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1. 下列计算中，不正确的是 （
A.$\sqrt{2} × \sqrt{3} = \sqrt{6}$
B.$\sqrt{18} ÷ \sqrt{2} = 3$
C.$\sqrt{18} - \sqrt{8} = \sqrt{2}$
D.$(\sqrt{2} + 1)(1 - \sqrt{2}) = 1$
D
）A.$\sqrt{2} × \sqrt{3} = \sqrt{6}$
B.$\sqrt{18} ÷ \sqrt{2} = 3$
C.$\sqrt{18} - \sqrt{8} = \sqrt{2}$
D.$(\sqrt{2} + 1)(1 - \sqrt{2}) = 1$
答案
1. D
解析
【分析】
本题考查二次根式的四则运算，解题思路是依次对每个选项运用对应的二次根式运算法则进行计算，判断计算结果是否正确，最终选出不正确的选项。解题时先回忆二次根式的乘除法则、加减化简方法，以及整式乘法的平方差公式，逐个验证四个选项的计算结果即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 根据二次根式乘法法则$\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab}(a≥0,b≥0)$，可得$\sqrt{2}×\sqrt{3}=\sqrt{2×3}=\sqrt{6}$，计算正确；
B. 根据二次根式除法法则$\sqrt{a}÷\sqrt{b}=\sqrt{\frac{a}{b}}(a≥0,b＞0)$，可得$\sqrt{18}÷\sqrt{2}=\sqrt{18÷2}=\sqrt{9}=3$，计算正确；
C. 先将二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式：$\sqrt{18}=3\sqrt{2}$，$\sqrt{8}=2\sqrt{2}$，所以$\sqrt{18}-\sqrt{8}=3\sqrt{2}-2\sqrt{2}=\sqrt{2}$，计算正确；
D. 利用平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$计算：$(\sqrt{2}+1)(1-\sqrt{2})=(1+\sqrt{2})(1-\sqrt{2})=1^2-(\sqrt{2})^2=1-2=-1≠1$，计算错误。
【答案】
D
【知识点】
二次根式乘除运算，二次根式加减运算，平方差公式
【点评】
本题属于二次根式运算的基础题型，重点考查对二次根式四则运算法则的掌握程度，计算时注意先化简二次根式再进行加减运算，合理运用乘法公式能有效提升计算效率和正确率。
【难度系数】
0.8
本题考查二次根式的四则运算，解题思路是依次对每个选项运用对应的二次根式运算法则进行计算，判断计算结果是否正确，最终选出不正确的选项。解题时先回忆二次根式的乘除法则、加减化简方法，以及整式乘法的平方差公式，逐个验证四个选项的计算结果即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 根据二次根式乘法法则$\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab}(a≥0,b≥0)$，可得$\sqrt{2}×\sqrt{3}=\sqrt{2×3}=\sqrt{6}$，计算正确；
B. 根据二次根式除法法则$\sqrt{a}÷\sqrt{b}=\sqrt{\frac{a}{b}}(a≥0,b＞0)$，可得$\sqrt{18}÷\sqrt{2}=\sqrt{18÷2}=\sqrt{9}=3$，计算正确；
C. 先将二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式：$\sqrt{18}=3\sqrt{2}$，$\sqrt{8}=2\sqrt{2}$，所以$\sqrt{18}-\sqrt{8}=3\sqrt{2}-2\sqrt{2}=\sqrt{2}$，计算正确；
