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27. (14分)阅读理解:
(1)【学习心得】
学习完“圆”这一章内容后,有一些几何问题,如果添加辅助圆,可以使问题变得容易.我们把这个过程称为“化隐圆为显圆”.这类题目主要是两种类型.
① 类型一,“定点+定长”:如图1,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=56°,D是△ABC外一点,且AD=AC,求∠BDC的度数.
解:若以点A(定点)为圆心,AB(定长)为半径作辅助圆⊙A,(请你在图1上画圆)则点C,D必在⊙A上,∠BAC是⊙A的圆心角,而∠BDC是圆周角,从而可容易得到∠BDC=
② 类型二,“定角+定弦”:如图,Rt△ABC中,AB⊥BC,AB=12,BC=8,P是△ABC内部的一个动点,且满足∠PAB=∠PBC,求线段CP长的最小值.
解:∵ ∠ABC=90°,
∴ ∠ABP+∠PBC=90°.
∵ ∠PAB=∠PBC,
∴ ∠BAP+∠ABP=90°,
∴ ∠APB=
∴ 点P在以AB(定弦)为直径的⊙O上.请完成后面的过程.
(2)【问题解决】
如图3,在矩形ABCD中,已知AB=6,BC=8,点P是BC边上一动点(点P不与B,C重合),连接AP,作点B关于直线AP的对称点M,则线段MC的最小值为
(3)【问题拓展】
如图4,在正方形ABCD中,AD=10,动点E,F分别在边DC,CB上移动,且满足DE=CF.连接AE和DF,交于点P.
① 请你写出AE与DF的数量关系和位置关系,并说明理由;
② 点E从点D开始运动到点C时,点P也随之运动,请求出点P的运动路径长.
(1)【学习心得】
学习完“圆”这一章内容后,有一些几何问题,如果添加辅助圆,可以使问题变得容易.我们把这个过程称为“化隐圆为显圆”.这类题目主要是两种类型.
① 类型一,“定点+定长”:如图1,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=56°,D是△ABC外一点,且AD=AC,求∠BDC的度数.
解:若以点A(定点)为圆心,AB(定长)为半径作辅助圆⊙A,(请你在图1上画圆)则点C,D必在⊙A上,∠BAC是⊙A的圆心角,而∠BDC是圆周角,从而可容易得到∠BDC=
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°.② 类型二,“定角+定弦”:如图,Rt△ABC中,AB⊥BC,AB=12,BC=8,P是△ABC内部的一个动点,且满足∠PAB=∠PBC,求线段CP长的最小值.
解:∵ ∠ABC=90°,
∴ ∠ABP+∠PBC=90°.
∵ ∠PAB=∠PBC,
∴ ∠BAP+∠ABP=90°,
∴ ∠APB=
90°
,(定角)∴ 点P在以AB(定弦)为直径的⊙O上.请完成后面的过程.
(2)【问题解决】
如图3,在矩形ABCD中,已知AB=6,BC=8,点P是BC边上一动点(点P不与B,C重合),连接AP,作点B关于直线AP的对称点M,则线段MC的最小值为
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.(3)【问题拓展】
如图4,在正方形ABCD中,AD=10,动点E,F分别在边DC,CB上移动,且满足DE=CF.连接AE和DF,交于点P.
① 请你写出AE与DF的数量关系和位置关系,并说明理由;
② 点E从点D开始运动到点C时,点P也随之运动,请求出点P的运动路径长.
答案
(1) ① 28 ② $90°$,如图
;连接OC交$\odot O$于点P,此时PC最小,$∵$ 点O是AB的中点,$∴ OA=OB=\frac{1}{2}AB=6.$ 在Rt△BCO中,$∠OBC=90°,BC=8,OB=6,∴ OC=\sqrt{BC^2+OB^2}=10,∴ PC=OC-OP=10-6=4.∴ PC$最小值为4.
