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1. 在式子$\sqrt{\dfrac{x}{2}}(x＞0),\sqrt{2},\sqrt{y+1}(y=-2),\sqrt{-2x}(x＜0),3,\sqrt{\dfrac{1}{x^2+1}},\sqrt[3]{20},x+y$中，二次根式有（
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
C
）A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
答案
1.C 【点方法】判断一个式子是不是二次根式,要看所给的式子是否具备以下条件:(1)带二次根号“$\sqrt{\ \ }$”；(2)被开方数是非负数。
解析
【分析】
要判断式子是不是二次根式，首先回忆二次根式的判定条件：一是必须带有二次根号“$\sqrt{\ \ }$”，二是被开方数必须是非负数（即大于等于0），两个条件同时满足才是二次根式。接下来我们逐个验证给出的式子，最后统计符合条件的数量即可得到答案。
【解析】
根据二次根式的判定条件逐一分析：
1. $\sqrt{\dfrac{x}{2}}(x＞0)$：带有二次根号，且$x＞0$时$\dfrac{x}{2}＞0$，被开方数为正，是二次根式；
2. $\sqrt{2}$：带有二次根号，被开方数$2＞0$，是二次根式；
3. $\sqrt{y+1}(y=-2)$：代入$y=-2$得被开方数为$y+1=-1＜0$，无意义，不是二次根式；
4. $\sqrt{-2x}(x＜0)$：带有二次根号，$x＜0$时$-2x＞0$，被开方数为正，是二次根式；
5. $3$：不含二次根号，不是二次根式；
6. $\sqrt{\dfrac{1}{x^2+1}}$：带有二次根号，$x^2≥0$，因此$x^2+1≥1＞0$，被开方数为正，是二次根式；
7. $\sqrt[3]{20}$：是三次根号，不属于二次根号，不是二次根式；
8. $x+y$：不含二次根号，不是二次根式。
综上，符合条件的二次根式共4个。
【答案】
C
【知识点】
二次根式的定义，被开方数的非负性
【点评】
本题是二次根式判定的基础题，解题关键是牢记二次根式的两个判定条件，分析时不要忽略题目给出的未知数取值范围，同时注意区分三次根式、整式等非二次根式的形式，避免多算或漏算。
【难度系数】
0.75
要判断式子是不是二次根式，首先回忆二次根式的判定条件：一是必须带有二次根号“$\sqrt{\ \ }$”，二是被开方数必须是非负数（即大于等于0），两个条件同时满足才是二次根式。接下来我们逐个验证给出的式子，最后统计符合条件的数量即可得到答案。
【解析】
根据二次根式的判定条件逐一分析：
1. $\sqrt{\dfrac{x}{2}}(x＞0)$：带有二次根号，且$x＞0$时$\dfrac{x}{2}＞0$，被开方数为正，是二次根式；
2. $\sqrt{2}$：带有二次根号，被开方数$2＞0$，是二次根式；
3. $\sqrt{y+1}(y=-2)$：代入$y=-2$得被开方数为$y+1=-1＜0$，无意义，不是二次根式；
4. $\sqrt{-2x}(x＜0)$：带有二次根号，$x＜0$时$-2x＞0$，被开方数为正，是二次根式；
5. $3$：不含二次根号，不是二次根式；
6. $\sqrt{\dfrac{1}{x^2+1}}$：带有二次根号，$x^2≥0$，因此$x^2+1≥1＞0$，被开方数为正，是二次根式；
7. $\sqrt[3]{20}$：是三次根号，不属于二次根号，不是二次根式；
8. $x+y$：不含二次根号，不是二次根式。
综上，符合条件的二次根式共4个。
【答案】
C
【知识点】
二次根式的定义，被开方数的非负性
【点评】
本题是二次根式判定的基础题，解题关键是牢记二次根式的两个判定条件，分析时不要忽略题目给出的未知数取值范围，同时注意区分三次根式、整式等非二次根式的形式，避免多算或漏算。
【难度系数】
0.75
2. 若式子$\sqrt{2m - 3} + (3m - 6)^0$有意义，则$m$的值可以是（
A.$\frac{2}{3}$
B.$-\frac{3}{2}$
C.3
D.2
C
）A.$\frac{2}{3}$
B.$-\frac{3}{2}$
C.3
D.2
答案
2.C
解析
【分析】
要确定式子有意义时m的可取数值，首先需明确式子包含的两部分的有意义条件：一是二次根式的被开方数必须是非负数，二是零指数幂的底数不能为0。我们先分别列出两个条件对应的不等式，联立求出m的取值范围，再逐一比对选项，选出符合范围的数值即可。
【解析】
要使$\sqrt{2m - 3} + (3m - 6)^0$有意义，需同时满足以下两个条件：
1. 二次根式的被开方数非负：
$2m - 3 ≥ 0$
解得：$m ≥ \frac{3}{2}$（即$m ≥ 1.5$）
2. 零指数幂的底数不为0：
$3m - 6 ≠ 0$
解得：$m ≠ 2$
综上，m的取值范围为$m ≥ \frac{3}{2}$且$m ≠ 2$。
逐一比对选项：
A. $\frac{2}{3} ＜ 1.5$，不符合要求；
B. $-\frac{3}{2} ＜ 1.5$，不符合要求；
C. $3 ≥ 1.5$且$3 ≠ 2$，符合要求；
D. $m=2$时零指数幂无意义，不符合要求。
因此本题选C。
【答案】
C
【知识点】
二次根式有意义的条件，零指数幂有意义的条件
【点评】
本题是代数式有意义的典型考题，解题时需注意要同时满足式子中所有部分的成立条件，取各条件的公共解集，零指数幂底数不能为0是本题的易错点，解题时不要遗漏该限制条件。
