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14.(8分)计算：$\sqrt{\frac{1}{9}} - \sqrt[3]{\frac{26}{27} -1} + |\sqrt{3} -2| - (-2)^2 + 2\sqrt{3}.$
答案
14.【解】原式$=\frac{1}{3}+\frac{1}{3}+2-\sqrt{3}-4+2\sqrt{3}=\sqrt{3}-\frac{4}{3}.$
解析
【分析】
这是一道实数混合运算题，解题思路是按照运算顺序，先分别化简算术平方根、立方根、绝对值、乘方这几个单项，再合并常数项和同类二次根式即可。化简时需注意：①算术平方根结果为非负数；②开立方时正负号和被开方数一致；③绝对值化简要先判断内部式子的正负，负数的绝对值是它的相反数；④乘方运算注意符号规则。
【解析】
解：先分别化简每一项：
1. 计算算术平方根：$\sqrt{\frac{1}{9}}=\frac{1}{3}$；
2. 计算立方根项：先算根号内的运算$\frac{26}{27}-1=\frac{26}{27}-\frac{27}{27}=-\frac{1}{27}$，可得$\sqrt[3]{-\frac{1}{27}}=-\frac{1}{3}$，因此$-\sqrt[3]{\frac{26}{27}-1}=-(-\frac{1}{3})=\frac{1}{3}$；
3. 化简绝对值：因为$\sqrt{3}＜2$，即$\sqrt{3}-2＜0$，所以$|\sqrt{3}-2|=2-\sqrt{3}$；
4. 计算乘方项：$(-2)^2=4$，因此$-(-2)^2=-4$。
将化简后的各项代入原式合并：
原式$=\frac{1}{3}+\frac{1}{3}+2-\sqrt{3}-4+2\sqrt{3}$
$=(\frac{1}{3}+\frac{1}{3}+2-4)+(-\sqrt{3}+2\sqrt{3})$
$=-\frac{4}{3}+\sqrt{3}$
【答案】
$\sqrt{3}-\frac{4}{3}$
【知识点】
实数混合运算；根式运算；绝对值化简
【点评】
本题属于实数运算的基础题型，解题核心是准确化简每一个运算项，尤其要注意立方根、绝对值、乘方运算中的符号问题，避免因符号出错失分。
【难度系数】
0.7
这是一道实数混合运算题，解题思路是按照运算顺序，先分别化简算术平方根、立方根、绝对值、乘方这几个单项，再合并常数项和同类二次根式即可。化简时需注意：①算术平方根结果为非负数；②开立方时正负号和被开方数一致；③绝对值化简要先判断内部式子的正负，负数的绝对值是它的相反数；④乘方运算注意符号规则。
【解析】
解：先分别化简每一项：
1. 计算算术平方根：$\sqrt{\frac{1}{9}}=\frac{1}{3}$；
2. 计算立方根项：先算根号内的运算$\frac{26}{27}-1=\frac{26}{27}-\frac{27}{27}=-\frac{1}{27}$，可得$\sqrt[3]{-\frac{1}{27}}=-\frac{1}{3}$，因此$-\sqrt[3]{\frac{26}{27}-1}=-(-\frac{1}{3})=\frac{1}{3}$；
3. 化简绝对值：因为$\sqrt{3}＜2$，即$\sqrt{3}-2＜0$，所以$|\sqrt{3}-2|=2-\sqrt{3}$；
4. 计算乘方项：$(-2)^2=4$，因此$-(-2)^2=-4$。
将化简后的各项代入原式合并：
原式$=\frac{1}{3}+\frac{1}{3}+2-\sqrt{3}-4+2\sqrt{3}$
$=(\frac{1}{3}+\frac{1}{3}+2-4)+(-\sqrt{3}+2\sqrt{3})$
$=-\frac{4}{3}+\sqrt{3}$
【答案】
$\sqrt{3}-\frac{4}{3}$
【知识点】
实数混合运算；根式运算；绝对值化简
【点评】
本题属于实数运算的基础题型，解题核心是准确化简每一个运算项，尤其要注意立方根、绝对值、乘方运算中的符号问题，避免因符号出错失分。
【难度系数】
0.7
15. (10分)[2026 德州期末] 已知实数$\sqrt{7-2x}$与$\sqrt{2x-7}$互为相反数，$y$的算术平方根是14，$z$的绝对值为$\sqrt{2}$，且$m$和$n$互为倒数，求$2mn + x\sqrt{y} - z^2$的平方根。
答案
15.【解】因为$\sqrt{7-2x}$与$\sqrt{2x-7}$互为相反数，
所以$\sqrt{7-2x}+\sqrt{2x-7}=0$，
因为$7-2x≥0,2x-7≥0$，
所以$2x-7=0$,所以$x=3.5$.
