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13. ★★ 数学文化 幻方 幻方是一种中国传统游戏，它是将从1到若干个数的自然数排成纵、横各为若干个数的正方形，使在同一行、同一列和同一对角线上的几个数的和都相等.类比幻方，我们给出如图所示的方格，要使方格中横向、纵向及对角线方向上的实数相乘的结果都相等，则A,B,C，D之积为
20
.答案
13.20 【点拨】对角线方向上的实数相乘的结果为$5\sqrt{2}×\sqrt{10}×\sqrt{2}=10\sqrt{10}$.根据方格中横向、纵向及对角线方向上的实数相乘的结果都相等,得$A×5×\sqrt{2}=10\sqrt{10}$,解得$A=2\sqrt{5}$;$B×\sqrt{10}×10=10\sqrt{10}$,解得$B=1$;$5×\sqrt{10}×C=10\sqrt{10}$,解得$C=2$;$\sqrt{2}×10×D=10\sqrt{10}$,解得$D=\sqrt{5}$,所以A,B,C,D之积为$2\sqrt{5}×1×2×\sqrt{5}=20$.
解析
【分析】
本题属于类比幻方的新定义运算题，核心规则是横向、纵向及对角线上三个数的乘积相等。解题时首先找到三个数均已知的对角线，计算得到公共乘积；再分别根据A、B、C、D所在行或列的乘积等于公共乘积，依次求出四个未知数的值；最后计算四个数的乘积即可。
【解析】
1. 计算公共乘积
观察从右上到左下的对角线，三个数分别为$5\sqrt{2}$、$\sqrt{10}$、$\sqrt{2}$，乘积为：
$5\sqrt{2} × \sqrt{10} × \sqrt{2} = 5× (\sqrt{2}×\sqrt{2}) × \sqrt{10} = 5×2×\sqrt{10} = 10\sqrt{10}$
即所有行、列、对角线的乘积均为$10\sqrt{10}$。
2. 分别求解A、B、C、D的值
①求A：A在第一列，满足$A × 5 × \sqrt{2} = 10\sqrt{10}$
$A = \frac{10\sqrt{10}}{5\sqrt{2}} = 2\sqrt{5}$
②求B：B在第二列，满足$B × \sqrt{10} × 10 = 10\sqrt{10}$
$B = \frac{10\sqrt{10}}{10\sqrt{10}} = 1$
③求C：C在第二行，满足$5 × \sqrt{10} × C = 10\sqrt{10}$
$C = \frac{10\sqrt{10}}{5\sqrt{10}} = 2$
④求D：D在第三行，满足$\sqrt{2} × 10 × D = 10\sqrt{10}$
$D = \frac{10\sqrt{10}}{10\sqrt{2}} = \sqrt{5}$
3. 计算A、B、C、D的乘积
$A× B× C× D = 2\sqrt{5} × 1 × 2 × \sqrt{5} = 4×5 = 20$
【答案】
20
【知识点】
二次根式乘除运算，新定义运算，代数式求值
【点评】
本题结合传统幻方文化设计，形式新颖，既考查了二次根式的运算能力，也考查了对新规则的理解与应用能力，解题的突破口是先求出所有行、列、对角线的公共乘积。
【难度系数】
0.7
本题属于类比幻方的新定义运算题，核心规则是横向、纵向及对角线上三个数的乘积相等。解题时首先找到三个数均已知的对角线，计算得到公共乘积；再分别根据A、B、C、D所在行或列的乘积等于公共乘积，依次求出四个未知数的值；最后计算四个数的乘积即可。
【解析】
1. 计算公共乘积
观察从右上到左下的对角线，三个数分别为$5\sqrt{2}$、$\sqrt{10}$、$\sqrt{2}$，乘积为：
$5\sqrt{2} × \sqrt{10} × \sqrt{2} = 5× (\sqrt{2}×\sqrt{2}) × \sqrt{10} = 5×2×\sqrt{10} = 10\sqrt{10}$
即所有行、列、对角线的乘积均为$10\sqrt{10}$。
2. 分别求解A、B、C、D的值