D. 利用平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$计算：$(\sqrt{2}+1)(1-\sqrt{2})=(1+\sqrt{2})(1-\sqrt{2})=1^2-(\sqrt{2})^2=1-2=-1≠1$，计算错误。
【答案】
D
【知识点】
二次根式乘除运算，二次根式加减运算，平方差公式
【点评】
本题属于二次根式运算的基础题型，重点考查对二次根式四则运算法则的掌握程度，计算时注意先化简二次根式再进行加减运算，合理运用乘法公式能有效提升计算效率和正确率。
【难度系数】
0.8
2. 已知$-\dfrac{1}{2}＜ x ＜ 1$，化简$\sqrt{(2x+1)^2}-\sqrt{(x-4)^2}$可得
3x-3
。答案
2. 3x-3
解析
【分析】
解题时先回忆二次根式的核心性质：$\sqrt{a^2}=|a|$，因此首先将原式转化为绝对值的形式；接下来需要根据给定的$x$的取值范围，分别判断两个绝对值内部的代数式的正负性；最后根据绝对值的性质去掉绝对值符号，合并同类项即可得到化简结果。
【解析】
根据二次根式的性质$\sqrt{a^2}=|a|$，可得：
原式$=|2x+1| - |x-4|$
已知$-\dfrac{1}{2}＜x＜1$：
1. 对于$2x+1$：由$x＞-\dfrac{1}{2}$，两边同乘2加1得$2x+1＞0$，因此$|2x+1|=2x+1$；
2. 对于$x-4$：由$x＜1$，两边减4得$x-4＜1-4=-3＜0$，因此$|x-4|=-(x-4)=4-x$。
将上述结果代入原式：
$\begin{aligned}原式&=(2x+1)-(4-x)\\&=2x+1-4+x\\&=3x-3\end{aligned}$
【答案】
$3x-3$
【知识点】
二次根式的性质，绝对值的化简，整式的加减
【点评】
本题是二次根式化简的基础常考题，解题的核心是先利用二次根式性质将原式转化为绝对值形式，再结合给定的取值范围正确判断绝对值内式子的正负，去绝对值时要注意符号的变化，避免出现符号错误。
【难度系数】
0.7
解题时先回忆二次根式的核心性质：$\sqrt{a^2}=|a|$，因此首先将原式转化为绝对值的形式；接下来需要根据给定的$x$的取值范围，分别判断两个绝对值内部的代数式的正负性；最后根据绝对值的性质去掉绝对值符号，合并同类项即可得到化简结果。
【解析】
根据二次根式的性质$\sqrt{a^2}=|a|$，可得：
原式$=|2x+1| - |x-4|$
已知$-\dfrac{1}{2}＜x＜1$：
1. 对于$2x+1$：由$x＞-\dfrac{1}{2}$，两边同乘2加1得$2x+1＞0$，因此$|2x+1|=2x+1$；
2. 对于$x-4$：由$x＜1$，两边减4得$x-4＜1-4=-3＜0$，因此$|x-4|=-(x-4)=4-x$。
将上述结果代入原式：
$\begin{aligned}原式&=(2x+1)-(4-x)\\&=2x+1-4+x\\&=3x-3\end{aligned}$
【答案】
$3x-3$
【知识点】
二次根式的性质，绝对值的化简，整式的加减
【点评】
本题是二次根式化简的基础常考题，解题的核心是先利用二次根式性质将原式转化为绝对值形式，再结合给定的取值范围正确判断绝对值内式子的正负，去绝对值时要注意符号的变化，避免出现符号错误。
【难度系数】
0.7
3. 数学老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用一只手捂住了一个二次三项式，形式如下：
$-3x=x^2 -5x +1$。若$x=\sqrt{6} +1$，则手捂住的二次三项式的值为
$-3x=x^2 -5x +1$。若$x=\sqrt{6} +1$，则手捂住的二次三项式的值为6
。答案
3. 6
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要求出被捂住的二次三项式：根据减法运算中“被减数=差+减数”的关系，已知该多项式减去3x的结果为$x^2 -5x +1$，因此将右侧多项式加上3x即可得到捂住的多项式；随后先对多项式进行化简，再代入$x=\sqrt{6}+1$计算，能大幅简化计算过程，降低出错概率。
【解析】
