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19. (8分)已知关于$x$的一元二次方程$x^2-(m+2)x+2m=0$.
（1）求证：不论$m$为何值，该方程总有两个实数根；
（2）若方程的一个根是1，求$m$的值及方程的另一个根.
（1）求证：不论$m$为何值，该方程总有两个实数根；
（2）若方程的一个根是1，求$m$的值及方程的另一个根.
答案
(1) $∵ Δ=[-(m+2)]^2-4×2m=(m-2)^2≥0,∴$ 不论$m$为何值,该方程总有两个实数根；
(2) 设方程的另一个根为$t$,根据根与系数的关系得$1+t=m+2①,1×t=2m②,②-①$得$-1=m-2,$解得$m=1,$把$m=1$代入②得$t=2,$所以$m$的值为1,方程的另一个根为2.
(2) 设方程的另一个根为$t$,根据根与系数的关系得$1+t=m+2①,1×t=2m②,②-①$得$-1=m-2,$解得$m=1,$把$m=1$代入②得$t=2,$所以$m$的值为1,方程的另一个根为2.
解析
【分析】
（1）要证明一元二次方程总有两个实数根，核心是判断根的判别式Δ的符号：对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，当$\Delta = b^2-4ac≥0$时，方程总有两个实数根。因此我们只需找出该方程的$a、b、c$，代入Δ化简，判断其是否恒大于等于0即可。
（2）已知方程的一个根求参数和另一个根，可利用根与系数的关系（韦达定理）简化计算：若方程两根为$x_1、x_2$，则$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，$x_1x_2=\frac{c}{a}$，代入已知根列方程组即可求解；也可先将已知根代入原方程求出$m$，再解方程得到另一个根，两种方法均可，此处韦达定理计算更简便。
【解析】
（1）证明：在一元二次方程$x^2-(m+2)x+2m=0$中，$a=1$，$b=-(m+2)$，$c=2m$，
则判别式$\Delta = b^2-4ac = [-(m+2)]^2 - 4×1×2m$
$= m^2 +4m +4 -8m$
$= m^2 -4m +4$
$=(m-2)^2$
∵ 任何实数的平方都是非负数，即$(m-2)^2≥0$，
∴ 不论$m$为何值，该方程总有两个实数根。
（2）解：设方程的另一个根为$t$，根据根与系数的关系可得：
$\begin{cases}1 + t = m + 2&①\\1× t = 2m&②\end{cases}$
将②代入①得：$1 + 2m = m + 2$，
解得：$m = 1$，
把$m=1$代入②得：$t = 2×1 = 2$。
【答案】
（1）不论$m$为何值，该方程总有两个实数根得证；
（2）$m$的值为$1$，方程的另一个根为$2$。
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 根与系数的关系（韦达定理）
3. 一元二次方程的解
【点评】
本题是一元二次方程的基础常考题，考察核心公式的直接应用，掌握根的判别式的意义和韦达定理的内容即可顺利解题，是巩固一元二次方程基础的典型习题。
【难度系数】
0.8
（1）要证明一元二次方程总有两个实数根，核心是判断根的判别式Δ的符号：对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，当$\Delta = b^2-4ac≥0$时，方程总有两个实数根。因此我们只需找出该方程的$a、b、c$，代入Δ化简，判断其是否恒大于等于0即可。
（2）已知方程的一个根求参数和另一个根，可利用根与系数的关系（韦达定理）简化计算：若方程两根为$x_1、x_2$，则$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，$x_1x_2=\frac{c}{a}$，代入已知根列方程组即可求解；也可先将已知根代入原方程求出$m$，再解方程得到另一个根，两种方法均可，此处韦达定理计算更简便。
【解析】
（1）证明：在一元二次方程$x^2-(m+2)x+2m=0$中，$a=1$，$b=-(m+2)$，$c=2m$，
则判别式$\Delta = b^2-4ac = [-(m+2)]^2 - 4×1×2m$
$= m^2 +4m +4 -8m$
$= m^2 -4m +4$
$=(m-2)^2$
∵ 任何实数的平方都是非负数，即$(m-2)^2≥0$，
∴ 不论$m$为何值，该方程总有两个实数根。
（2）解：设方程的另一个根为$t$，根据根与系数的关系可得：
$\begin{cases}1 + t = m + 2&①\\1× t = 2m&②\end{cases}$
将②代入①得：$1 + 2m = m + 2$，
解得：$m = 1$，
把$m=1$代入②得：$t = 2×1 = 2$。
【答案】
（1）不论$m$为何值，该方程总有两个实数根得证；
（2）$m$的值为$1$，方程的另一个根为$2$。
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 根与系数的关系（韦达定理）
3. 一元二次方程的解
【点评】
本题是一元二次方程的基础常考题，考察核心公式的直接应用，掌握根的判别式的意义和韦达定理的内容即可顺利解题，是巩固一元二次方程基础的典型习题。
【难度系数】
0.8
20. (8分)(2024·镇江)3张相同的卡片上分别写有中国二十四节气中的“小满”“芒种”“夏至”的字样，将卡片的背面朝上.