【难度系数】
0.7
要确定式子有意义时m的可取数值，首先需明确式子包含的两部分的有意义条件：一是二次根式的被开方数必须是非负数，二是零指数幂的底数不能为0。我们先分别列出两个条件对应的不等式，联立求出m的取值范围，再逐一比对选项，选出符合范围的数值即可。
【解析】
要使$\sqrt{2m - 3} + (3m - 6)^0$有意义，需同时满足以下两个条件：
1. 二次根式的被开方数非负：
$2m - 3 ≥ 0$
解得：$m ≥ \frac{3}{2}$（即$m ≥ 1.5$）
2. 零指数幂的底数不为0：
$3m - 6 ≠ 0$
解得：$m ≠ 2$
综上，m的取值范围为$m ≥ \frac{3}{2}$且$m ≠ 2$。
逐一比对选项：
A. $\frac{2}{3} ＜ 1.5$，不符合要求；
B. $-\frac{3}{2} ＜ 1.5$，不符合要求；
C. $3 ≥ 1.5$且$3 ≠ 2$，符合要求；
D. $m=2$时零指数幂无意义，不符合要求。
因此本题选C。
【答案】
C
【知识点】
二次根式有意义的条件，零指数幂有意义的条件
【点评】
本题是代数式有意义的典型考题，解题时需注意要同时满足式子中所有部分的成立条件，取各条件的公共解集，零指数幂底数不能为0是本题的易错点，解题时不要遗漏该限制条件。
【难度系数】
0.7
3. 计算$\sqrt{\frac{1}{2}} × \sqrt{8}$的结果是 （
A.6
B.4
C.2
D.1
C
）A.6
B.4
C.2
D.1
答案
3.C
解析
【分析】
本题考查二次根式的乘法运算，解题有两种常用思路：① 直接利用二次根式的乘法法则$\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab}$（$a≥0,b≥0$），先将两个被开方数相乘，再对得到的二次根式化简得到结果；② 先将两个二次根式分别化为最简二次根式，再进行乘法运算，最终算出结果即可。
【解析】
方法一：利用二次根式乘法法则计算
根据$\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab}$（$a≥0,b≥0$）可得：
$\sqrt{\frac{1}{2}} × \sqrt{8} = \sqrt{\frac{1}{2}×8} = \sqrt{4} = 2$
方法二：先化简再计算
先将两个二次根式化为最简形式：
$\sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$，$\sqrt{8}=2\sqrt{2}$
再进行乘法运算：
$\sqrt{\frac{1}{2}} × \sqrt{8} = \frac{\sqrt{2}}{2} × 2\sqrt{2} = \sqrt{2}×\sqrt{2} = 2$
综上计算结果为2，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
二次根式的乘法；二次根式的化简
【点评】
本题属于基础运算题，核心考查二次根式的乘法运算法则，熟练掌握运算法则、灵活选择计算方法可以提升解题速度和准确率，计算时要注意最终结果需化为最简形式。
【难度系数】
0.9
本题考查二次根式的乘法运算，解题有两种常用思路：① 直接利用二次根式的乘法法则$\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab}$（$a≥0,b≥0$），先将两个被开方数相乘，再对得到的二次根式化简得到结果；② 先将两个二次根式分别化为最简二次根式，再进行乘法运算，最终算出结果即可。
【解析】
方法一：利用二次根式乘法法则计算
根据$\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab}$（$a≥0,b≥0$）可得：
$\sqrt{\frac{1}{2}} × \sqrt{8} = \sqrt{\frac{1}{2}×8} = \sqrt{4} = 2$
方法二：先化简再计算
先将两个二次根式化为最简形式：
$\sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$，$\sqrt{8}=2\sqrt{2}$
再进行乘法运算：
$\sqrt{\frac{1}{2}} × \sqrt{8} = \frac{\sqrt{2}}{2} × 2\sqrt{2} = \sqrt{2}×\sqrt{2} = 2$
综上计算结果为2，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
二次根式的乘法；二次根式的化简
【点评】
本题属于基础运算题，核心考查二次根式的乘法运算法则，熟练掌握运算法则、灵活选择计算方法可以提升解题速度和准确率，计算时要注意最终结果需化为最简形式。
【难度系数】
0.9
4. [2026 重庆期末] 估算$\sqrt{2} × (\sqrt{18} + \sqrt{3})$的结果在（
A.5和6之间
B.6和7之间
C.7和8之间
D.8和9之间
D
）A.5和6之间
B.6和7之间
C.7和8之间
D.8和9之间
答案
4.D 【点拨】$\sqrt{2}×(\sqrt{18}+\sqrt{3})=\sqrt{2}×\sqrt{18}+\sqrt{2}×\sqrt{3}=\sqrt{36}+\sqrt{6}=6+\sqrt{6}$. 因为$\sqrt{4}＜\sqrt{6}＜\sqrt{9}$,所以$2＜\sqrt{6}＜3$,所以$8＜6+\sqrt{6}＜9$,故选D.