设被手捂住的二次三项式为$A$，根据题意可得：
$A - 3x = x^2 -5x +1$
因此$A = (x^2 -5x +1) + 3x$
合并同类项得：$A = x^2 -2x +1$
利用完全平方公式因式分解得：$A=(x-1)^2$
将$x=\sqrt{6}+1$代入$A=(x-1)^2$：
$A=(\sqrt{6}+1 -1)^2=(\sqrt{6})^2=6$
【答案】
6
【知识点】
整式的加减、完全平方公式、二次根式运算
【点评】
本题考查代数式求值相关知识，解题的关键是先根据运算关系推导得到未知多项式，再通过因式分解简化计算，充分体现了代数求值中“先化简再代入”的技巧，能有效减少计算量。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先需要求出被捂住的二次三项式：根据减法运算中“被减数=差+减数”的关系，已知该多项式减去3x的结果为$x^2 -5x +1$，因此将右侧多项式加上3x即可得到捂住的多项式；随后先对多项式进行化简，再代入$x=\sqrt{6}+1$计算，能大幅简化计算过程，降低出错概率。
【解析】
设被手捂住的二次三项式为$A$，根据题意可得：
$A - 3x = x^2 -5x +1$
因此$A = (x^2 -5x +1) + 3x$
合并同类项得：$A = x^2 -2x +1$
利用完全平方公式因式分解得：$A=(x-1)^2$
将$x=\sqrt{6}+1$代入$A=(x-1)^2$：
$A=(\sqrt{6}+1 -1)^2=(\sqrt{6})^2=6$
【答案】
6
【知识点】
整式的加减、完全平方公式、二次根式运算
【点评】
本题考查代数式求值相关知识，解题的关键是先根据运算关系推导得到未知多项式，再通过因式分解简化计算，充分体现了代数求值中“先化简再代入”的技巧，能有效减少计算量。
【难度系数】
0.7
4. 若$a$为正整数，$\sqrt{108a}$为整数，则$a$的最小值为
3
。答案
4. 3
解析
【分析】
要使$\sqrt{108a}$为整数，首先需明确被开方数$108a$必须是完全平方数。解题时先将108分解质因数，观察各质因数的指数：完全平方数的所有质因数指数均为偶数，因此只需将指数为奇数的质因数补充至最小的偶次幂，补充的部分就是$a$的最小值。
【解析】
先对108分解质因数：
$108=2×2×3×3×3=2^2×3^3$
因为$\sqrt{108a}$是整数，所以$108a$是完全平方数，完全平方数的每个质因数的指数都为偶数。
当前质因数2的指数是2（已为偶数），质因数3的指数是3（为奇数），最小需要再乘1个3，使3的指数变为4（偶数），因此正整数$a$的最小值为3。
【答案】
3
【知识点】
二次根式的性质；完全平方数特征；质因数分解
【点评】
本题考查二次根式相关的基础计算，解题核心是理解根号下的数为完全平方数时二次根式的值才是整数，通过分解质因数调整指数即可快速求解，是同类题型中的基础考法。
【难度系数】
0.7
要使$\sqrt{108a}$为整数，首先需明确被开方数$108a$必须是完全平方数。解题时先将108分解质因数，观察各质因数的指数：完全平方数的所有质因数指数均为偶数，因此只需将指数为奇数的质因数补充至最小的偶次幂，补充的部分就是$a$的最小值。
【解析】
先对108分解质因数：
$108=2×2×3×3×3=2^2×3^3$
因为$\sqrt{108a}$是整数，所以$108a$是完全平方数，完全平方数的每个质因数的指数都为偶数。
当前质因数2的指数是2（已为偶数），质因数3的指数是3（为奇数），最小需要再乘1个3，使3的指数变为4（偶数），因此正整数$a$的最小值为3。
【答案】
3
【知识点】
二次根式的性质；完全平方数特征；质因数分解
【点评】
本题考查二次根式相关的基础计算，解题核心是理解根号下的数为完全平方数时二次根式的值才是整数，通过分解质因数调整指数即可快速求解，是同类题型中的基础考法。
【难度系数】
0.7
5. 已知$a$，$b$是正整数，若$\sqrt{\dfrac{7}{a}} + \sqrt{\dfrac{10}{b}}$是不大于2的整数，则满足条件的有序数对（$a$，$b$）为
(7, 10)或(28, 40)
