1. 如图, 在 Rt △ABC 中, ∠ACB=90°,AC=6,BC=4,D是边AC的中点,E是边BC上一点,连接BD,DE.将△CDE沿DE翻折,点C落在BD上的点F处,则 CE=.

$\because D$ 是边 $AC$ 的中点,$\therefore CD=\frac{1}{2}AC=3$,
$\because ∠ ACB=90°,\therefore BD=\sqrt{BC^2+CD^2}=5$,
$\because$ 将 $△ CDE$ 沿 $DE$ 翻折,点 $C$ 落在 $BD$ 上的点 $F$ 处,
$\therefore CD=DF=3,CE=EF,∠ EFD=90°$,
$\therefore BF=BD-DF=2,∠ BFE=90°$,
设 $CE=x$,则 $EF=x,BE=BC-CE=4-x$,
在 $\mathrm{Rt}△ BFE$ 中,由勾股定理,得 $(4-x)^2=x^2+2^2$,
解得 $x=\frac{3}{2},\therefore CE=\frac{3}{2}$.故答案为 $\frac{3}{2}$.

2.如图,把摆钟的摆锤看作一个点,当它摆动到最低点时,摆锤离底座的垂直高度$DE=5\ \mathrm{cm}$,当它摆动到最高点时,摆锤离底座的垂直高度$BF=7\ \mathrm{cm}$,且与摆锤在最低点时的水平距离$BC=10\ \mathrm{cm}$,求钟摆$AD$的长度.

设 $AB=AD=x\ \mathrm{cm}$,依题意得 $BC=10\ \mathrm{cm},CD=CE-DE=7-5=2(\mathrm{cm}),\therefore AC=AD-CD=(x-2)\mathrm{cm}$,
$\because ∠ ACB=90°,\therefore AC^2+BC^2=AB^2$,即 $(x-2)^2+10^2=x^2$,
解得 $x=26$.
答:钟摆 $AD$ 的长度为 $26\ \mathrm{cm}$.

3.「2026江苏泰州姜堰期末」如图,在锐角△ABC中,∠B=45°.
(1)用无刻度的直尺和圆规在AB边上作一点D,使△ACD的周长等于AB+AC.(保留作图痕迹,不写作法)
(2)若BC=$\sqrt{2}$,AC=$\frac{5}{4}$,求AB的长.

(1)如图所示.
(2)由作图可知 $BD=CD,\therefore ∠ BCD=∠ B=45°$,
$\therefore ∠ BDC=90°,\because BC=\sqrt{2},\therefore BD^2+CD^2=2$,
$\therefore BD=CD=1$,
$\because AC=\frac{5}{4},\therefore AD=\sqrt{AC^2-CD^2}=\sqrt{(\frac{5}{4})^2-1^2}=\frac{3}{4}$,
$\therefore AB=BD+AD=\frac{7}{4}$.

4.「2026江苏南京联合体期末」如图,在$△ ABC$中,$∠ C=90°,DA ⊥ AB,DE ⊥ AC$,垂足分别为$A,E$,且$AB=AD$.
(1)求证:$CE=DE-BC$.
(2)若$BC=a,AC=b,AB=c$,连接$BD,CD$,利用不同方法计算四边形$ABCD$的面积,证明勾股定理.

(1)$\because DA ⊥ AB,DE ⊥ AC,\therefore ∠ BAD=∠ AED=90°=∠ C,\therefore ∠ EAD+∠ D=90°=∠ BAC+∠ EAD$,
$\therefore ∠ BAC=∠ D$,
在 $△ BAC$ 和 $△ ADE$ 中,$\begin{cases}∠ C=∠ AED,\\∠ BAC=∠ D,\\AB=DA,\end{cases}$
$\therefore △ BAC ≌ △ ADE(\mathrm{AAS}),\therefore BC=AE,AC=DE$,
$\because CE=AC-AE,\therefore CE=DE-BC$.
(2)$\because △ BAC ≌ △ ADE,\therefore AE=BC=a,DE=AC=b,AD=AB=c$,
$\because S_{\mathrm{四边形}ABCD}=S_{△ ABD}+S_{△ BCD}=\frac{c^2}{2}+\frac{a(b-a)}{2}=\frac{c^2+ab-a^2}{2}$,
$S_{\mathrm{四边形}ABCD}=S_{△ ABC}+S_{△ AED}+S_{△ ECD}=\frac{ab}{2}+\frac{ab}{2}+\frac{b(b-a)}{2}=\frac{b^2+ab}{2},\therefore \frac{c^2+ab-a^2}{2}=\frac{b^2+ab}{2},\therefore a^2+b^2=c^2$.

5.「2026江苏扬州梅岭中学教育集团期末改编」下列各组数中,是“勾股数”的是 ()

A.$1,\sqrt{2},\sqrt{3}$
B.$0.3,0.4,0.5$
C.$2,3,4$
D.$7,24,25$

D D选项中,7,24,25都是正整数,且$7^2+24^2=625=25^2$,故是勾股数.故选D.

6.「2026江苏盐城东台期末」如图，校园里有一块四边形的空地ABCD，AB=20 m，BC=24 m，CD=15 m，AD=25 m，过点A修一条小路AE，E是BC的中点，且AE=16 m.
(1)证明：$AE ⊥ BC$.
(2)求这块空地的面积.

(1)$\because E$ 是 $BC$ 的中点,$BC=24\ \mathrm{m},\therefore BE=CE=\frac{1}{2}BC=12\ \mathrm{m},\because AB=20\ \mathrm{m},AE=16\ \mathrm{m},\therefore BE^2+AE^2=400=AB^2,\therefore ∠ AEB=90°,\therefore AE ⊥ BC$.
(2)连接 $AC$(图略),$\because AE ⊥ BC,E$ 是 $BC$ 的中点,$\therefore AE$ 垂直平分 $BC,\therefore AC=AB=20\ \mathrm{m},\because CD=15\ \mathrm{m},AD=25\ \mathrm{m},\therefore AC^2+CD^2=625=AD^2,\therefore ∠ ACD=90°,\therefore$ 四边形 $ABCD$ 的面积为 $\frac{1}{2}BC· AE+\frac{1}{2}CD· AC=\frac{1}{2}×24×16+\frac{1}{2}×15×20=342(\mathrm{m}^2)$.
$\therefore$ 这块空地的面积为 $342\ \mathrm{m}^2$.