解析
【分析】
解题时首先观察算式结构，有括号且括号外是二次根式，可先运用乘法分配律去括号，再根据二次根式的乘法法则分别计算两项乘积，化简得到整数加最简二次根式的形式；接下来估算最简二次根式的大小，找到和被开方数相邻的两个完全平方数，即可确定该无理数的取值范围，最后相加得到原式的取值范围，对应选项选出答案即可。
【解析】
首先利用乘法分配律展开算式：
$\sqrt{2} × (\sqrt{18} + \sqrt{3})=\sqrt{2}×\sqrt{18}+\sqrt{2}×\sqrt{3}$
根据二次根式乘法法则$\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab}(a≥0,b≥0)$计算：
$\sqrt{2}×\sqrt{18}=\sqrt{2×18}=\sqrt{36}=6$，$\sqrt{2}×\sqrt{3}=\sqrt{2×3}=\sqrt{6}$
因此原式化简为$6+\sqrt{6}$。
接下来估算$\sqrt{6}$的范围：
因为$4＜6＜9$，所以$\sqrt{4}＜\sqrt{6}＜\sqrt{9}$，即$2＜\sqrt{6}＜3$。
不等式各边同时加6可得：$6+2＜6+\sqrt{6}＜6+3$，也就是$8＜6+\sqrt{6}＜9$。
所以原式的结果在8和9之间。
【答案】
D
【知识点】
二次根式乘法运算；无理数大小估算；乘法分配律
【点评】
本题是二次根式运算和无理数估算的综合基础题，解题核心是先正确运用二次根式的运算法则化简原式，再通过找相邻完全平方数的方法估算无理数的范围，进而得到整个式子的取值区间。
【难度系数】
0.75
解题时首先观察算式结构，有括号且括号外是二次根式，可先运用乘法分配律去括号，再根据二次根式的乘法法则分别计算两项乘积，化简得到整数加最简二次根式的形式；接下来估算最简二次根式的大小，找到和被开方数相邻的两个完全平方数，即可确定该无理数的取值范围，最后相加得到原式的取值范围，对应选项选出答案即可。
【解析】
首先利用乘法分配律展开算式：
$\sqrt{2} × (\sqrt{18} + \sqrt{3})=\sqrt{2}×\sqrt{18}+\sqrt{2}×\sqrt{3}$
根据二次根式乘法法则$\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab}(a≥0,b≥0)$计算：
$\sqrt{2}×\sqrt{18}=\sqrt{2×18}=\sqrt{36}=6$，$\sqrt{2}×\sqrt{3}=\sqrt{2×3}=\sqrt{6}$
因此原式化简为$6+\sqrt{6}$。
接下来估算$\sqrt{6}$的范围：
因为$4＜6＜9$，所以$\sqrt{4}＜\sqrt{6}＜\sqrt{9}$，即$2＜\sqrt{6}＜3$。
不等式各边同时加6可得：$6+2＜6+\sqrt{6}＜6+3$，也就是$8＜6+\sqrt{6}＜9$。
所以原式的结果在8和9之间。
【答案】
D
【知识点】
二次根式乘法运算；无理数大小估算；乘法分配律
【点评】
本题是二次根式运算和无理数估算的综合基础题，解题核心是先正确运用二次根式的运算法则化简原式，再通过找相邻完全平方数的方法估算无理数的范围，进而得到整个式子的取值区间。
【难度系数】
0.75
5. 新题型结论开放题 若一个无理数a与$\sqrt{8}$的积是一个有理数，写出a的一个值是
$\sqrt{2}$(答案不唯一)
。答案
5.$\sqrt{2}$(答案不唯一)
解析
【分析】
解题时首先化简$\sqrt{8}$，可得$\sqrt{8}=2\sqrt{2}$；要满足无理数$a$与$\sqrt{8}$的乘积为有理数，只需让$a$的根号部分和$\sqrt{2}$相乘后根号可以消去（即乘积的被开方数为完全平方数），同时保证$a$本身是无理数即可，最简单的取值就是$a=\sqrt{2}$。
【解析】
第一步：化简$\sqrt{8}$：
$\sqrt{8}=\sqrt{4×2}=\sqrt{4}×\sqrt{2}=2\sqrt{2}$
第二步：选取符合要求的无理数$a$，例如取$a=\sqrt{2}$，验证乘积：
$a×\sqrt{8}=\sqrt{2}×2\sqrt{2}=2×(\sqrt{2}×\sqrt{2})=2×2=4$
4是有理数，且$\sqrt{2}$是无理数，符合题目的要求。
注：只要是$\sqrt{2}$的非零有理数倍的无理数都符合要求，答案不唯一。
【答案】
$\sqrt{2}$(答案不唯一)
【知识点】
二次根式化简、二次根式乘法运算、无理数的概念
【点评】
本题属于开放型基础题，考查对二次根式运算规则和无理数定义的掌握，解题时注意不要忽略$a$为无理数的限制条件，答案不唯一，符合要求即可。
【难度系数】
0.8
解题时首先化简$\sqrt{8}$，可得$\sqrt{8}=2\sqrt{2}$；要满足无理数$a$与$\sqrt{8}$的乘积为有理数，只需让$a$的根号部分和$\sqrt{2}$相乘后根号可以消去（即乘积的被开方数为完全平方数），同时保证$a$本身是无理数即可，最简单的取值就是$a=\sqrt{2}$。
【解析】
