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3. 整理并用好错题本,是提高学习成绩的有效方法之一.下面是小明记录在错题本上的解不等式$\frac{x-1}{3}-\frac{x-3}{2}＜1$的过程和自我反思,请认真阅读并完成相应任务:
任务:
(1)以上求解过程中,去分母这一步的依据★是
A.不等式的性质1 B.不等式的性质2 C.不等式的性质3
(2)第三步出错的原因是
(3)请你帮小明写出正确的解答过程,并在下列数轴上表示该不等式的解集.
任务:
(1)以上求解过程中,去分母这一步的依据★是
B
(填字母);A.不等式的性质1 B.不等式的性质2 C.不等式的性质3
(2)第三步出错的原因是
移项时,-2没有变号
.(3)请你帮小明写出正确的解答过程,并在下列数轴上表示该不等式的解集.
答案
3. 解:(1)B
(2)移项时,-2没有变号
(3)x＞1.该不等式的解集在数轴上表示略.
(2)移项时,-2没有变号
(3)x＞1.该不等式的解集在数轴上表示略.
解析
【分析】
本题考查一元一次不等式的解法及相关性质，解题思路如下：
1. 第(1)问：去分母是给不等式两边同时乘所有分母的最小公倍数（正数），不等号方向不变，对应不等式的性质2即可选出答案；
2. 第(2)问：移项的规则是从不等式一边移到另一边的项需要改变符号，对比运算步骤即可找到错误原因；
3. 第(3)问：按照解一元一次不等式的标准步骤：去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为1逐步计算，最后按规则在数轴上表示解集即可。
【解析】
(1) 去分母时给不等式两边同时乘正数6，不等号方向不变，符合不等式的性质2，故选B；
(2) 移项时，从不等式一侧移到另一侧的项需要改变符号，小明第三步移项时，左侧的-2移到右侧后没有变号，因此出错；
(3) 正确解答过程：
①去分母，两边同时乘6，得$2(x-1)-3(x-3) ＜ 6$
②去括号，得$2x - 2 - 3x + 9 ＜ 6$
③合并同类项，得$-x +7 ＜ 6$
④移项，得$-x ＜ 6 -7$
⑤合并同类项，得$-x ＜ -1$
⑥系数化为1，两边同时乘-1，不等号方向改变，得$x ＞ 1$
解集在数轴上表示方法：在数轴上数字1的位置画空心圆圈，向右画射线即可。
【答案】
(1)B
(2)移项时，-2没有变号
(3)x＞1，该不等式的解集在数轴上表示略
【知识点】
不等式的性质；一元一次不等式的解法；解集的数轴表示
【点评】
本题围绕解一元一次不等式的常见易错点设置问题，能帮助学生厘清每一步的运算规则，有效规避去分母、移项、系数化1等步骤的典型错误，夯实不等式求解的基础。
【难度系数】
0.7
本题考查一元一次不等式的解法及相关性质，解题思路如下：
1. 第(1)问：去分母是给不等式两边同时乘所有分母的最小公倍数（正数），不等号方向不变，对应不等式的性质2即可选出答案；
2. 第(2)问：移项的规则是从不等式一边移到另一边的项需要改变符号，对比运算步骤即可找到错误原因；
3. 第(3)问：按照解一元一次不等式的标准步骤：去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为1逐步计算，最后按规则在数轴上表示解集即可。
【解析】
(1) 去分母时给不等式两边同时乘正数6，不等号方向不变，符合不等式的性质2，故选B；
(2) 移项时，从不等式一侧移到另一侧的项需要改变符号，小明第三步移项时，左侧的-2移到右侧后没有变号，因此出错；
(3) 正确解答过程：
①去分母，两边同时乘6，得$2(x-1)-3(x-3) ＜ 6$
②去括号，得$2x - 2 - 3x + 9 ＜ 6$
③合并同类项，得$-x +7 ＜ 6$
④移项，得$-x ＜ 6 -7$
⑤合并同类项，得$-x ＜ -1$
⑥系数化为1，两边同时乘-1，不等号方向改变，得$x ＞ 1$
解集在数轴上表示方法：在数轴上数字1的位置画空心圆圈，向右画射线即可。
【答案】
(1)B
(2)移项时，-2没有变号
(3)x＞1，该不等式的解集在数轴上表示略
【知识点】
不等式的性质；一元一次不等式的解法；解集的数轴表示
【点评】
本题围绕解一元一次不等式的常见易错点设置问题，能帮助学生厘清每一步的运算规则，有效规避去分母、移项、系数化1等步骤的典型错误，夯实不等式求解的基础。
【难度系数】
0.7
4. 代数式：$A = (a + 1 - \dfrac{3}{a - 1}) ÷ \dfrac{a^2 - 4a + 4}{a - 1}$。
(1)化简代数式$A$；
(2)当$a=3$时，求代数式$A$的值；
(3)若代数式$A$的值为整数，则整数$a$的值为
(1)化简代数式$A$；
(2)当$a=3$时，求代数式$A$的值；
(3)若代数式$A$的值为整数，则整数$a$的值为
-2,0,1,3,4,6
。答案
4. 解:(1)$A=\dfrac{a+2}{a-2}$.