。答案
5. (7, 10)或(28, 40)
解析
【分析】
解题时先从已知条件入手：两个含√7、√10的二次根式相加结果为不大于2的整数，由于√7和√10不是同类二次根式，无法合并抵消无理部分，因此两个二次根式化简后必须均为有理数；再根据二次根式为有理数的条件推出a、b的结构，最后将原式转化为正整数分式和的问题，分情况讨论整数解即可。
【解析】
设$ k=\sqrt{\dfrac{7}{a}} + \sqrt{\dfrac{10}{b}} $，由题意可知$ k $是不大于2的正整数，即$ k=1 $或$ k=2 $。
1. 推导a、b的结构：
要使$ \sqrt{\dfrac{7}{a}} $为有理数，且$ a $是正整数，则$ a $必须是7乘某个正整数的平方，设$ a=7m^2 $（$ m $为正整数），代入得：
$ \sqrt{\dfrac{7}{a}}=\sqrt{\dfrac{7}{7m^2}}=\dfrac{1}{m} $
同理，设$ b=10n^2 $（$ n $为正整数），则$ \sqrt{\dfrac{10}{b}}=\dfrac{1}{n} $。
2. 分情况求解：
原式转化为$ k=\dfrac{1}{m}+\dfrac{1}{n} $
① 当$ k=2 $时，$ \dfrac{1}{m}+\dfrac{1}{n}=2 $，正整数解仅为$ m=1,n=1 $，此时$ a=7×1^2=7 $，$ b=10×1^2=10 $，对应有序数对$(7,10)$。
② 当$ k=1 $时，$ \dfrac{1}{m}+\dfrac{1}{n}=1 $，正整数解仅为$ m=2,n=2 $，此时$ a=7×2^2=28 $，$ b=10×2^2=40 $，对应有序数对$(28,40)$。
【答案】
$(7,10)$或$(28,40)$
【知识点】
二次根式化简，同类二次根式，整数解讨论
【点评】
本题重点考查二次根式性质与整数解的综合应用，解题核心是判断出两个二次根式需均为有理数，再通过参数转化降低解题难度，解题时要注意分情况讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.6
解题时先从已知条件入手：两个含√7、√10的二次根式相加结果为不大于2的整数，由于√7和√10不是同类二次根式，无法合并抵消无理部分，因此两个二次根式化简后必须均为有理数；再根据二次根式为有理数的条件推出a、b的结构，最后将原式转化为正整数分式和的问题，分情况讨论整数解即可。
【解析】
设$ k=\sqrt{\dfrac{7}{a}} + \sqrt{\dfrac{10}{b}} $，由题意可知$ k $是不大于2的正整数，即$ k=1 $或$ k=2 $。
1. 推导a、b的结构：
要使$ \sqrt{\dfrac{7}{a}} $为有理数，且$ a $是正整数，则$ a $必须是7乘某个正整数的平方，设$ a=7m^2 $（$ m $为正整数），代入得：
$ \sqrt{\dfrac{7}{a}}=\sqrt{\dfrac{7}{7m^2}}=\dfrac{1}{m} $
同理，设$ b=10n^2 $（$ n $为正整数），则$ \sqrt{\dfrac{10}{b}}=\dfrac{1}{n} $。
2. 分情况求解：
原式转化为$ k=\dfrac{1}{m}+\dfrac{1}{n} $
① 当$ k=2 $时，$ \dfrac{1}{m}+\dfrac{1}{n}=2 $，正整数解仅为$ m=1,n=1 $，此时$ a=7×1^2=7 $，$ b=10×1^2=10 $，对应有序数对$(7,10)$。
② 当$ k=1 $时，$ \dfrac{1}{m}+\dfrac{1}{n}=1 $，正整数解仅为$ m=2,n=2 $，此时$ a=7×2^2=28 $，$ b=10×2^2=40 $，对应有序数对$(28,40)$。
【答案】
$(7,10)$或$(28,40)$
【知识点】
二次根式化简，同类二次根式，整数解讨论
【点评】
本题重点考查二次根式性质与整数解的综合应用，解题核心是判断出两个二次根式需均为有理数，再通过参数转化降低解题难度，解题时要注意分情况讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.6