(1) 洗匀后，从中任意抽取1张卡片，抽到写有“小满”的卡片的概率等于
(2) 洗匀后，从中任意抽取2张卡片，用画树状图或列表的方法，求抽到一张写有“芒种”，一张写有“夏至”的卡片的概率.
(1) 洗匀后，从中任意抽取1张卡片，抽到写有“小满”的卡片的概率等于
$\frac{1}{3}$
；(2) 洗匀后，从中任意抽取2张卡片，用画树状图或列表的方法，求抽到一张写有“芒种”，一张写有“夏至”的卡片的概率.
答案
(1) $\frac{1}{3}$
(2) 把写有中国二十四节气中的“小满”“芒种”“夏至”3张卡片分别记为A,B,C,画树状图如图所示
,共有6种等可能的结果,其中抽到一张写有“芒种”,一张写有“夏至”的卡片的结果有2种,∴ 抽到一张写有“芒种”,一张写有“夏至”的卡片的概率为$\frac{2}{6}=\frac{1}{3}.$
解析
【分析】
(1) 第一问属于简单古典概型问题，首先明确总共有3种等可能的抽取结果，抽到“小满”的结果仅有1种，直接用概率公式“概率=符合条件的结果数÷所有等可能的结果数”计算即可。
(2) 第二问是不放回抽取2张卡片的概率问题，首先对三张卡片分别标记，再通过画树状图的方法列出所有等可能的抽取结果，注意抽取不放回，第二次抽取的卡片不能与第一次重复；随后统计出满足“一张芒种、一张夏至”的结果数量，最后代入概率公式计算即可。
【解析】
(1) 洗匀后抽1张卡片时，3张卡片被抽到的可能性相等，总共有3种等可能的结果，其中抽到写有“小满”的卡片的结果有1种，因此抽到写有“小满”的卡片的概率为$\frac{1}{3}$。
(2) 将“小满”“芒种”“夏至”三张卡片分别记为A、B、C，由于是不放回抽取2张，画树状图后可得，总共有6种等可能的抽取结果，其中抽到一张“芒种”、一张“夏至”的结果有2种，分别为（B,C）和（C,B），因此所求概率为$\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$。
【答案】
(1) $\frac{1}{3}$
(2) 把写有中国二十四节气中的“小满”“芒种”“夏至”3张卡片分别记为A,B,C,画树状图如图所示,共有6种等可能的结果,其中抽到一张写有“芒种”,一张写有“夏至”的卡片的结果有2种,
∴ 抽到一张写有“芒种”,一张写有“夏至”的卡片的概率为$\frac{2}{6}=\frac{1}{3}.$
【知识点】
1. 概率公式
2. 树状图法求概率
【点评】
本题是概率计算的基础题型，第一问直接考查单步概率的计算，第二问要求掌握用树状图梳理不放回抽样的所有等可能情况，解题时需注意不重不漏地列举所有结果，是概率部分的常考题型。
【难度系数】
0.75
(1) 第一问属于简单古典概型问题，首先明确总共有3种等可能的抽取结果，抽到“小满”的结果仅有1种，直接用概率公式“概率=符合条件的结果数÷所有等可能的结果数”计算即可。
(2) 第二问是不放回抽取2张卡片的概率问题，首先对三张卡片分别标记，再通过画树状图的方法列出所有等可能的抽取结果，注意抽取不放回，第二次抽取的卡片不能与第一次重复；随后统计出满足“一张芒种、一张夏至”的结果数量，最后代入概率公式计算即可。
【解析】
