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1. 分解因式：
(1) $8x^2y^2 -4xy^3 -4x^3y$；
(2) $x^2(x-y)+y^2(y-x)$；
(3) $(x+1)(x+2)+\frac{1}{4}$；
(4) $(a^2-4)^2 +6(a^2-4)+9$。
(1) $8x^2y^2 -4xy^3 -4x^3y$；
(2) $x^2(x-y)+y^2(y-x)$；
(3) $(x+1)(x+2)+\frac{1}{4}$；
(4) $(a^2-4)^2 +6(a^2-4)+9$。
答案
1. 解:(1)原式=$-4xy(x-y)^2$.
(2)原式=$(x+y)(x-y)^2$.
(3)原式=$(x+\dfrac{3}{2})^2$.
(4)原式=$(a+1)^2(a-1)^2$.
(2)原式=$(x+y)(x-y)^2$.
(3)原式=$(x+\dfrac{3}{2})^2$.
(4)原式=$(a+1)^2(a-1)^2$.
解析
【分析】
因式分解的常规解题思路为“一提二套三查”：第一步先观察多项式是否有公因式，若有则先提取公因式；第二步根据提取公因式后余下式子的特征，套用完全平方公式或平方差公式继续分解；第三步检查分解结果是否彻底，是否已经分解到不能再分解为止。
针对本题4个小题的具体思考路径如下：
(1) 先找各项的公因式：系数最大公约数为4，各项都含x、y，最低次数均为1，为了后续凑完全平方方便，优先提取负的公因式-4xy，再对余下的式子套用完全平方公式分解即可。
(2) 先将$(y-x)$变形为$-(x-y)$，即可找到公因式$(x-y)$，提取公因式后余下的$x^2-y^2$符合平方差公式特征，继续分解即可，注意相同因式要写成幂的形式。
(3) 先根据多项式乘多项式的法则把前两个括号的乘积展开，合并同类项后得到的二次三项式符合完全平方公式特征，直接套用公式分解即可。
(4) 运用整体思想，将$(a^2-4)$看作一个整体，原式符合完全平方式的特征，先套用完全平方公式分解，再对得到的结果中的$a^2-1$套用平方差公式继续分解，保证分解彻底。
【解析】
(1) 提取公因式$-4xy$：
$\begin{aligned}原式&=-4xy(x^2 - 2xy + y^2)\\&=-4xy(x-y)^2\end{aligned}$
(2) 先统一公因式，再逐步分解：
$\begin{aligned}原式&=x^2(x-y) - y^2(x-y)\\&=(x-y)(x^2 - y^2)\\&=(x-y)(x+y)(x-y)\\&=(x+y)(x-y)^2\end{aligned}$
(3) 先展开多项式再合并，套用完全平方公式：
$\begin{aligned}原式&=x^2 + 3x + 2 + \frac{1}{4}\\&=x^2 + 3x + \frac{9}{4}\\&=(x+\frac{3}{2})^2\end{aligned}$
(4) 用整体思想先套完全平方，再用平方差分解彻底：
$\begin{aligned}原式&=(a^2 - 4 + 3)^2\\&=(a^2 -1)^2\\&=[(a+1)(a-1)]^2\\&=(a+1)^2(a-1)^2\end{aligned}$
【答案】
(1) $-4xy(x-y)^2$
(2) $(x+y)(x-y)^2$
(3) $(x+\dfrac{3}{2})^2$
(4) $(a+1)^2(a-1)^2$
【知识点】
提公因式法，公式法分解因式，整式乘法运算
【点评】
这组题目是因式分解的经典基础题型，覆盖了因式分解的常见考法：包括先提公因式再套用公式、整体思想的运用、先展开化简再分解等，解题时要注意遵循分解步骤，最终结果必须分解到不能再分解为止。
【难度系数】
0.7
因式分解的常规解题思路为“一提二套三查”：第一步先观察多项式是否有公因式，若有则先提取公因式；第二步根据提取公因式后余下式子的特征，套用完全平方公式或平方差公式继续分解；第三步检查分解结果是否彻底，是否已经分解到不能再分解为止。
针对本题4个小题的具体思考路径如下：
(1) 先找各项的公因式：系数最大公约数为4，各项都含x、y，最低次数均为1，为了后续凑完全平方方便，优先提取负的公因式-4xy，再对余下的式子套用完全平方公式分解即可。
(2) 先将$(y-x)$变形为$-(x-y)$，即可找到公因式$(x-y)$，提取公因式后余下的$x^2-y^2$符合平方差公式特征，继续分解即可，注意相同因式要写成幂的形式。
(3) 先根据多项式乘多项式的法则把前两个括号的乘积展开，合并同类项后得到的二次三项式符合完全平方公式特征，直接套用公式分解即可。
(4) 运用整体思想，将$(a^2-4)$看作一个整体，原式符合完全平方式的特征，先套用完全平方公式分解，再对得到的结果中的$a^2-1$套用平方差公式继续分解，保证分解彻底。
【解析】
(1) 提取公因式$-4xy$：
$\begin{aligned}原式&=-4xy(x^2 - 2xy + y^2)\\&=-4xy(x-y)^2\end{aligned}$
(2) 先统一公因式，再逐步分解：