①求A：A在第一列，满足$A × 5 × \sqrt{2} = 10\sqrt{10}$
$A = \frac{10\sqrt{10}}{5\sqrt{2}} = 2\sqrt{5}$
②求B：B在第二列，满足$B × \sqrt{10} × 10 = 10\sqrt{10}$
$B = \frac{10\sqrt{10}}{10\sqrt{10}} = 1$
③求C：C在第二行，满足$5 × \sqrt{10} × C = 10\sqrt{10}$
$C = \frac{10\sqrt{10}}{5\sqrt{10}} = 2$
④求D：D在第三行，满足$\sqrt{2} × 10 × D = 10\sqrt{10}$
$D = \frac{10\sqrt{10}}{10\sqrt{2}} = \sqrt{5}$
3. 计算A、B、C、D的乘积
$A× B× C× D = 2\sqrt{5} × 1 × 2 × \sqrt{5} = 4×5 = 20$
【答案】
20
【知识点】
二次根式乘除运算，新定义运算，代数式求值
【点评】
本题结合传统幻方文化设计，形式新颖，既考查了二次根式的运算能力，也考查了对新规则的理解与应用能力，解题的突破口是先求出所有行、列、对角线的公共乘积。
【难度系数】
0.7
14. 七巧板是大家熟悉的一种益智玩具.用七巧板能拼出许多有趣的图案.小李将一块等腰直角三角形硬纸板(如图①)切割成七块,正好制成一副七巧板(如图②).已知$AB=40\ \mathrm{cm}$,且$OH^2+OE^2=HE^2$,则图中阴影部分的面积为
50
$\mathrm{cm}^2$.答案
14.50 【点拨】如图,设$OF=EF=FG=x$ cm,
所以$OE=OH=2x$ cm,所以$EH=2\sqrt{2}x$ cm. 因为$AB=40$ cm,所以由题意得$EH=20$ cm,所以$20=2\sqrt{2}x$,所以$x=5\sqrt{2}$,所以阴影部分的面积为$(5\sqrt{2})^2=50(\mathrm{cm}^2)$.解析
【分析】
解题时首先明确七巧板是由左侧等腰直角三角形切割拼接而成，切割前后总面积不变。首先观察右侧七巧板的结构，阴影部分为小正方形，先设和阴影边长相关的未知数，再结合七巧板中各等腰直角三角形的边长关系，用含未知数的式子表示出拼成的正方形的边长；再根据左侧大等腰直角三角形的斜边长度求出其面积，进而得到拼成的正方形的边长；最后列方程求出未知数，计算阴影部分正方形的面积即可。
【解析】
设$OF=EF=FG=x\ \mathrm{cm}$，观察七巧板的结构可得$OE=OH=2x\ \mathrm{cm}$。
在$\mathrm{Rt}△ OEH$中，由勾股定理$OH^2+OE^2=HE^2$，可得：
$HE=\sqrt{OE^2+OH^2}=\sqrt{(2x)^2+(2x)^2}=2\sqrt{2}x\ \mathrm{cm}$。
已知等腰直角$△ ABC$的斜边$AB=40\ \mathrm{cm}$，其面积为$\frac{1}{2}× AB× \frac{AB}{2}=\frac{40^2}{4}=400\ \mathrm{cm}^2$。
因为七巧板切割前后总面积不变，所以正方形$EFGH$的面积等于$△ ABC$的面积，即$HE^2=400$，解得$HE=20\ \mathrm{cm}$。
由此可得方程$2\sqrt{2}x=20$，解得$x=5\sqrt{2}$。
阴影部分为边长为$x$的正方形，其面积为$x^2=(5\sqrt{2})^2=50\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】
50
【知识点】
勾股定理，等腰直角三角形的性质，二次根式的运算
【点评】
本题结合七巧板的益智背景命题，解题的核心是抓住七巧板切割前后面积不变的特点，理清各块图形的边长数量关系，将几何图形性质和方程思想结合求解，考查了学生的识图能力和知识应用能力。
【难度系数】
0.6