第一步：化简$\sqrt{8}$：
$\sqrt{8}=\sqrt{4×2}=\sqrt{4}×\sqrt{2}=2\sqrt{2}$
第二步：选取符合要求的无理数$a$，例如取$a=\sqrt{2}$，验证乘积：
$a×\sqrt{8}=\sqrt{2}×2\sqrt{2}=2×(\sqrt{2}×\sqrt{2})=2×2=4$
4是有理数，且$\sqrt{2}$是无理数，符合题目的要求。
注：只要是$\sqrt{2}$的非零有理数倍的无理数都符合要求，答案不唯一。
【答案】
$\sqrt{2}$(答案不唯一)
【知识点】
二次根式化简、二次根式乘法运算、无理数的概念
【点评】
本题属于开放型基础题，考查对二次根式运算规则和无理数定义的掌握，解题时注意不要忽略$a$为无理数的限制条件，答案不唯一，符合要求即可。
【难度系数】
0.8
6. 中华传统文化 云雾茶 庐山云雾茶历史悠久，是中国名茶系列之一.如图是庐山云雾茶的一种包装铁盒，若其内部是底面半径为$2\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$，深为$6\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$的圆柱，则其容积为
$120\sqrt{2}π$
$\mathrm{cm}^3$（结果保留根号和$π$）. 答案
6.$120\sqrt{2}π$
解析
【分析】
要计算该圆柱包装铁盒的容积，本质是求内部圆柱的体积。首先回忆圆柱体积（容积）公式：$V=π r^2 h$，其中$r$为底面半径，$h$为圆柱的高（本题即铁盒内部深度）。解题时先代入半径计算底面积，再乘深度，计算过程中按照二次根式的乘法运算法则逐步运算即可。
【解析】
圆柱容积公式为$V=π r^2 h$，由题可知$r=2\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$，$h=6\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$。
第一步：计算底面半径的平方：
$r^2=(2\sqrt{5})^2=2^2×(\sqrt{5})^2=4×5=20$
第二步：代入容积公式计算：
$V=π×20×6\sqrt{2}=120\sqrt{2}π\ (\mathrm{cm}^3)$
【答案】
$120\sqrt{2}π$
【知识点】
圆柱体积计算，二次根式的乘法运算
【点评】
本题结合传统茶文化的生活场景命题，既考查了基础几何体容积的计算方法，也检验了二次根式的运算能力，计算时注意二次根式平方的运算规则，避免出现系数或根号部分的计算错误。
【难度系数】
0.8
要计算该圆柱包装铁盒的容积，本质是求内部圆柱的体积。首先回忆圆柱体积（容积）公式：$V=π r^2 h$，其中$r$为底面半径，$h$为圆柱的高（本题即铁盒内部深度）。解题时先代入半径计算底面积，再乘深度，计算过程中按照二次根式的乘法运算法则逐步运算即可。
【解析】
圆柱容积公式为$V=π r^2 h$，由题可知$r=2\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$，$h=6\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$。
第一步：计算底面半径的平方：
$r^2=(2\sqrt{5})^2=2^2×(\sqrt{5})^2=4×5=20$
第二步：代入容积公式计算：
$V=π×20×6\sqrt{2}=120\sqrt{2}π\ (\mathrm{cm}^3)$
【答案】
$120\sqrt{2}π$
【知识点】
圆柱体积计算，二次根式的乘法运算
【点评】
本题结合传统茶文化的生活场景命题，既考查了基础几何体容积的计算方法，也检验了二次根式的运算能力，计算时注意二次根式平方的运算规则，避免出现系数或根号部分的计算错误。
【难度系数】
0.8
7.计算:(1)$\frac{1}{3}\sqrt{27} × \frac{1}{2}\sqrt{12}$；
(2)$(\sqrt{5}-\sqrt{3})^2(8+2\sqrt{15})$。
(2)$(\sqrt{5}-\sqrt{3})^2(8+2\sqrt{15})$。
答案
7.【解】(1)$原式=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×(\sqrt{27}×\sqrt{12})$
$=\frac{1}{6}×18$
$=3$.
(2)$原式=[(\sqrt{5})^2+(\sqrt{3})^2-2×\sqrt{5}×\sqrt{3}](8+2\sqrt{15})$
$=(8-2\sqrt{15})(8+2\sqrt{15})$
$=64-60=4$.
$=\frac{1}{6}×18$
$=3$.
(2)$原式=[(\sqrt{5})^2+(\sqrt{3})^2-2×\sqrt{5}×\sqrt{3}](8+2\sqrt{15})$
$=(8-2\sqrt{15})(8+2\sqrt{15})$
$=64-60=4$.