(2) 如图
,连接AC,AM,$∵$ 点B,点M关于直线AP对称,$∴ AB=AM=6,∴$ 点M在以点A为圆心,AB为半径的圆上运动,$∴$ 当点M在线段AC上时,MC有最小值,$∵ AB=6,BC=8,∴ AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10,∴ CM$的最小值为$CM=AC-AM=10-6=4$,故答案为:4.(3) ① 结论:$AE=DF,AE⊥DF$,理由:$∵$ 四边形ABCD是正方形,$∴ AD=DC,∠ADE=∠DCF=90°$,在△ADE和△DCF中,$\begin{cases}AD=DC,\\∠ADE=∠DCF,\\DE=CF,\end{cases}∴ △ADE≌△DCF(SAS),∴ AE=DF,∠DAE=∠FDC,∵ ∠ADE=90°,∴ ∠ADP+∠FDC=90°,∴ ∠ADP+∠DAE=90°,∴ ∠APD=180°-90°=90°,∴ AE⊥DF$；
② 如图
,连接AC,BD交于点O,$∵$ 点P在运动中保持$∠APD=90°$,$∴$ 点P的运动路径是以AD为直径的圆的$\overset{\frown}{DPO}$,$∴$ 点P的运动路径长为$\frac{90π×5}{180}=\frac{5π}{2}.$解析
【分析】
本题围绕“化隐圆为显圆”的两类核心模型设计，解题思路清晰：1. 对于“定点+定长”模型，若同一顶点引出多条等长线段，以该顶点为圆心、等长线段为半径作辅助圆，即可用圆周角定理快速求角；2. 对于“定角+定弦”模型，若动点对定线段的张角为定值，动点轨迹为以该定线段为弦的圆，求动点到定点的最短距离时，连接定点与圆心，减去半径即可得到最小值；3. 后续矩形、正方形的拓展问题，可先通过对称、全等推导确定动点轨迹，再结合勾股定理、弧长公式等知识求解即可。
【解析】
(1) ① 以A为圆心，AB长为半径作辅助圆⊙A，由AB=AC=AD可知C、D均在⊙A上。根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，∠BDC与∠BAC同对弧BC，因此$∠ BDC=\frac{1}{2}∠ BAC=\frac{1}{2}×56°=28°$。
② 由$∠ ABP+∠ PBC=90°$，$∠ PAB=∠ PBC$，可得$∠ BAP+∠ ABP=90°$，因此$∠ APB=90°$，即点P在以AB为直径的⊙O上。
求CP的最小值即求点C到⊙O的最短距离：连接OC，交⊙O于点P，此时PC最小。
∵ O是AB中点，AB=12，
∴ $OB=\frac{1}{2}AB=6$，
在Rt△OBC中，$∠ OBC=90°$，$OB=6$，$BC=8$，由勾股定理得$OC=\sqrt{OB^2+BC^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10$，
∵ OP为⊙O半径，$OP=6$，
∴ $PC_{min}=OC-OP=10-6=4$。
(2) 连接AC、AM，
∵ 点B与点M关于直线AP对称，
∴ $AM=AB=6$，即点M的轨迹为以A为圆心、AB长为半径的圆。
当M在线段AC上时，MC取得最小值。在Rt△ABC中，$AB=6$，$BC=8$，由勾股定理得$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10$，因此$CM_{min}=AC-AM=10-6=4$。
(3) ① 结论：$AE=DF$，$AE⊥ DF$，理由如下：
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ $AD=DC$，$∠ ADE=∠ DCF=90°$，
在△ADE和△DCF中：
$\begin{cases}AD=DC\\∠ ADE=∠ DCF\\DE=CF\end{cases}$
∴ $△ ADE≌△ DCF(SAS)$，
∴ $AE=DF$，$∠ DAE=∠ FDC$。
∵ $∠ ADC=90°$，
∴ $∠ ADP+∠ FDC=90°$，代入$∠ DAE=∠ FDC$得$∠ ADP+∠ DAE=90°$，
∴ $∠ APD=180°-90°=90°$，即$AE⊥ DF$。
② 由①可知，点P运动过程中始终满足$∠ APD=90°$，因此点P的运动轨迹是以AD为直径的圆上的一段圆弧。
∵ $AD=10$，
∴ 圆的半径$r=\frac{1}{2}AD=5$，点E从D运动到C时，轨迹对应的圆心角为$90°$，