$\begin{aligned}原式&=x^2(x-y) - y^2(x-y)\\&=(x-y)(x^2 - y^2)\\&=(x-y)(x+y)(x-y)\\&=(x+y)(x-y)^2\end{aligned}$
(3) 先展开多项式再合并，套用完全平方公式：
$\begin{aligned}原式&=x^2 + 3x + 2 + \frac{1}{4}\\&=x^2 + 3x + \frac{9}{4}\\&=(x+\frac{3}{2})^2\end{aligned}$
(4) 用整体思想先套完全平方，再用平方差分解彻底：
$\begin{aligned}原式&=(a^2 - 4 + 3)^2\\&=(a^2 -1)^2\\&=[(a+1)(a-1)]^2\\&=(a+1)^2(a-1)^2\end{aligned}$
【答案】
(1) $-4xy(x-y)^2$
(2) $(x+y)(x-y)^2$
(3) $(x+\dfrac{3}{2})^2$
(4) $(a+1)^2(a-1)^2$
【知识点】
提公因式法，公式法分解因式，整式乘法运算
【点评】
这组题目是因式分解的经典基础题型，覆盖了因式分解的常见考法：包括先提公因式再套用公式、整体思想的运用、先展开化简再分解等，解题时要注意遵循分解步骤，最终结果必须分解到不能再分解为止。
【难度系数】
0.7
2. 计算：
(1) $(-\dfrac{a}{b})^2 · (\dfrac{b}{a^2})^2 ÷ (-2ab)^2$；
(2) $(\dfrac{2}{a-b} - \dfrac{1}{a+b}) ÷ \dfrac{ab}{a^2 - b^2}$；
(3)
；
(4) $(a+1 - \dfrac{3}{a-1}) · \dfrac{2a-2}{a+2}$。
(1) $(-\dfrac{a}{b})^2 · (\dfrac{b}{a^2})^2 ÷ (-2ab)^2$；
(2) $(\dfrac{2}{a-b} - \dfrac{1}{a+b}) ÷ \dfrac{ab}{a^2 - b^2}$；
(3)
；(4) $(a+1 - \dfrac{3}{a-1}) · \dfrac{2a-2}{a+2}$。
答案
2. (1)原式=$\dfrac{1}{4a^4b^2}$.
(2)原式=$\dfrac{a+3b}{ab}$.
(3)原式=$\dfrac{-1}{x+4}$.
(4)原式=$2a-4$.
(2)原式=$\dfrac{a+3b}{ab}$.
(3)原式=$\dfrac{-1}{x+4}$.
(4)原式=$2a-4$.
解析
【分析】
本题属于分式的混合运算，解题遵循“先乘除，后加减”的运算顺序：第一步先处理除法运算，将除法转化为乘以除数的倒数，再对分子分母中的多项式因式分解，约分后化简除法部分的结果；第二步计算同分母分式的减法，合并后即可得到最终结果。
【解析】
解：原式 = $\dfrac{x}{x+4} - \dfrac{x^2+2x+1}{x+4} × \dfrac{x-1}{x^2-1}$
利用公式因式分解：$x^2+2x+1=(x+1)^2$，$x^2-1=(x+1)(x-1)$，代入得：
$=\dfrac{x}{x+4} - \dfrac{(x+1)^2}{x+4} × \dfrac{x-1}{(x+1)(x-1)}$
约分后化简：
$=\dfrac{x}{x+4} - \dfrac{x+1}{x+4}$
同分母分式相减，分母不变，分子相减：
$=\dfrac{x - (x+1)}{x+4}$
$=\dfrac{x - x -1}{x+4}$
$=\dfrac{-1}{x+4}$
【答案】
$\dfrac{-1}{x+4}$
【知识点】
分式混合运算，因式分解，分式约分
【点评】
本题是分式运算的基础题型，解题核心是牢记运算顺序，乘除运算阶段先对多项式因式分解再约分，能大幅降低计算量，运算时要注意符号避免出错。
【难度系数】
0.7
本题属于分式的混合运算，解题遵循“先乘除，后加减”的运算顺序：第一步先处理除法运算，将除法转化为乘以除数的倒数，再对分子分母中的多项式因式分解，约分后化简除法部分的结果；第二步计算同分母分式的减法，合并后即可得到最终结果。
【解析】
解：原式 = $\dfrac{x}{x+4} - \dfrac{x^2+2x+1}{x+4} × \dfrac{x-1}{x^2-1}$
利用公式因式分解：$x^2+2x+1=(x+1)^2$，$x^2-1=(x+1)(x-1)$，代入得：
$=\dfrac{x}{x+4} - \dfrac{(x+1)^2}{x+4} × \dfrac{x-1}{(x+1)(x-1)}$
约分后化简：
$=\dfrac{x}{x+4} - \dfrac{x+1}{x+4}$
同分母分式相减，分母不变，分子相减：
$=\dfrac{x - (x+1)}{x+4}$
$=\dfrac{x - x -1}{x+4}$
$=\dfrac{-1}{x+4}$
【答案】
$\dfrac{-1}{x+4}$
【知识点】
分式混合运算，因式分解，分式约分
【点评】
本题是分式运算的基础题型，解题核心是牢记运算顺序，乘除运算阶段先对多项式因式分解再约分，能大幅降低计算量，运算时要注意符号避免出错。
【难度系数】
0.7