解析
【分析】
(1) 对于二次根式乘法运算，可依据二次根式乘法法则，先将系数分别相乘作为积的系数，再将被开方数相乘作为积的被开方数，最后化简结果即可。
(2) 先观察式子结构，前半部分是两个二次根式的差的平方，先用完全平方公式展开，展开后得到的式子与后半部分的多项式刚好符合平方差公式的结构，再用平方差公式计算，能大幅简化运算，避免复杂计算。
【解析】
(1) 原式$=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×(\sqrt{27}×\sqrt{12})$
$=\frac{1}{6}×\sqrt{27×12}$
$=\frac{1}{6}×\sqrt{324}$
$=\frac{1}{6}×18$
$=3$
(2) 原式$=[(\sqrt{5})^2+(\sqrt{3})^2-2×\sqrt{5}×\sqrt{3}](8+2\sqrt{15})$
$=(8-2\sqrt{15})(8+2\sqrt{15})$
$=8^2-(2\sqrt{15})^2$
$=64-4×15$
$=64-60$
$=4$
【答案】
(1)$3$；(2)$4$
【知识点】
二次根式的乘法、完全平方公式、平方差公式
【点评】
本题是二次根式运算的常规题，解题时优先观察式子特征，灵活运用乘法公式可简化计算过程，同时要注意运算结果需化为最简形式。
【难度系数】
0.8
(1) 对于二次根式乘法运算，可依据二次根式乘法法则，先将系数分别相乘作为积的系数，再将被开方数相乘作为积的被开方数，最后化简结果即可。
(2) 先观察式子结构，前半部分是两个二次根式的差的平方，先用完全平方公式展开，展开后得到的式子与后半部分的多项式刚好符合平方差公式的结构，再用平方差公式计算，能大幅简化运算，避免复杂计算。
【解析】
(1) 原式$=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×(\sqrt{27}×\sqrt{12})$
$=\frac{1}{6}×\sqrt{27×12}$
$=\frac{1}{6}×\sqrt{324}$
$=\frac{1}{6}×18$
$=3$
(2) 原式$=[(\sqrt{5})^2+(\sqrt{3})^2-2×\sqrt{5}×\sqrt{3}](8+2\sqrt{15})$
$=(8-2\sqrt{15})(8+2\sqrt{15})$
$=8^2-(2\sqrt{15})^2$
$=64-4×15$
$=64-60$
$=4$
【答案】
(1)$3$；(2)$4$
【知识点】
二次根式的乘法、完全平方公式、平方差公式
【点评】
本题是二次根式运算的常规题，解题时优先观察式子特征，灵活运用乘法公式可简化计算过程，同时要注意运算结果需化为最简形式。
【难度系数】
0.8
8. [2026 苏州期中] 下列计算错误的是 （
A.$\sqrt{2} × \sqrt{3} = \sqrt{6}$
B.$\sqrt{8} ÷ \sqrt{2} = 2$
C.$\sqrt{18} ÷ \sqrt{2} = 9$
D.$\sqrt{(-3)^2} = 3$
C
）A.$\sqrt{2} × \sqrt{3} = \sqrt{6}$
B.$\sqrt{8} ÷ \sqrt{2} = 2$
C.$\sqrt{18} ÷ \sqrt{2} = 9$
D.$\sqrt{(-3)^2} = 3$
答案
8.C
解析
【分析】
本题要求选出计算错误的选项，解题核心是熟练运用二次根式的乘除运算法则和二次根式的性质，逐个验证每个选项的计算结果是否正确即可。
【解析】
我们依次对每个选项进行计算验证：
A选项：根据二次根式乘法法则$\sqrt{a} × \sqrt{b} = \sqrt{ab}$（$a≥0,b≥0$），可得$\sqrt{2} × \sqrt{3} = \sqrt{2×3} = \sqrt{6}$，计算正确；
B选项：根据二次根式除法法则$\sqrt{a} ÷ \sqrt{b} = \sqrt{\frac{a}{b}}$（$a≥0,b＞0$），可得$\sqrt{8} ÷ \sqrt{2} = \sqrt{\frac{8}{2}} = \sqrt{4} = 2$，计算正确；
C选项：同理运用二次根式除法法则，$\sqrt{18} ÷ \sqrt{2} = \sqrt{\frac{18}{2}} = \sqrt{9} = 3$，选项给出结果为9，计算错误；
D选项：根据二次根式性质$\sqrt{a^2} = |a|$，可得$\sqrt{(-3)^2} = |-3| = 3$，计算正确。
综上，计算错误的是C选项。
【答案】
C
【知识点】
二次根式的乘法运算、二次根式的除法运算、二次根式的性质
【点评】
本题属于基础题，主要考查二次根式的基础运算规则与化简性质，熟练牢记相关公式即可快速判断正误。
【难度系数】
0.8
本题要求选出计算错误的选项，解题核心是熟练运用二次根式的乘除运算法则和二次根式的性质，逐个验证每个选项的计算结果是否正确即可。
【解析】
我们依次对每个选项进行计算验证：
A选项：根据二次根式乘法法则$\sqrt{a} × \sqrt{b} = \sqrt{ab}$（$a≥0,b≥0$），可得$\sqrt{2} × \sqrt{3} = \sqrt{2×3} = \sqrt{6}$，计算正确；