解题时首先明确七巧板是由左侧等腰直角三角形切割拼接而成，切割前后总面积不变。首先观察右侧七巧板的结构，阴影部分为小正方形，先设和阴影边长相关的未知数，再结合七巧板中各等腰直角三角形的边长关系，用含未知数的式子表示出拼成的正方形的边长；再根据左侧大等腰直角三角形的斜边长度求出其面积，进而得到拼成的正方形的边长；最后列方程求出未知数，计算阴影部分正方形的面积即可。
【解析】
设$OF=EF=FG=x\ \mathrm{cm}$，观察七巧板的结构可得$OE=OH=2x\ \mathrm{cm}$。
在$\mathrm{Rt}△ OEH$中，由勾股定理$OH^2+OE^2=HE^2$，可得：
$HE=\sqrt{OE^2+OH^2}=\sqrt{(2x)^2+(2x)^2}=2\sqrt{2}x\ \mathrm{cm}$。
已知等腰直角$△ ABC$的斜边$AB=40\ \mathrm{cm}$，其面积为$\frac{1}{2}× AB× \frac{AB}{2}=\frac{40^2}{4}=400\ \mathrm{cm}^2$。
因为七巧板切割前后总面积不变，所以正方形$EFGH$的面积等于$△ ABC$的面积，即$HE^2=400$，解得$HE=20\ \mathrm{cm}$。
由此可得方程$2\sqrt{2}x=20$，解得$x=5\sqrt{2}$。
阴影部分为边长为$x$的正方形，其面积为$x^2=(5\sqrt{2})^2=50\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】
50
【知识点】
勾股定理，等腰直角三角形的性质，二次根式的运算
【点评】
本题结合七巧板的益智背景命题，解题的核心是抓住七巧板切割前后面积不变的特点，理清各块图形的边长数量关系，将几何图形性质和方程思想结合求解，考查了学生的识图能力和知识应用能力。
【难度系数】
0.6
15. [秦皇岛市自主招生] 正数$ a,b $满足$ a\sqrt{1-b^2} + b\sqrt{1-a^2} = 1 $，则$ a^2 + b^2 $的值为
1
。答案
15.1 【点拨】因为$a\sqrt{1-b^2}+b\sqrt{1-a^2}=1$,两边平方得$a^2(1-b^2)+b^2(1-a^2)+2ab·\sqrt{1-a^2-b^2+a^2b^2}=1$,整理得$1-a^2-b^2+a^2b^2-2ab\sqrt{1-a^2-b^2+a^2b^2}+a^2b^2=0$,所以$(\sqrt{1-a^2-b^2+a^2b^2}-ab)^2=0$,所以$\sqrt{1-a^2-b^2+a^2b^2}=ab$,所以$1-a^2-b^2+a^2b^2=a^2b^2$,所以$a^2+b^2=1$.
解析
【分析】
本题是已知含二次根式的等式求代数式的值，可按以下思路解题：①观察等式特征，式子中含有两个二次根式，要去掉根号可采用等式两边平方的方法，结合a、b是正数的条件，可保证平方后等式仍然成立，同时注意根号下被开方数非负；②平方展开后对式子整理，观察结构可凑成完全平方形式，利用平方的非负性化简；③再次平方去掉剩余根号，化简后即可求出$a^2+b^2$的值。
【解析】
已知正数$a、b$满足$a\sqrt{1-b^2} + b\sqrt{1-a^2} = 1$，由二次根式有意义的条件得$1-b^2≥0$，$1-a^2≥0$。
将等式两边平方，得：
$(a\sqrt{1-b^2} + b\sqrt{1-a^2})^2 = 1^2$
展开左边得：
$a^2(1-b^2) + b^2(1-a^2) + 2ab·\sqrt{(1-a^2)(1-b^2)} = 1$
整理前项并展开根号内的乘积：
$a^2 + b^2 - 2a^2b^2 + 2ab·\sqrt{1 - a^2 - b^2 + a^2b^2} = 1$
移项整理得：
$1 - a^2 - b^2 + a^2b^2 - 2ab\sqrt{1 - a^2 - b^2 + a^2b^2} + a^2b^2 = 0$
上式符合完全平方公式结构，变形为：
$(\sqrt{1 - a^2 - b^2 + a^2b^2} - ab)^2 = 0$
由平方的非负性得：
