{3})\end{cases}$，且函数每$\frac{70}{3}$min重复出现一次。
(2) 求最多等待时间：
将$y=50$代入上升阶段函数$y=10x+30$，得$50=10x+30$，解得$x=2$；
将$y=50$代入下降阶段函数$y=\frac{700}{x}$，得$50=\frac{700}{x}$，解得$x=14$；
则一个周期内水温高于$50℃$的时长为$14-2=12$min，
一个周期总时长为$\frac{70}{3}$min，因此最多等待时间为$\frac{70}{3}-12=\frac{34}{3}$min。
【答案】
(1) $y=\begin{cases}10x+30&(0≤ x≤7)\\\frac{700}{x}&(7＜x≤\frac{70}{3})\end{cases}$（函数每$\frac{70}{3}$min重复一次）；
(2) $\frac{34}{3}$min
【知识点】
一次函数的应用，反比例函数的应用，分段函数
【点评】
本题结合生活中饮水机水温变化的场景，考查了分段函数的解析式求解及实际应用，需要学生准确识别不同阶段的函数类型，结合图象确定已知点坐标代入求解，同时要注意函数的周期性特点，有效考查了学生的读图分析能力和知识应用能力。
【难度系数】
0.7