由弧长公式得路径长为$\frac{nπ r}{180}=\frac{90π×5}{180}=\frac{5π}{2}$。
【答案】
(1) ① 28；② $90°$，如图；CP最小值为4；
(2) 如图，线段MC的最小值为4；
(3) ① $AE=DF$，$AE⊥ DF$，理由见解析；② 如图，点P的运动路径长为$\frac{5π}{2}$。
【知识点】
圆周角定理，全等三角形的判定与性质，弧长计算
【点评】
本题以隐圆模型为核心，由浅入深设置问题，综合考查了圆的性质、最短路径求解、三角形全等、勾股定理、弧长计算等知识点，注重模型思想与逻辑推理能力的考查，能有效提升学生利用辅助圆解决复杂几何问题的能力。
【难度系数】
0.6
本题围绕“化隐圆为显圆”的两类核心模型设计，解题思路清晰：1. 对于“定点+定长”模型，若同一顶点引出多条等长线段，以该顶点为圆心、等长线段为半径作辅助圆，即可用圆周角定理快速求角；2. 对于“定角+定弦”模型，若动点对定线段的张角为定值，动点轨迹为以该定线段为弦的圆，求动点到定点的最短距离时，连接定点与圆心，减去半径即可得到最小值；3. 后续矩形、正方形的拓展问题，可先通过对称、全等推导确定动点轨迹，再结合勾股定理、弧长公式等知识求解即可。
【解析】
(1) ① 以A为圆心，AB长为半径作辅助圆⊙A，由AB=AC=AD可知C、D均在⊙A上。根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，∠BDC与∠BAC同对弧BC，因此$∠ BDC=\frac{1}{2}∠ BAC=\frac{1}{2}×56°=28°$。
② 由$∠ ABP+∠ PBC=90°$，$∠ PAB=∠ PBC$，可得$∠ BAP+∠ ABP=90°$，因此$∠ APB=90°$，即点P在以AB为直径的⊙O上。
求CP的最小值即求点C到⊙O的最短距离：连接OC，交⊙O于点P，此时PC最小。
∵ O是AB中点，AB=12，
∴ $OB=\frac{1}{2}AB=6$，
在Rt△OBC中，$∠ OBC=90°$，$OB=6$，$BC=8$，由勾股定理得$OC=\sqrt{OB^2+BC^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10$，
∵ OP为⊙O半径，$OP=6$，
∴ $PC_{min}=OC-OP=10-6=4$。
(2) 连接AC、AM，
∵ 点B与点M关于直线AP对称，
∴ $AM=AB=6$，即点M的轨迹为以A为圆心、AB长为半径的圆。
当M在线段AC上时，MC取得最小值。在Rt△ABC中，$AB=6$，$BC=8$，由勾股定理得$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10$，因此$CM_{min}=AC-AM=10-6=4$。
(3) ① 结论：$AE=DF$，$AE⊥ DF$，理由如下：
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ $AD=DC$，$∠ ADE=∠ DCF=90°$，
在△ADE和△DCF中：
$\begin{cases}AD=DC\\∠ ADE=∠ DCF\\DE=CF\end{cases}$
∴ $△ ADE≌△ DCF(SAS)$，
∴ $AE=DF$，$∠ DAE=∠ FDC$。
∵ $∠ ADC=90°$，
∴ $∠ ADP+∠ FDC=90°$，代入$∠ DAE=∠ FDC$得$∠ ADP+∠ DAE=90°$，
∴ $∠ APD=180°-90°=90°$，即$AE⊥ DF$。
② 由①可知，点P运动过程中始终满足$∠ APD=90°$，因此点P的运动轨迹是以AD为直径的圆上的一段圆弧。
∵ $AD=10$，
∴ 圆的半径$r=\frac{1}{2}AD=5$，点E从D运动到C时，轨迹对应的圆心角为$90°$，
由弧长公式得路径长为$\frac{nπ r}{180}=\frac{90π×5}{180}=\frac{5π}{2}$。
【答案】
(1) ① 28；② $90°$，如图
；CP最小值为4；(2) 如图
，线段MC的最小值为4；(3) ① $AE=DF$，$AE⊥ DF$，理由见解析；② 如图
，点P的运动路径长为$\frac{5π}{2}$。【知识点】
圆周角定理，全等三角形的判定与性质，弧长计算
【点评】
本题以隐圆模型为核心，由浅入深设置问题，综合考查了圆的性质、最短路径求解、三角形全等、勾股定理、弧长计算等知识点，注重模型思想与逻辑推理能力的考查，能有效提升学生利用辅助圆解决复杂几何问题的能力。
【难度系数】
0.6