(2)当$a=3$时,$A=\dfrac{3+2}{3-2}=5$.
(3)-2,0,1,3,4,6.
(2)当$a=3$时,$A=\dfrac{3+2}{3-2}=5$.
(3)-2,0,1,3,4,6.
解析
【分析】
(1) 化简代数式A时，先处理括号内的分式减法，将整式a+1通分转化为分母为a-1的分式，合并计算后，再将除法运算转化为乘法运算，对分子分母因式分解后约分即可得到最简形式，运算过程中需遵循分式混合运算的顺序。
(2) 求a=3时A的值，直接将a=3代入化简后的式子计算即可，代入时注意保证分母不为0。
(3) 要使A的值为整数，先将化简后的A变形为“整数+分式”的形式，可知分式部分的分子为4，因此分母a-2必须是4的整数因数，列举所有因数后求出对应的a值即可。
【解析】
(1) 化简A：
$\begin{aligned}A&=(a+1-\frac{3}{a-1})÷\frac{a^2-4a+4}{a-1}\\&=[\frac{(a+1)(a-1)}{a-1}-\frac{3}{a-1}]×\frac{a-1}{(a-2)^2}\\&=\frac{a^2-1-3}{a-1}×\frac{a-1}{(a-2)^2}\\&=\frac{a^2-4}{a-1}×\frac{a-1}{(a-2)^2}\\&=\frac{(a+2)(a-2)}{a-1}×\frac{a-1}{(a-2)^2}\\&=\frac{a+2}{a-2}\end{aligned}$
(2) 当a=3时，代入化简后的式子：
$A=\frac{3+2}{3-2}=5$
(3) 将A变形得：$A=\frac{a+2}{a-2}=\frac{(a-2)+4}{a-2}=1+\frac{4}{a-2}$
因为A为整数，a为整数，所以$\frac{4}{a-2}$为整数，即a-2是4的整数因数，4的因数有±1、±2、±4：
当a-2=1时，a=3；当a-2=-1时，a=1；
当a-2=2时，a=4；当a-2=-2时，a=0；
当a-2=4时，a=6；当a-2=-4时，a=-2；
因此整数a的值为-2,0,1,3,4,6。
【答案】
(1) $A=\dfrac{a+2}{a-2}$
(2) 5
(3) -2,0,1,3,4,6
【知识点】
分式的混合运算，代数式求值，分式整数解
【点评】
本题是分式运算的典型题型，前两问侧重基础运算能力的考察，第三问需要掌握整数因数的分类讨论方法，注意不要遗漏负因数，避免漏解。
【难度系数】
0.6
(1) 化简代数式A时，先处理括号内的分式减法，将整式a+1通分转化为分母为a-1的分式，合并计算后，再将除法运算转化为乘法运算，对分子分母因式分解后约分即可得到最简形式，运算过程中需遵循分式混合运算的顺序。
(2) 求a=3时A的值，直接将a=3代入化简后的式子计算即可，代入时注意保证分母不为0。
(3) 要使A的值为整数，先将化简后的A变形为“整数+分式”的形式，可知分式部分的分子为4，因此分母a-2必须是4的整数因数，列举所有因数后求出对应的a值即可。
【解析】
(1) 化简A：
$\begin{aligned}A&=(a+1-\frac{3}{a-1})÷\frac{a^2-4a+4}{a-1}\\&=[\frac{(a+1)(a-1)}{a-1}-\frac{3}{a-1}]×\frac{a-1}{(a-2)^2}\\&=\frac{a^2-1-3}{a-1}×\frac{a-1}{(a-2)^2}\\&=\frac{a^2-4}{a-1}×\frac{a-1}{(a-2)^2}\\&=\frac{(a+2)(a-2)}{a-1}×\frac{a-1}{(a-2)^2}\\&=\frac{a+2}{a-2}\end{aligned}$
(2) 当a=3时，代入化简后的式子：
$A=\frac{3+2}{3-2}=5$
(3) 将A变形得：$A=\frac{a+2}{a-2}=\frac{(a-2)+4}{a-2}=1+\frac{4}{a-2}$
因为A为整数，a为整数，所以$\frac{4}{a-2}$为整数，即a-2是4的整数因数，4的因数有±1、±2、±4：
当a-2=1时，a=3；当a-2=-1时，a=1；
当a-2=2时，a=4；当a-2=-2时，a=0；
当a-2=4时，a=6；当a-2=-4时，a=-2；
因此整数a的值为-2,0,1,3,4,6。
【答案】
(1) $A=\dfrac{a+2}{a-2}$
(2) 5
(3) -2,0,1,3,4,6
【知识点】
分式的混合运算，代数式求值，分式整数解
【点评】
本题是分式运算的典型题型，前两问侧重基础运算能力的考察，第三问需要掌握整数因数的分类讨论方法，注意不要遗漏负因数，避免漏解。
【难度系数】
0.6