$\sqrt{1 - a^2 - b^2 + a^2b^2} = ab$
两边再次平方，得：
$1 - a^2 - b^2 + a^2b^2 = a^2b^2$
消去两边的$a^2b^2$，整理得：
$a^2 + b^2 = 1$
【答案】
$1$
【知识点】
二次根式的运算；完全平方公式；平方的非负性
【点评】
本题解题核心是用平方法去掉二次根号，通过整理构造完全平方式简化运算，解题过程中要注意二次根式有意义的条件，保证变形前后的等价性。
【难度系数】
0.6
本题是已知含二次根式的等式求代数式的值，可按以下思路解题：①观察等式特征，式子中含有两个二次根式，要去掉根号可采用等式两边平方的方法，结合a、b是正数的条件，可保证平方后等式仍然成立，同时注意根号下被开方数非负；②平方展开后对式子整理，观察结构可凑成完全平方形式，利用平方的非负性化简；③再次平方去掉剩余根号，化简后即可求出$a^2+b^2$的值。
【解析】
已知正数$a、b$满足$a\sqrt{1-b^2} + b\sqrt{1-a^2} = 1$，由二次根式有意义的条件得$1-b^2≥0$，$1-a^2≥0$。
将等式两边平方，得：
$(a\sqrt{1-b^2} + b\sqrt{1-a^2})^2 = 1^2$
展开左边得：
$a^2(1-b^2) + b^2(1-a^2) + 2ab·\sqrt{(1-a^2)(1-b^2)} = 1$
整理前项并展开根号内的乘积：
$a^2 + b^2 - 2a^2b^2 + 2ab·\sqrt{1 - a^2 - b^2 + a^2b^2} = 1$
移项整理得：
$1 - a^2 - b^2 + a^2b^2 - 2ab\sqrt{1 - a^2 - b^2 + a^2b^2} + a^2b^2 = 0$
上式符合完全平方公式结构，变形为：
$(\sqrt{1 - a^2 - b^2 + a^2b^2} - ab)^2 = 0$
由平方的非负性得：
$\sqrt{1 - a^2 - b^2 + a^2b^2} = ab$
两边再次平方，得：
$1 - a^2 - b^2 + a^2b^2 = a^2b^2$
消去两边的$a^2b^2$，整理得：
$a^2 + b^2 = 1$
【答案】
$1$
【知识点】
二次根式的运算；完全平方公式；平方的非负性
【点评】
本题解题核心是用平方法去掉二次根号，通过整理构造完全平方式简化运算，解题过程中要注意二次根式有意义的条件，保证变形前后的等价性。
【难度系数】
0.6
16. 已知$a=\sqrt{6}-2,b=\sqrt{6}+2.$
(1)求$a^2+3ab$的值.
(2)若$c=2\sqrt{5}$,试判断以$a,b,c$为三边长的三角形的形状,并说明理由.
(1)求$a^2+3ab$的值.
(2)若$c=2\sqrt{5}$,试判断以$a,b,c$为三边长的三角形的形状,并说明理由.
答案
16.【解】(1)因为$a=\sqrt{6}-2,b=\sqrt{6}+2$,所以$a^2+3ab=(\sqrt{6}-2)^2+3(\sqrt{6}-2)×(\sqrt{6}+2)=6-4\sqrt{6}+4+3×(6-4)=16-4\sqrt{6}$.
(2)以a,b,c为三边长的三角形是直角三角形.理由:因为$a=\sqrt{6}-2,b=\sqrt{6}+2,c=2\sqrt{5}$,所以$a^2=(\sqrt{6}-2)^2=10-4\sqrt{6}$,$b^2=(\sqrt{6}+2)^2=10+4\sqrt{6}$,$c^2=(2\sqrt{5})^2=20$,所以$a^2+b^2=c^2$,所以以a,b,c为三边长的三角形是直角三角形.
(2)以a,b,c为三边长的三角形是直角三角形.理由:因为$a=\sqrt{6}-2,b=\sqrt{6}+2,c=2\sqrt{5}$,所以$a^2=(\sqrt{6}-2)^2=10-4\sqrt{6}$,$b^2=(\sqrt{6}+2)^2=10+4\sqrt{6}$,$c^2=(2\sqrt{5})^2=20$,所以$a^2+b^2=c^2$,所以以a,b,c为三边长的三角形是直角三角形.