B选项：根据二次根式除法法则$\sqrt{a} ÷ \sqrt{b} = \sqrt{\frac{a}{b}}$（$a≥0,b＞0$），可得$\sqrt{8} ÷ \sqrt{2} = \sqrt{\frac{8}{2}} = \sqrt{4} = 2$，计算正确；
C选项：同理运用二次根式除法法则，$\sqrt{18} ÷ \sqrt{2} = \sqrt{\frac{18}{2}} = \sqrt{9} = 3$，选项给出结果为9，计算错误；
D选项：根据二次根式性质$\sqrt{a^2} = |a|$，可得$\sqrt{(-3)^2} = |-3| = 3$，计算正确。
综上，计算错误的是C选项。
【答案】
C
【知识点】
二次根式的乘法运算、二次根式的除法运算、二次根式的性质
【点评】
本题属于基础题，主要考查二次根式的基础运算规则与化简性质，熟练牢记相关公式即可快速判断正误。
【难度系数】
0.8
9. 已知$a＞0,b＞0$，长方形的面积为$\frac{2}{3}\sqrt{a^2b^3}$，长为$\frac{1}{2}\sqrt{ab^2}$，则这个长方形的宽为
$\frac{4}{3}\sqrt{ab}$
。答案
9.$\frac{4}{3}\sqrt{ab}$
解析
【分析】
要计算长方形的宽，首先回忆长方形面积公式：长方形面积=长×宽，变形可得宽=面积÷长。接下来将已知的面积和长代入公式，再根据二次根式的除法运算法则计算即可，计算时要注意系数和被开方数分别运算，最后结合$a＞0、b＞0$的条件将结果化为最简二次根式。
【解析】
根据长方形面积公式可得：
长方形的宽 = 面积 ÷ 长
将已知数值代入计算：
$\begin{aligned}\mathrm{宽}&=\frac{2}{3}\sqrt{a^2b^3} ÷ \frac{1}{2}\sqrt{ab^2} \\&= ( \frac{2}{3} ÷ \frac{1}{2} ) × \sqrt{a^2b^3 ÷ ab^2} \\&= \frac{4}{3} × \sqrt{ab}\end{aligned}$
【答案】
$\frac{4}{3}\sqrt{ab}$
【知识点】
长方形面积公式；二次根式的除法运算；二次根式化简
【点评】
本题是二次根式运算的实际应用问题，解题关键是熟练掌握二次根式的除法法则，计算时可将系数和被开方数分开运算，最后确保结果为最简二次根式即可。
【难度系数】
0.8
要计算长方形的宽，首先回忆长方形面积公式：长方形面积=长×宽，变形可得宽=面积÷长。接下来将已知的面积和长代入公式，再根据二次根式的除法运算法则计算即可，计算时要注意系数和被开方数分别运算，最后结合$a＞0、b＞0$的条件将结果化为最简二次根式。
【解析】
根据长方形面积公式可得：
长方形的宽 = 面积 ÷ 长
将已知数值代入计算：
$\begin{aligned}\mathrm{宽}&=\frac{2}{3}\sqrt{a^2b^3} ÷ \frac{1}{2}\sqrt{ab^2} \\&= ( \frac{2}{3} ÷ \frac{1}{2} ) × \sqrt{a^2b^3 ÷ ab^2} \\&= \frac{4}{3} × \sqrt{ab}\end{aligned}$
【答案】
$\frac{4}{3}\sqrt{ab}$
【知识点】
长方形面积公式；二次根式的除法运算；二次根式化简
【点评】
本题是二次根式运算的实际应用问题，解题关键是熟练掌握二次根式的除法法则，计算时可将系数和被开方数分开运算，最后确保结果为最简二次根式即可。
【难度系数】
0.8
10. 计算：
(1) $\frac{\sqrt{32} - \sqrt{8}}{\sqrt{2}}$；
(2) $\frac{\sqrt{20} + \sqrt{125}}{\sqrt{5}} + 5$；
(3) $\sqrt{\frac{b}{5}} ÷ \sqrt{\frac{b}{20a^2}} \ (a＞0,b＞0)$。
(1) $\frac{\sqrt{32} - \sqrt{8}}{\sqrt{2}}$；
(2) $\frac{\sqrt{20} + \sqrt{125}}{\sqrt{5}} + 5$；
(3) $\sqrt{\frac{b}{5}} ÷ \sqrt{\frac{b}{20a^2}} \ (a＞0,b＞0)$。
答案
10.【解】(1)$原式=\sqrt{\frac{32}{2}}-\sqrt{\frac{8}{2}}=\sqrt{16}-\sqrt{4}=4-2=2$.
(2)$原式=\sqrt{\frac{20}{5}}+\sqrt{\frac{125}{5}}+5=\sqrt{4}+\sqrt{25}+5=2+5+5=12$.
(3)$原式=\sqrt{\frac{b}{5}·\frac{20a^2}{b}}=\sqrt{4a^2}=2a$.
(2)$原式=\sqrt{\frac{20}{5}}+\sqrt{\frac{125}{5}}+5=\sqrt{4}+\sqrt{25}+5=2+5+5=12$.
(3)$原式=\sqrt{\frac{b}{5}·\frac{20a^2}{b}}=\sqrt{4a^2}=2a$.