(1) 洗匀后抽1张卡片时，3张卡片被抽到的可能性相等，总共有3种等可能的结果，其中抽到写有“小满”的卡片的结果有1种，因此抽到写有“小满”的卡片的概率为$\frac{1}{3}$。
(2) 将“小满”“芒种”“夏至”三张卡片分别记为A、B、C，由于是不放回抽取2张，画树状图后可得，总共有6种等可能的抽取结果，其中抽到一张“芒种”、一张“夏至”的结果有2种，分别为（B,C）和（C,B），因此所求概率为$\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$。
【答案】
(1) $\frac{1}{3}$
(2) 把写有中国二十四节气中的“小满”“芒种”“夏至”3张卡片分别记为A,B,C,画树状图如图所示
,共有6种等可能的结果,其中抽到一张写有“芒种”,一张写有“夏至”的卡片的结果有2种,∴ 抽到一张写有“芒种”,一张写有“夏至”的卡片的概率为$\frac{2}{6}=\frac{1}{3}.$
【知识点】
1. 概率公式
2. 树状图法求概率
【点评】
本题是概率计算的基础题型，第一问直接考查单步概率的计算，第二问要求掌握用树状图梳理不放回抽样的所有等可能情况，解题时需注意不重不漏地列举所有结果，是概率部分的常考题型。
【难度系数】
0.75
21. (8分)如图,在$△ ABC$中.
(1)作$∠ ABC$的平分线交$AC$于$D$,作线段$BD$的垂直平分线$EF$分别交$AB$于$E$,$BC$于$F$,垂足为点$O$.(尺规作图,保留作图痕迹,不写作法)
(2)在(1)的条件下,连接$DF$,判断$DF$与边$AB$的位置关系,并说明理由.
(1)作$∠ ABC$的平分线交$AC$于$D$,作线段$BD$的垂直平分线$EF$分别交$AB$于$E$,$BC$于$F$,垂足为点$O$.(尺规作图,保留作图痕迹,不写作法)
(2)在(1)的条件下,连接$DF$,判断$DF$与边$AB$的位置关系,并说明理由.
答案
(1) 如图
,点O即为所求；(2) $DF// AB$;理由:$∵ ∠ABC$的平分线交AC于D,$∴ ∠ABD=∠CBD.∵$ 线段BD的垂直平分线EF,$∴ BF=DF,∴ ∠BDF=∠FBD,∴ ∠ABD=∠BDF,∴ AB// DF.$
解析
【分析】
(1) 第一问为基础尺规作图题：作角平分线时，以B为圆心取适当长度画弧交BA、BC于两点，再以两点为圆心、大于两点间距一半的长度为半径画弧，连接两弧在角内的交点与B，射线交AC于D即得角平分线BD；作BD的垂直平分线时，分别以B、D为圆心、大于$\frac{1}{2}BD$的长度为半径画弧，连接两弧交点即可得到EF，全程保留作图痕迹即可。
(2) 第二问判断位置关系，可逐步推导：首先由角平分线定义得到一组等角，再由线段垂直平分线的性质得到等腰三角形，推出另一组等角，等量代换得到内错角相等，即可判定两直线平行。
【解析】
(1) 按照尺规作图规范，依次作出∠ABC的平分线BD、BD的垂直平分线EF，保留作图痕迹即可。
(2) $DF// AB$，推导过程如下：
∵ BD是$∠ABC$的平分线，
∴ $∠ABD=∠CBD$，
∵ EF是线段BD的垂直平分线，
∴ 点F在BD的垂直平分线上，$BF=DF$，
∴ $∠FBD=∠BDF$（等边对等角），
∴ $∠ABD=∠BDF$（等量代换），
∴ $DF// AB$（内错角相等，两直线平行）。