解析
【分析】
(1) 求代数式的值可直接将a、b的表达式代入计算，观察a和b的形式，ab符合平方差公式的特征，计算时可利用乘法公式简化运算，先分别求出$a^2$和3ab的值，再相加即可得到结果。
(2) 判断三边构成的三角形形状，可运用勾股定理的逆定理，先分别计算三条边的平方，验证是否存在两边平方和等于第三边的平方，若满足则为直角三角形。
【解析】
(1) 已知$a=\sqrt{6}-2$，$b=\sqrt{6}+2$，代入代数式得：
$\begin{aligned}a^2+3ab&=(\sqrt{6}-2)^2+3×(\sqrt{6}-2)(\sqrt{6}+2)\\&=6-4\sqrt{6}+4+3×(6-4)\\&=10-4\sqrt{6}+6\\&=16-4\sqrt{6}\end{aligned}$
(2) 以a、b、c为三边长的三角形是直角三角形，理由如下：
分别计算三边的平方：
$a^2=(\sqrt{6}-2)^2=10-4\sqrt{6}$，
$b^2=(\sqrt{6}+2)^2=10+4\sqrt{6}$，
$c^2=(2\sqrt{5})^2=20$，
则$a^2+b^2=(10-4\sqrt{6})+(10+4\sqrt{6})=20=c^2$，符合勾股定理的逆定理的条件，因此该三角形是直角三角形。
【答案】
(1) $16-4\sqrt{6}$；(2) 直角三角形
【知识点】
二次根式的运算，乘法公式，勾股定理的逆定理
【点评】
本题将二次根式运算和三角形形状判定相结合，解题时灵活运用完全平方公式、平方差公式可简化计算过程，验证勾股逆定理时注意准确计算各边的平方即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
(1) 求代数式的值可直接将a、b的表达式代入计算，观察a和b的形式，ab符合平方差公式的特征，计算时可利用乘法公式简化运算，先分别求出$a^2$和3ab的值，再相加即可得到结果。
(2) 判断三边构成的三角形形状，可运用勾股定理的逆定理，先分别计算三条边的平方，验证是否存在两边平方和等于第三边的平方，若满足则为直角三角形。
【解析】
(1) 已知$a=\sqrt{6}-2$，$b=\sqrt{6}+2$，代入代数式得：
$\begin{aligned}a^2+3ab&=(\sqrt{6}-2)^2+3×(\sqrt{6}-2)(\sqrt{6}+2)\\&=6-4\sqrt{6}+4+3×(6-4)\\&=10-4\sqrt{6}+6\\&=16-4\sqrt{6}\end{aligned}$
(2) 以a、b、c为三边长的三角形是直角三角形，理由如下：
分别计算三边的平方：
$a^2=(\sqrt{6}-2)^2=10-4\sqrt{6}$，
$b^2=(\sqrt{6}+2)^2=10+4\sqrt{6}$，
$c^2=(2\sqrt{5})^2=20$，
则$a^2+b^2=(10-4\sqrt{6})+(10+4\sqrt{6})=20=c^2$，符合勾股定理的逆定理的条件，因此该三角形是直角三角形。
【答案】
(1) $16-4\sqrt{6}$；(2) 直角三角形
【知识点】
二次根式的运算，乘法公式，勾股定理的逆定理
【点评】
本题将二次根式运算和三角形形状判定相结合，解题时灵活运用完全平方公式、平方差公式可简化计算过程，验证勾股逆定理时注意准确计算各边的平方即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
17. ★★★ 新考法 阅读类比法 阅读下面的材料，解答问题：
