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1. 下图所示是明明和亮亮用正三角形、正方形和矩形拼成的一个图形。已知正三角形和矩形共有一条公共边，矩形内有一个正方形，其四个顶点都在矩形的边上。若正三角形和正方形的面积分别是$2\sqrt{3}$和2，你能求出图中阴影部分的面积吗？
答案
解：
设正三角形的边长为$a$，由正三角形面积公式得：
$\frac{\sqrt{3}}{4}a^2=2\sqrt{3}$
解得$a^2=8$，即$a=2\sqrt{2}$（边长为正，舍去负根）。
设面积为2的正方形的边长为$b$，则：
$b^2=2$
解得$b=\sqrt{2}$（边长为正，舍去负根）。
由题意可知，矩形的长等于正三角形的边长$a=2\sqrt{2}$，矩形的宽等于正方形的边长$b=\sqrt{2}$，因此矩形面积为：
$S_{矩形}=a· b=2\sqrt{2}×\sqrt{2}=4$
阴影部分面积为矩形面积减去内部正方形的面积：
$S_{阴影}=4-2=2$
答：图中阴影部分的面积为2。
设正三角形的边长为$a$，由正三角形面积公式得：
$\frac{\sqrt{3}}{4}a^2=2\sqrt{3}$
解得$a^2=8$，即$a=2\sqrt{2}$（边长为正，舍去负根）。
设面积为2的正方形的边长为$b$，则：
$b^2=2$
解得$b=\sqrt{2}$（边长为正，舍去负根）。
由题意可知，矩形的长等于正三角形的边长$a=2\sqrt{2}$，矩形的宽等于正方形的边长$b=\sqrt{2}$，因此矩形面积为：
$S_{矩形}=a· b=2\sqrt{2}×\sqrt{2}=4$
阴影部分面积为矩形面积减去内部正方形的面积：
$S_{阴影}=4-2=2$
答：图中阴影部分的面积为2。
解析
【分析】
要求阴影部分的面积，首先观察图形可知，阴影部分的面积等于下方大矩形的面积减去中间正方形的面积。因此我们需要先求出大矩形的长和宽：大矩形的长等于上方正三角形的边长，宽等于中间正方形的边长。所以解题步骤为：①利用正三角形的面积公式求出正三角形的边长，即得到矩形的长；②利用正方形面积公式求出正方形的边长，即得到矩形的宽；③计算矩形面积，再减去正方形的面积即可得到阴影部分的面积。
【解析】
解：设正三角形的边长为$a$，根据正三角形面积公式可得：
$\frac{\sqrt{3}}{4}a^2=2\sqrt{3}$
等式两边同时除以$\sqrt{3}$得：$\frac{1}{4}a^2=2$，解得$a^2=8$，因为边长为正数，所以$a=2\sqrt{2}$（舍去负根）。
设面积为2的正方形的边长为$b$，根据正方形面积公式得：
$b^2=2$，因为边长为正数，所以$b=\sqrt{2}$（舍去负根）。
由题意可知，大矩形的长等于正三角形的边长$a=2\sqrt{2}$，大矩形的宽等于正方形的边长$b=\sqrt{2}$，因此大矩形的面积为：
$S_{矩形}=a· b=2\sqrt{2}×\sqrt{2}=4$
阴影部分面积为大矩形面积减去内部正方形的面积：
$S_{阴影}=4-2=2$
【答案】
$\boxed{2}$
【知识点】
正三角形面积计算、正方形面积计算、割补法求面积
【点评】
本题属于基础几何应用题，解题的核心是梳理清楚不同图形边长的等量关系，通过已知面积反推对应边长，再结合割补法计算不规则阴影部分的面积，能够有效检验对基础面积公式的掌握和运用能力。
【难度系数】
0.7
要求阴影部分的面积，首先观察图形可知，阴影部分的面积等于下方大矩形的面积减去中间正方形的面积。因此我们需要先求出大矩形的长和宽：大矩形的长等于上方正三角形的边长，宽等于中间正方形的边长。所以解题步骤为：①利用正三角形的面积公式求出正三角形的边长，即得到矩形的长；②利用正方形面积公式求出正方形的边长，即得到矩形的宽；③计算矩形面积，再减去正方形的面积即可得到阴影部分的面积。
【解析】
解：设正三角形的边长为$a$，根据正三角形面积公式可得：
$\frac{\sqrt{3}}{4}a^2=2\sqrt{3}$
等式两边同时除以$\sqrt{3}$得：$\frac{1}{4}a^2=2$，解得$a^2=8$，因为边长为正数，所以$a=2\sqrt{2}$（舍去负根）。
设面积为2的正方形的边长为$b$，根据正方形面积公式得：
$b^2=2$，因为边长为正数，所以$b=\sqrt{2}$（舍去负根）。
由题意可知，大矩形的长等于正三角形的边长$a=2\sqrt{2}$，大矩形的宽等于正方形的边长$b=\sqrt{2}$，因此大矩形的面积为：
$S_{矩形}=a· b=2\sqrt{2}×\sqrt{2}=4$
阴影部分面积为大矩形面积减去内部正方形的面积：
$S_{阴影}=4-2=2$