6. 计算。
(1) $\sqrt{48} - \sqrt{54} ÷ \sqrt{2} + (3 - \sqrt{3})(1 + \frac{1}{\sqrt{3}})$
(2) $(2018\sqrt{3} + 2018\sqrt{2})(\sqrt{3} - \sqrt{2})$
(1) $\sqrt{48} - \sqrt{54} ÷ \sqrt{2} + (3 - \sqrt{3})(1 + \frac{1}{\sqrt{3}})$
(2) $(2018\sqrt{3} + 2018\sqrt{2})(\sqrt{3} - \sqrt{2})$
答案
6. (1) $\sqrt{3} +2$ (2) 2018
解析
【分析】
本题考查二次根式的混合运算，解题时遵循“先乘除、后加减，有括号先算括号内”的运算顺序，同时可结合运算律、乘法公式简化计算：
(1) 先分别计算二次根式的除法、多项式乘法，再将各二次根式化为最简二次根式，最后合并同类二次根式即可；
(2) 观察式子特点，先提取第一个括号内的公因式2018，再利用平方差公式计算剩余部分，可大幅简化运算过程。
【解析】
(1) 原式分步计算：
① 计算除法：$\sqrt{54}÷\sqrt{2}=\sqrt{54÷2}=\sqrt{27}=3\sqrt{3}$；
② 计算多项式乘法：
$(3-\sqrt{3})(1+\frac{1}{\sqrt{3}})=3×1 + 3×\frac{1}{\sqrt{3}} - \sqrt{3}×1 - \sqrt{3}×\frac{1}{\sqrt{3}}$
$=3+\sqrt{3}-\sqrt{3}-1=2$；
③ 化简$\sqrt{48}=4\sqrt{3}$，代入原式：
原式$=4\sqrt{3} - 3\sqrt{3} + 2 = \sqrt{3} + 2$。
(2) 原式分步计算：
① 提取公因式：$2018\sqrt{3}+2018\sqrt{2}=2018×(\sqrt{3}+\sqrt{2})$，代入得：
原式$=2018×(\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2})$；
② 利用平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$计算：
$(\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2})=(\sqrt{3})^2 - (\sqrt{2})^2=3-2=1$；
③ 计算最终结果：原式$=2018×1=2018$。
【答案】
(1) $\sqrt{3}+2$；(2) $2018$
【知识点】
二次根式的混合运算；平方差公式；二次根式的化简
【点评】
这两道题重点考察二次根式的运算能力，解题时优先观察式子特征，合理运用运算律和乘法公式，既能提升计算速度，也能减少计算失误。
【难度系数】
0.7
本题考查二次根式的混合运算，解题时遵循“先乘除、后加减，有括号先算括号内”的运算顺序，同时可结合运算律、乘法公式简化计算：
(1) 先分别计算二次根式的除法、多项式乘法，再将各二次根式化为最简二次根式，最后合并同类二次根式即可；
(2) 观察式子特点，先提取第一个括号内的公因式2018，再利用平方差公式计算剩余部分，可大幅简化运算过程。
【解析】
(1) 原式分步计算：
① 计算除法：$\sqrt{54}÷\sqrt{2}=\sqrt{54÷2}=\sqrt{27}=3\sqrt{3}$；
② 计算多项式乘法：
$(3-\sqrt{3})(1+\frac{1}{\sqrt{3}})=3×1 + 3×\frac{1}{\sqrt{3}} - \sqrt{3}×1 - \sqrt{3}×\frac{1}{\sqrt{3}}$
$=3+\sqrt{3}-\sqrt{3}-1=2$；
③ 化简$\sqrt{48}=4\sqrt{3}$，代入原式：
原式$=4\sqrt{3} - 3\sqrt{3} + 2 = \sqrt{3} + 2$。
(2) 原式分步计算：