【答案】
(1) 如图,点O即为所求；
(2) $DF// AB$;理由:$∵ ∠ABC$的平分线交AC于D,$∴ ∠ABD=∠CBD.∵$ 线段BD的垂直平分线EF,$∴ BF=DF,∴ ∠BDF=∠FBD,∴ ∠ABD=∠BDF,∴ AB// DF.$
【知识点】
尺规作图，线段垂直平分线的性质，平行线的判定
【点评】
本题综合考查基础尺规作图能力和几何性质的逻辑推导能力，涉及的均为几何模块的基础知识点，难度较低，熟练掌握基本作图方法和常见几何性质即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
(1) 第一问为基础尺规作图题：作角平分线时，以B为圆心取适当长度画弧交BA、BC于两点，再以两点为圆心、大于两点间距一半的长度为半径画弧，连接两弧在角内的交点与B，射线交AC于D即得角平分线BD；作BD的垂直平分线时，分别以B、D为圆心、大于$\frac{1}{2}BD$的长度为半径画弧，连接两弧交点即可得到EF，全程保留作图痕迹即可。
(2) 第二问判断位置关系，可逐步推导：首先由角平分线定义得到一组等角，再由线段垂直平分线的性质得到等腰三角形，推出另一组等角，等量代换得到内错角相等，即可判定两直线平行。
【解析】
(1) 按照尺规作图规范，依次作出∠ABC的平分线BD、BD的垂直平分线EF，保留作图痕迹即可。
(2) $DF// AB$，推导过程如下：
∵ BD是$∠ABC$的平分线，
∴ $∠ABD=∠CBD$，
∵ EF是线段BD的垂直平分线，
∴ 点F在BD的垂直平分线上，$BF=DF$，
∴ $∠FBD=∠BDF$（等边对等角），
∴ $∠ABD=∠BDF$（等量代换），
∴ $DF// AB$（内错角相等，两直线平行）。
【答案】
(1) 如图
,点O即为所求；(2) $DF// AB$;理由:$∵ ∠ABC$的平分线交AC于D,$∴ ∠ABD=∠CBD.∵$ 线段BD的垂直平分线EF,$∴ BF=DF,∴ ∠BDF=∠FBD,∴ ∠ABD=∠BDF,∴ AB// DF.$
【知识点】
尺规作图，线段垂直平分线的性质，平行线的判定
【点评】
本题综合考查基础尺规作图能力和几何性质的逻辑推导能力，涉及的均为几何模块的基础知识点，难度较低，熟练掌握基本作图方法和常见几何性质即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
22. (10分)已知关于$x$的一元二次方程$(a+c)x^2 + 2bx + (a - c) = 0$，其中$a,b,c$分别为$△ ABC$三边的长.
（1）如果$x=-1$是方程的根，试判断$△ ABC$的形状，并说明理由；
（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断$△ ABC$的形状，并说明理由；
（3）如果$△ ABC$是等边三角形，试求这个一元二次方程的根.
（1）如果$x=-1$是方程的根，试判断$△ ABC$的形状，并说明理由；
（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断$△ ABC$的形状，并说明理由；
（3）如果$△ ABC$是等边三角形，试求这个一元二次方程的根.