解析
【分析】
这三道题均考查二次根式的除法相关运算，解题思路如下：1. 对于形如$(\sqrt{m}\pm\sqrt{n})/\sqrt{k}$的式子，可以利用二次根式除法法则的推广，将分子的每一项分别除以分母的二次根式，即转化为$\sqrt{\frac{m}{k}}\pm\sqrt{\frac{n}{k}}$，再分别计算开方，比先化简分子再约分更简便；2. 对于两个二次根式相除的形式，可直接运用二次根式的除法法则$\sqrt{a}÷\sqrt{b}=\sqrt{\frac{a}{b}}$（$a≥0,b＞0$），先将被开方数相除，再化简为最简二次根式即可，注意题目给出的$a＞0、b＞0$的条件，开方时结果为正。
【解析】
(1) 利用二次根式除法法则拆分计算：
原式$=\sqrt{\frac{32}{2}}-\sqrt{\frac{8}{2}}=\sqrt{16}-\sqrt{4}=4-2=2$
(2) 同理拆分计算，最后加上常数项：
原式$=\sqrt{\frac{20}{5}}+\sqrt{\frac{125}{5}}+5=\sqrt{4}+\sqrt{25}+5=2+5+5=12$
(3) 先将除法转化为被开方数的乘法运算，再约分化简：
原式$=\sqrt{\frac{b}{5}÷\frac{b}{20a^2}}=\sqrt{\frac{b}{5}·\frac{20a^2}{b}}=\sqrt{4a^2}$
$\because a＞0$，$\therefore\sqrt{4a^2}=2a$
【答案】
(1)$2$；(2)$12$；(3)$2a$
【知识点】
二次根式的除法法则，二次根式的化简，二次根式的性质
【点评】
本题属于二次根式运算的基础题，解题时可灵活运用除法法则简化计算步骤，注意含字母的二次根式开方时要结合给定的字母取值范围确定结果的符号，最终运算结果需化为最简形式。
【难度系数】
0.75
这三道题均考查二次根式的除法相关运算，解题思路如下：1. 对于形如$(\sqrt{m}\pm\sqrt{n})/\sqrt{k}$的式子，可以利用二次根式除法法则的推广，将分子的每一项分别除以分母的二次根式，即转化为$\sqrt{\frac{m}{k}}\pm\sqrt{\frac{n}{k}}$，再分别计算开方，比先化简分子再约分更简便；2. 对于两个二次根式相除的形式，可直接运用二次根式的除法法则$\sqrt{a}÷\sqrt{b}=\sqrt{\frac{a}{b}}$（$a≥0,b＞0$），先将被开方数相除，再化简为最简二次根式即可，注意题目给出的$a＞0、b＞0$的条件，开方时结果为正。
【解析】
(1) 利用二次根式除法法则拆分计算：
原式$=\sqrt{\frac{32}{2}}-\sqrt{\frac{8}{2}}=\sqrt{16}-\sqrt{4}=4-2=2$
(2) 同理拆分计算，最后加上常数项：
原式$=\sqrt{\frac{20}{5}}+\sqrt{\frac{125}{5}}+5=\sqrt{4}+\sqrt{25}+5=2+5+5=12$
(3) 先将除法转化为被开方数的乘法运算，再约分化简：
原式$=\sqrt{\frac{b}{5}÷\frac{b}{20a^2}}=\sqrt{\frac{b}{5}·\frac{20a^2}{b}}=\sqrt{4a^2}$
$\because a＞0$，$\therefore\sqrt{4a^2}=2a$
【答案】
(1)$2$；(2)$12$；(3)$2a$
【知识点】
二次根式的除法法则，二次根式的化简，二次根式的性质
【点评】
本题属于二次根式运算的基础题，解题时可灵活运用除法法则简化计算步骤，注意含字母的二次根式开方时要结合给定的字母取值范围确定结果的符号，最终运算结果需化为最简形式。
【难度系数】
0.75
11. 如果$\sqrt{3} · \sqrt{\dfrac{6}{x}}$是整数，那么整数$x$是（
A.6或3
B.3或1
C.2或18
D.18
C
）A.6或3
B.3或1
C.2或18
D.18
答案
11.C
解析
【分析】
解题时先利用二次根式的乘法法则将原式合并为一个二次根式，再根据二次根式有意义的条件确定x的取值范围，最后结合“运算结果是整数”这一条件，得出被开方数为完全平方数，进而求出符合条件的整数x的值。
【解析】
1. 化简原式：根据二次根式乘法法则$\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab}(a≥0,b≥0)$，可得
$\sqrt{3}·\sqrt{\dfrac{6}{x}}=\sqrt{3×\dfrac{6}{x}}=\sqrt{\dfrac{18}{x}}$
2. 确定x的取值范围：二次根式有意义需满足被开方数非负且分母不为0，即$\dfrac{18}{x}≥0$且$x≠0$，结合x是整数，可得$x＞0$。
3. 结合整数条件分析：因为$\sqrt{\dfrac{18}{x}}$是整数，所以$\dfrac{18}{x}$是正完全平方数。
将18分解质因数得$18=2×3^2$，因此$\dfrac{18}{x}$为完全平方数时：
若$\dfrac{18}{x}=9$（$3^2$），解得$x=2$；