① 提取公因式：$2018\sqrt{3}+2018\sqrt{2}=2018×(\sqrt{3}+\sqrt{2})$，代入得：
原式$=2018×(\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2})$；
② 利用平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$计算：
$(\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2})=(\sqrt{3})^2 - (\sqrt{2})^2=3-2=1$；
③ 计算最终结果：原式$=2018×1=2018$。
【答案】
(1) $\sqrt{3}+2$；(2) $2018$
【知识点】
二次根式的混合运算；平方差公式；二次根式的化简
【点评】
这两道题重点考察二次根式的运算能力，解题时优先观察式子特征，合理运用运算律和乘法公式，既能提升计算速度，也能减少计算失误。
【难度系数】
0.7
7. 现有一组有规律的数：1，-1，$\sqrt{2}$，-$\sqrt{2}$，$\sqrt{3}$，-$\sqrt{3}$，1，-1，$\sqrt{2}$，-$\sqrt{2}$，$\sqrt{3}$，-$\sqrt{3}$…其中1，-1，$\sqrt{2}$，-$\sqrt{2}$，$\sqrt{3}$，-$\sqrt{3}$这六个数按此规律重复出现。
（1）求第50个数；
（2）把从第1个数开始的前2018个数相加，结果是多少？
（3）从第1个数起，把连续若干个数的平方相加，如果和为520，那么一共是多少个数的平方相加？
（1）求第50个数；
（2）把从第1个数开始的前2018个数相加，结果是多少？
（3）从第1个数起，把连续若干个数的平方相加，如果和为520，那么一共是多少个数的平方相加？
答案
7. 解:(1) 这组数每六个数一个循环，循环顺序为1，-1，$\sqrt{2}$，-$\sqrt{2}$，$\sqrt{3}$，-$\sqrt{3}$。因为50÷6=8……2，所以第50个数是-1。
(2) 因为2 018÷6=336……2，且$1+（-1）+\sqrt{2}+（-\sqrt{2}）+\sqrt{3}+（-\sqrt{3}）=0$，所以从第1个数开始的前2 018个数的和是336×0+1+（-1）=0。
(3) 因为$1^2+（-1）^2+（\sqrt{2}）^2+（-\sqrt{2}）^2+（\sqrt{3}）^2+（-\sqrt{3}）^2=12$，520÷12=43……4，且$1^2+（-1）^2+（\sqrt{2}）^2=4$，所以43×6+3=261，即共有261个数的平方相加。
(2) 因为2 018÷6=336……2，且$1+（-1）+\sqrt{2}+（-\sqrt{2}）+\sqrt{3}+（-\sqrt{3}）=0$，所以从第1个数开始的前2 018个数的和是336×0+1+（-1）=0。
(3) 因为$1^2+（-1）^2+（\sqrt{2}）^2+（-\sqrt{2}）^2+（\sqrt{3}）^2+（-\sqrt{3}）^2=12$，520÷12=43……4，且$1^2+（-1）^2+（\sqrt{2}）^2=4$，所以43×6+3=261，即共有261个数的平方相加。
解析
【分析】
这是一道数字周期规律探究题，解题核心是先明确数列的循环特征：观察可知数列以1，-1，$\sqrt{2}$，-$\sqrt{2}$，$\sqrt{3}$，-$\sqrt{3}$共6个数为一个循环周期。
（1）求第n个数时，用n除以周期6，根据余数对应周期内的位置即可确定所求数，余数为0时对应周期最后一个数；
（2）求前n个数的和时，先计算单个周期内6个数的和，再用总个数除以6得到完整周期数和余下的数的个数，通过“完整周期数×单个周期的和 + 余下数的和”即可算出结果；
（3）求平方和对应的数的个数时，先计算单个周期所有数的平方和，再用总平方和除以单个周期的平方和，得到完整周期数和余下的平方和，判断余下的平方和对应周期内前几个数的平方和，最后通过“完整周期数×6 + 余下数的个数”得到总个数。
【解析】
（1）该数列每6个数为一个循环，循环顺序为1，-1，$\sqrt{2}$，-$\sqrt{2}$，$\sqrt{3}$，-$\sqrt{3}$。