答案
(1) $△ABC$是等腰三角形;理由:把$x=-1$代入方程得$a+c-2b+a-c=0$,则$a=b$,所以$△ABC$为等腰三角形；
(2) $△ABC$为直角三角形;理由:根据题意得$Δ=(2b)^2-4(a+c)(a-c)=0$,即$b^2+c^2=a^2$,所以$△ABC$为直角三角形；
(3) $∵ △ABC$为等边三角形,$∴ a=b=c,∴$ 方程化为$x^2+x=0$,解得$x_1=0,x_2=-1.$
(2) $△ABC$为直角三角形;理由:根据题意得$Δ=(2b)^2-4(a+c)(a-c)=0$,即$b^2+c^2=a^2$,所以$△ABC$为直角三角形；
(3) $∵ △ABC$为等边三角形,$∴ a=b=c,∴$ 方程化为$x^2+x=0$,解得$x_1=0,x_2=-1.$
解析
【分析】
（1）已知x=-1是方程的根，根据方程根的定义，直接将x=-1代入原方程，化简得到a、b、c的数量关系，即可判断三角形的形状；
（2）方程有两个相等的实数根，根据一元二次方程根的判别式，令Δ=0，整理等式得到三边的关系，结合勾股定理逆定理即可判断三角形形状；
（3）等边三角形三边相等，将a=b=c代入原方程化简为普通一元二次方程，求解即可得到方程的根。
【解析】
（1）△ABC是等腰三角形，理由如下：
把x=-1代入方程$(a+c)x^2 + 2bx + (a - c) = 0$，得：
$(a+c)×(-1)^2 + 2b×(-1) + (a - c) = 0$
化简得$a+c-2b+a-c=0$，整理得$a=b$，因此△ABC是等腰三角形。
（2）△ABC是直角三角形，理由如下：
∵方程有两个相等的实数根，且a、b、c为三角形边长，$a+c≠0$，
∴根的判别式$\Delta=(2b)^2-4(a+c)(a-c)=0$，
展开计算得$4b^2 - 4(a^2 - c^2)=0$，两边同除以4得$b^2 + c^2 = a^2$，根据勾股定理逆定理，△ABC是直角三角形。
（3）
∵△ABC是等边三角形，
∴$a=b=c$，
代入原方程得$2ax^2 + 2ax = 0$，
∵$a≠0$，两边同除以2a得$x^2 + x = 0$，
因式分解得$x(x+1)=0$，解得$x_1=0$，$x_2=-1$。
【答案】
（1）$△ ABC$是等腰三角形；
（2）$△ ABC$是直角三角形；
（3）方程的根为$x_1=0$，$x_2=-1$。
【知识点】
一元二次方程的根；根的判别式；特殊三角形判定
【点评】
本题将一元二次方程知识和三角形性质判定相结合，既考查了代数基础运算能力，又考查了几何性质的应用，侧重对基础知识综合运用能力的考查。
【难度系数】
0.7
（1）已知x=-1是方程的根，根据方程根的定义，直接将x=-1代入原方程，化简得到a、b、c的数量关系，即可判断三角形的形状；
（2）方程有两个相等的实数根，根据一元二次方程根的判别式，令Δ=0，整理等式得到三边的关系，结合勾股定理逆定理即可判断三角形形状；
（3）等边三角形三边相等，将a=b=c代入原方程化简为普通一元二次方程，求解即可得到方程的根。
【解析】
（1）△ABC是等腰三角形，理由如下：
把x=-1代入方程$(a+c)x^2 + 2bx + (a - c) = 0$，得：
$(a+c)×(-1)^2 + 2b×(-1) + (a - c) = 0$
化简得$a+c-2b+a-c=0$，整理得$a=b$，因此△ABC是等腰三角形。
（2）△ABC是直角三角形，理由如下：
∵方程有两个相等的实数根，且a、b、c为三角形边长，$a+c≠0$，
∴根的判别式$\Delta=(2b)^2-4(a+c)(a-c)=0$，
展开计算得$4b^2 - 4(a^2 - c^2)=0$，两边同除以4得$b^2 + c^2 = a^2$，根据勾股定理逆定理，△ABC是直角三角形。
（3）
∵△ABC是等边三角形，
∴$a=b=c$，
代入原方程得$2ax^2 + 2ax = 0$，
∵$a≠0$，两边同除以2a得$x^2 + x = 0$，
因式分解得$x(x+1)=0$，解得$x_1=0$，$x_2=-1$。
【答案】
（1）$△ ABC$是等腰三角形；
（2）$△ ABC$是直角三角形；
（3）方程的根为$x_1=0$，$x_2=-1$。
【知识点】
一元二次方程的根；根的判别式；特殊三角形判定
【点评】
本题将一元二次方程知识和三角形性质判定相结合，既考查了代数基础运算能力，又考查了几何性质的应用，侧重对基础知识综合运用能力的考查。
【难度系数】
0.7