若$\dfrac{18}{x}=1$（$1^2$），解得$x=18$。
因此整数x为2或18。
【答案】
C
【知识点】
二次根式的乘法；二次根式有意义的条件；完全平方数的性质
【点评】
本题围绕二次根式的运算与性质命题，解题关键是明确二次根式的值为整数时，被开方数必为完全平方数，同时要注意挖掘二次根式有意义的隐含条件，避免漏解或错解。
【难度系数】
0.7
解题时先利用二次根式的乘法法则将原式合并为一个二次根式，再根据二次根式有意义的条件确定x的取值范围，最后结合“运算结果是整数”这一条件，得出被开方数为完全平方数，进而求出符合条件的整数x的值。
【解析】
1. 化简原式：根据二次根式乘法法则$\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab}(a≥0,b≥0)$，可得
$\sqrt{3}·\sqrt{\dfrac{6}{x}}=\sqrt{3×\dfrac{6}{x}}=\sqrt{\dfrac{18}{x}}$
2. 确定x的取值范围：二次根式有意义需满足被开方数非负且分母不为0，即$\dfrac{18}{x}≥0$且$x≠0$，结合x是整数，可得$x＞0$。
3. 结合整数条件分析：因为$\sqrt{\dfrac{18}{x}}$是整数，所以$\dfrac{18}{x}$是正完全平方数。
将18分解质因数得$18=2×3^2$，因此$\dfrac{18}{x}$为完全平方数时：
若$\dfrac{18}{x}=9$（$3^2$），解得$x=2$；
若$\dfrac{18}{x}=1$（$1^2$），解得$x=18$。
因此整数x为2或18。
【答案】
C
【知识点】
二次根式的乘法；二次根式有意义的条件；完全平方数的性质
【点评】
本题围绕二次根式的运算与性质命题，解题关键是明确二次根式的值为整数时，被开方数必为完全平方数，同时要注意挖掘二次根式有意义的隐含条件，避免漏解或错解。
【难度系数】
0.7
12. 问题探究:因为$(\sqrt{2}-1)^2=3-2\sqrt{2}$，所以$\sqrt{3-2\sqrt{2}}=\sqrt{2}-1$. 因为$(\sqrt{2}+1)^2=3+2\sqrt{2}$，所以$\sqrt{3+2\sqrt{2}}=\sqrt{2}+1$. 请你根据以上规律，结合你的经验化简$\sqrt{4-2\sqrt{3}}=$
$\sqrt{3}-1$
.答案
12.$\sqrt{3}-1$
解析
【分析】
本题是复合二次根式的规律化简题，解题思路可参照给出的示例推导：首先观察被开方数为“整数-2×含根号的数”的结构，符合完全平方差公式展开后$a^2+b^2-2ab$的形式，我们只需将整数拆分为两个正数的和，使得这两个正数的乘积等于根号内的数，就能把被开方数凑成完全平方，再根据算术平方根的非负性开方即可。
【解析】
化简$\sqrt{4-2\sqrt{3}}$步骤如下：
1. 拆分被开方数的整数部分：将4拆为3+1，可得
$4-2\sqrt{3}=3+1-2\sqrt{3}$
2. 凑完全平方：将上式变形为完全平方差形式
$3+1-2\sqrt{3}=(\sqrt{3})^2 + 1^2 - 2×\sqrt{3}×1=(\sqrt{3}-1)^2$
3. 开方化简：根据算术平方根的非负性，$\sqrt{a^2}=|a|$，且$\sqrt{3}＞1$，因此
$\sqrt{4-2\sqrt{3}}=\sqrt{(\sqrt{3}-1)^2}=|\sqrt{3}-1|=\sqrt{3}-1$
【答案】
$\sqrt{3}-1$
【知识点】
复合二次根式化简，完全平方公式，算术平方根的性质
【点评】
本题属于规律应用类题目，难度不大，核心是掌握将被开方数合理拆分凑成完全平方式的方法，解题时要注意算术平方根开方结果一定是非负数。
【难度系数】
0.7
本题是复合二次根式的规律化简题，解题思路可参照给出的示例推导：首先观察被开方数为“整数-2×含根号的数”的结构，符合完全平方差公式展开后$a^2+b^2-2ab$的形式，我们只需将整数拆分为两个正数的和，使得这两个正数的乘积等于根号内的数，就能把被开方数凑成完全平方，再根据算术平方根的非负性开方即可。
【解析】
化简$\sqrt{4-2\sqrt{3}}$步骤如下：
1. 拆分被开方数的整数部分：将4拆为3+1，可得
$4-2\sqrt{3}=3+1-2\sqrt{3}$
2. 凑完全平方：将上式变形为完全平方差形式
$3+1-2\sqrt{3}=(\sqrt{3})^2 + 1^2 - 2×\sqrt{3}×1=(\sqrt{3}-1)^2$
3. 开方化简：根据算术平方根的非负性，$\sqrt{a^2}=|a|$，且$\sqrt{3}＞1$，因此
$\sqrt{4-2\sqrt{3}}=\sqrt{(\sqrt{3}-1)^2}=|\sqrt{3}-1|=\sqrt{3}-1$
【答案】
$\sqrt{3}-1$
【知识点】
复合二次根式化简，完全平方公式，算术平方根的性质
【点评】
本题属于规律应用类题目，难度不大，核心是掌握将被开方数合理拆分凑成完全平方式的方法，解题时要注意算术平方根开方结果一定是非负数。
【难度系数】
0.7