两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么我们就说这两个代数式互为有理化因式。例如：$\sqrt{a}$与$\sqrt{a}$，$\sqrt{2}+1$与$\sqrt{2}-1$。这样，化简一个分母含有二次根式的式子时，采用分子、分母同乘分母的有理化因式的方法就可以了。例如：$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{2}×\sqrt{3}}{\sqrt{3}×\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{6}}{3}$，$\frac{2}{3-\sqrt{3}}=\frac{2(3+\sqrt{3})}{(3-\sqrt{3})(3+\sqrt{3})}=\frac{2(3+\sqrt{3})}{9-3}=\frac{2(3+\sqrt{3})}{6}=\frac{3+\sqrt{3}}{3}$。
(1)请你写出$3+\sqrt{11}$的有理化因式：
(2)请仿照上面给出的方法化简$\frac{1-b}{1-\sqrt{b}}$（$b≥0$且$b≠1$）；
(3)已知$a=\frac{1}{\sqrt{3}-2}$，$b=\frac{1}{\sqrt{3}+2}$，求$\sqrt{a^2+b^2+2}$的值。
两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么我们就说这两个代数式互为有理化因式。例如：$\sqrt{a}$与$\sqrt{a}$，$\sqrt{2}+1$与$\sqrt{2}-1$。这样，化简一个分母含有二次根式的式子时，采用分子、分母同乘分母的有理化因式的方法就可以了。例如：$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{2}×\sqrt{3}}{\sqrt{3}×\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{6}}{3}$，$\frac{2}{3-\sqrt{3}}=\frac{2(3+\sqrt{3})}{(3-\sqrt{3})(3+\sqrt{3})}=\frac{2(3+\sqrt{3})}{9-3}=\frac{2(3+\sqrt{3})}{6}=\frac{3+\sqrt{3}}{3}$。
(1)请你写出$3+\sqrt{11}$的有理化因式：
$3-\sqrt{11}$(答案不唯一)
；(2)请仿照上面给出的方法化简$\frac{1-b}{1-\sqrt{b}}$（$b≥0$且$b≠1$）；
(3)已知$a=\frac{1}{\sqrt{3}-2}$，$b=\frac{1}{\sqrt{3}+2}$，求$\sqrt{a^2+b^2+2}$的值。
答案
17.【解】(1)$3-\sqrt{11}$(答案不唯一)
(2)$原式=\frac{(1-b)(1+\sqrt{b})}{(1-\sqrt{b})(1+\sqrt{b})}=\frac{(1-b)(1+\sqrt{b})}{1-b}=1+\sqrt{b}$.
(3)$a=\frac{1}{\sqrt{3}-2}=\frac{\sqrt{3}+2}{(\sqrt{3}-2)(\sqrt{3}+2)}=-\sqrt{3}-2$,
$b=\frac{1}{\sqrt{3}+2}=\frac{\sqrt{3}-2}{(\sqrt{3}+2)(\sqrt{3}-2)}=-\sqrt{3}+2$.
把a,b的值代入,得$\sqrt{a^2+b^2+2}=\sqrt{7+4\sqrt{3}+7-4\sqrt{3}+2}=\sqrt{16}=4$.
(2)$原式=\frac{(1-b)(1+\sqrt{b})}{(1-\sqrt{b})(1+\sqrt{b})}=\frac{(1-b)(1+\sqrt{b})}{1-b}=1+\sqrt{b}$.
(3)$a=\frac{1}{\sqrt{3}-2}=\frac{\sqrt{3}+2}{(\sqrt{3}-2)(\sqrt{3}+2)}=-\sqrt{3}-2$,
$b=\frac{1}{\sqrt{3}+2}=\frac{\sqrt{3}-2}{(\sqrt{3}+2)(\sqrt{3}-2)}=-\sqrt{3}+2$.
把a,b的值代入,得$\sqrt{a^2+b^2+2}=\sqrt{7+4\sqrt{3}+7-4\sqrt{3}+2}=\sqrt{16}=4$.