计算得$50÷6 = 8······2$，即包含8个完整周期，余下2个数，对应周期内第2个数为-1，因此第50个数是-1。
（2）先计算单个周期的和：$1+(-1)+\sqrt{2}+(-\sqrt{2})+\sqrt{3}+(-\sqrt{3})=0$
计算得$2018÷6=336······2$，即包含336个完整周期，余下2个数对应周期内前2个数1和-1。
因此前2018个数的和为：$336×0 + 1 + (-1) = 0$。
（3）先计算单个周期所有数的平方和：
$1^2 + (-1)^2 + (\sqrt{2})^2 + (-\sqrt{2})^2 + (\sqrt{3})^2 + (-\sqrt{3})^2 = 1+1+2+2+3+3=12$
计算得$520÷12=43······4$，即包含43个完整周期，余下的平方和为4。
观察得周期内前3个数的平方和为$1^2+(-1)^2+(\sqrt{2})^2=1+1+2=4$，对应3个数。
因此总个数为：$43×6 + 3 = 261$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{-1}$；(2) $\boldsymbol{0}$；(3) $\boldsymbol{261}$
【知识点】
数字周期规律，实数运算，乘方运算
【点评】
本题属于规律探究类基础题，解题关键是先准确找到数列的循环周期，再结合不同问题的要求，通过计算周期数、余数以及对应部分的数值求解，计算时注意余数对应的数的位置不要出错。
【难度系数】
0.7
这是一道数字周期规律探究题，解题核心是先明确数列的循环特征：观察可知数列以1，-1，$\sqrt{2}$，-$\sqrt{2}$，$\sqrt{3}$，-$\sqrt{3}$共6个数为一个循环周期。
（1）求第n个数时，用n除以周期6，根据余数对应周期内的位置即可确定所求数，余数为0时对应周期最后一个数；
（2）求前n个数的和时，先计算单个周期内6个数的和，再用总个数除以6得到完整周期数和余下的数的个数，通过“完整周期数×单个周期的和 + 余下数的和”即可算出结果；
（3）求平方和对应的数的个数时，先计算单个周期所有数的平方和，再用总平方和除以单个周期的平方和，得到完整周期数和余下的平方和，判断余下的平方和对应周期内前几个数的平方和，最后通过“完整周期数×6 + 余下数的个数”得到总个数。
【解析】
（1）该数列每6个数为一个循环，循环顺序为1，-1，$\sqrt{2}$，-$\sqrt{2}$，$\sqrt{3}$，-$\sqrt{3}$。
计算得$50÷6 = 8······2$，即包含8个完整周期，余下2个数，对应周期内第2个数为-1，因此第50个数是-1。
（2）先计算单个周期的和：$1+(-1)+\sqrt{2}+(-\sqrt{2})+\sqrt{3}+(-\sqrt{3})=0$
计算得$2018÷6=336······2$，即包含336个完整周期，余下2个数对应周期内前2个数1和-1。
因此前2018个数的和为：$336×0 + 1 + (-1) = 0$。
（3）先计算单个周期所有数的平方和：
$1^2 + (-1)^2 + (\sqrt{2})^2 + (-\sqrt{2})^2 + (\sqrt{3})^2 + (-\sqrt{3})^2 = 1+1+2+2+3+3=12$
计算得$520÷12=43······4$，即包含43个完整周期，余下的平方和为4。
观察得周期内前3个数的平方和为$1^2+(-1)^2+(\sqrt{2})^2=1+1+2=4$，对应3个数。
因此总个数为：$43×6 + 3 = 261$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{-1}$；(2) $\boldsymbol{0}$；(3) $\boldsymbol{261}$
【知识点】
数字周期规律，实数运算，乘方运算
【点评】
本题属于规律探究类基础题，解题关键是先准确找到数列的循环周期，再结合不同问题的要求，通过计算周期数、余数以及对应部分的数值求解，计算时注意余数对应的数的位置不要出错。
【难度系数】
0.7