【答案】
$\boxed{2}$
【知识点】
正三角形面积计算、正方形面积计算、割补法求面积
【点评】
本题属于基础几何应用题，解题的核心是梳理清楚不同图形边长的等量关系，通过已知面积反推对应边长，再结合割补法计算不规则阴影部分的面积，能够有效检验对基础面积公式的掌握和运用能力。
【难度系数】
0.7
2. 下面是花农李大叔和正读八年级的儿子大勇的对话。
李大叔：我想用一段篱笆围成一个一边靠墙的长方形花圃ABCD（如图所示），AB的长为 $\frac{5}{2}\sqrt{32}$ m，AD的长为 $\frac{7}{3}\sqrt{18}$ m。你帮我算一下围成花圃的面积。
大勇：这可难不倒我，我是这样算的……
你知道大勇是怎样算的吗？写出计算过程。
李大叔：我想用一段篱笆围成一个一边靠墙的长方形花圃ABCD（如图所示），AB的长为 $\frac{5}{2}\sqrt{32}$ m，AD的长为 $\frac{7}{3}\sqrt{18}$ m。你帮我算一下围成花圃的面积。
大勇：这可难不倒我，我是这样算的……
你知道大勇是怎样算的吗？写出计算过程。
答案
解：长方形花圃的面积为相邻两边AB、AD的乘积，计算过程如下：
$\begin{aligned}S_{ABCD}&=AB· AD\\&=\frac{5}{2}\sqrt{32} × \frac{7}{3}\sqrt{18}\\&=\frac{5}{2} × 4\sqrt{2} × \frac{7}{3} × 3\sqrt{2}\\&=10\sqrt{2} × 7\sqrt{2}\\&=10×7× (\sqrt{2})^2\\&=70×2\\&=140\ (\mathrm{m}^2)\end{aligned}$
答：围成花圃的面积为140平方米。
$\begin{aligned}S_{ABCD}&=AB· AD\\&=\frac{5}{2}\sqrt{32} × \frac{7}{3}\sqrt{18}\\&=\frac{5}{2} × 4\sqrt{2} × \frac{7}{3} × 3\sqrt{2}\\&=10\sqrt{2} × 7\sqrt{2}\\&=10×7× (\sqrt{2})^2\\&=70×2\\&=140\ (\mathrm{m}^2)\end{aligned}$
答：围成花圃的面积为140平方米。
解析
【分析】
要计算长方形花圃的面积，首先根据长方形面积公式，可知面积为相邻两边AB和AD的长度乘积。计算时先将两个含二次根式的边长化简为最简二次根式，再利用乘法交换律和结合律，将系数部分与二次根式部分分别相乘，最后结合二次根式的性质计算出最终结果。
【解析】
长方形花圃的面积为相邻两边AB、AD的乘积，计算过程如下：
$\begin{aligned}S_{ABCD}&=AB· AD\\&=\frac{5}{2}\sqrt{32} × \frac{7}{3}\sqrt{18}\\&=\frac{5}{2} × 4\sqrt{2} × \frac{7}{3} × 3\sqrt{2}\\&=10\sqrt{2} × 7\sqrt{2}\\&=10×7× (\sqrt{2})^2\\&=70×2\\&=140\ (\mathrm{m}^2)\end{aligned}$
【答案】
140平方米
【知识点】
长方形面积计算，二次根式化简，二次根式乘法运算
【点评】
本题结合实际生活场景考查二次根式的运算，解题时先明确几何图形的面积公式，再按照二次根式的运算规则逐步计算即可，能锻炼学生将数学知识应用到实际问题的能力。
【难度系数】
0.8
要计算长方形花圃的面积，首先根据长方形面积公式，可知面积为相邻两边AB和AD的长度乘积。计算时先将两个含二次根式的边长化简为最简二次根式，再利用乘法交换律和结合律，将系数部分与二次根式部分分别相乘，最后结合二次根式的性质计算出最终结果。
【解析】
长方形花圃的面积为相邻两边AB、AD的乘积，计算过程如下：
$\begin{aligned}S_{ABCD}&=AB· AD\\&=\frac{5}{2}\sqrt{32} × \frac{7}{3}\sqrt{18}\\&=\frac{5}{2} × 4\sqrt{2} × \frac{7}{3} × 3\sqrt{2}\\&=10\sqrt{2} × 7\sqrt{2}\\&=10×7× (\sqrt{2})^2\\&=70×2\\&=140\ (\mathrm{m}^2)\end{aligned}$
【答案】
140平方米
【知识点】
长方形面积计算，二次根式化简，二次根式乘法运算
【点评】
本题结合实际生活场景考查二次根式的运算，解题时先明确几何图形的面积公式，再按照二次根式的运算规则逐步计算即可，能锻炼学生将数学知识应用到实际问题的能力。
【难度系数】
0.8