解析
【分析】
(1) 根据有理化因式的定义，两个含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式即为互为有理化因式，结合平方差公式的特征，将原式中的加号改为减号，即可得到对应的有理化因式；
(2) 化简分母含二次根式的式子，只需给分子、分母同乘分母的有理化因式，利用平方差公式计算分母后约分即可得到结果；
(3) 先对a、b分别做分母有理化，得到a、b的最简形式，再将a、b代入所求二次根式中，利用完全平方公式计算平方项，合并后开算术平方根即可。
【解析】
(1) 因为$(3+\sqrt{11})(3-\sqrt{11})=3^2-(\sqrt{11})^2=9-11=-2$，积不含二次根式，所以$3+\sqrt{11}$的有理化因式为$3-\sqrt{11}$（答案不唯一）。
(2) 给分子、分母同乘分母的有理化因式$1+\sqrt{b}$：
$\begin{aligned}原式&=\frac{(1-b)(1+\sqrt{b})}{(1-\sqrt{b})(1+\sqrt{b})}\\&=\frac{(1-b)(1+\sqrt{b})}{1-b}\\&=1+\sqrt{b}\quad (b≥0且b≠1)\end{aligned}$
(3) 先对a、b分母有理化：
$\begin{aligned}a&=\frac{1}{\sqrt{3}-2}=\frac{\sqrt{3}+2}{(\sqrt{3}-2)(\sqrt{3}+2)}=\frac{\sqrt{3}+2}{3-4}=-\sqrt{3}-2,\\b&=\frac{1}{\sqrt{3}+2}=\frac{\sqrt{3}-2}{(\sqrt{3}+2)(\sqrt{3}-2)}=\frac{\sqrt{3}-2}{3-4}=-\sqrt{3}+2,\end{aligned}$
计算平方项代入得：
$\begin{aligned}\sqrt{a^2+b^2+2}&=\sqrt{(-\sqrt{3}-2)^2+(-\sqrt{3}+2)^2+2}\\&=\sqrt{(7+4\sqrt{3})+(7-4\sqrt{3})+2}\\&=\sqrt{16}=4\end{aligned}$
【答案】
(1) $3-\sqrt{11}$（答案不唯一）；(2) $1+\sqrt{b}$；(3) $4$
【知识点】
有理化因式；分母有理化；二次根式化简求值
【点评】
本题属于新定义阅读类题型，重点考查二次根式的运算方法，解题核心是熟练运用平方差公式完成分母有理化，求解代数求值类问题时，先化简字母的值再代入，能有效降低运算量，减少计算错误。
【难度系数】
0.7
(1) 根据有理化因式的定义，两个含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式即为互为有理化因式，结合平方差公式的特征，将原式中的加号改为减号，即可得到对应的有理化因式；
(2) 化简分母含二次根式的式子，只需给分子、分母同乘分母的有理化因式，利用平方差公式计算分母后约分即可得到结果；
(3) 先对a、b分别做分母有理化，得到a、b的最简形式，再将a、b代入所求二次根式中，利用完全平方公式计算平方项，合并后开算术平方根即可。
【解析】
(1) 因为$(3+\sqrt{11})(3-\sqrt{11})=3^2-(\sqrt{11})^2=9-11=-2$，积不含二次根式，所以$3+\sqrt{11}$的有理化因式为$3-\sqrt{11}$（答案不唯一）。
(2) 给分子、分母同乘分母的有理化因式$1+\sqrt{b}$：
$\begin{aligned}原式&=\frac{(1-b)(1+\sqrt{b})}{(1-\sqrt{b})(1+\sqrt{b})}\\&=\frac{(1-b)(1+\sqrt{b})}{1-b}\\&=1+\sqrt{b}\quad (b≥0且b≠1)\end{aligned}$
(3) 先对a、b分母有理化：
$\begin{aligned}a&=\frac{1}{\sqrt{3}-2}=\frac{\sqrt{3}+2}{(\sqrt{3}-2)(\sqrt{3}+2)}=\frac{\sqrt{3}+2}{3-4}=-\sqrt{3}-2,\\b&=\frac{1}{\sqrt{3}+2}=\frac{\sqrt{3}-2}{(\sqrt{3}+2)(\sqrt{3}-2)}=\frac{\sqrt{3}-2}{3-4}=-\sqrt{3}+2,\end{aligned}$
计算平方项代入得：
$\begin{aligned}\sqrt{a^2+b^2+2}&=\sqrt{(-\sqrt{3}-2)^2+(-\sqrt{3}+2)^2+2}\\&=\sqrt{(7+4\sqrt{3})+(7-4\sqrt{3})+2}\\&=\sqrt{16}=4\end{aligned}$
【答案】
(1) $3-\sqrt{11}$（答案不唯一）；(2) $1+\sqrt{b}$；(3) $4$
【知识点】
有理化因式；分母有理化；二次根式化简求值
【点评】
本题属于新定义阅读类题型，重点考查二次根式的运算方法，解题核心是熟练运用平方差公式完成分母有理化，求解代数求值类问题时，先化简字母的值再代入，能有效降低运算量，减少计算错误。
【难度系数】
0.7