因为$y$的算术平方根为14,所以$\sqrt{y}=14$.
因为$z$的绝对值为$\sqrt{2}$，
所以$z=±\sqrt{2}$,所以$z^2=2$.
因为$m,n$互为倒数,所以$mn=1$,
所以原式$=2+3.5×14-2=49$,
所以$±\sqrt{49}=±7$.
所以$2mn+x\sqrt{y}-z^2$的平方根是$±7$.
所以$\sqrt{7-2x}+\sqrt{2x-7}=0$，
因为$7-2x≥0,2x-7≥0$，
所以$2x-7=0$,所以$x=3.5$.
因为$y$的算术平方根为14,所以$\sqrt{y}=14$.
因为$z$的绝对值为$\sqrt{2}$，
所以$z=±\sqrt{2}$,所以$z^2=2$.
因为$m,n$互为倒数,所以$mn=1$,
所以原式$=2+3.5×14-2=49$,
所以$±\sqrt{49}=±7$.
所以$2mn+x\sqrt{y}-z^2$的平方根是$±7$.
解析
【分析】
解题时首先利用二次根式的非负性分析：两个非负的二次根式互为相反数，说明二者的和为0，因此两个被开方数都只能等于0，据此先求出x的值；再根据算术平方根的定义得到$\sqrt{y}$的值，根据绝对值的性质求出$z^2$的值，根据倒数的性质得到$mn$的值；将所有未知量的值代入代数式计算出结果，最后求该结果的平方根即可，注意正数的平方根有两个，互为相反数，不要漏解。
【解析】
解：
∵ $\sqrt{7-2x}$与$\sqrt{2x-7}$互为相反数，
∴ $\sqrt{7-2x}+\sqrt{2x-7}=0$，
根据二次根式有意义的条件，得$7-2x≥0$，$2x-7≥0$，
∴ $2x-7=0$，解得$x=3.5$；
∵ $y$的算术平方根是14，
∴ $\sqrt{y}=14$；
∵ $z$的绝对值为$\sqrt{2}$，即$|z|=\sqrt{2}$，
∴ $z^2=|z|^2=(\sqrt{2})^2=2$；
∵ $m$和$n$互为倒数，
∴ $mn=1$；
将上述值代入代数式，得：
$2mn + x\sqrt{y} - z^2 = 2×1 + 3.5×14 - 2 = 2 + 49 - 2 = 49$，
∵ $(\pm7)^2=49$，
∴ 49的平方根为$\pm7$。
【答案】
$\pm7$
【知识点】
二次根式的非负性；算术平方根的定义；倒数的性质
【点评】
本题综合考查了实数相关的基础性质，解题的核心是先通过二次根式被开方数非负的特性求出x的值，再依次推导其余未知量，最后计算平方根时要注意正数的平方根有两个，不要遗漏负根。
【难度系数】
0.7
解题时首先利用二次根式的非负性分析：两个非负的二次根式互为相反数，说明二者的和为0，因此两个被开方数都只能等于0，据此先求出x的值；再根据算术平方根的定义得到$\sqrt{y}$的值，根据绝对值的性质求出$z^2$的值，根据倒数的性质得到$mn$的值；将所有未知量的值代入代数式计算出结果，最后求该结果的平方根即可，注意正数的平方根有两个，互为相反数，不要漏解。
【解析】
解：
∵ $\sqrt{7-2x}$与$\sqrt{2x-7}$互为相反数，
∴ $\sqrt{7-2x}+\sqrt{2x-7}=0$，
根据二次根式有意义的条件，得$7-2x≥0$，$2x-7≥0$，
∴ $2x-7=0$，解得$x=3.5$；
∵ $y$的算术平方根是14，
∴ $\sqrt{y}=14$；
∵ $z$的绝对值为$\sqrt{2}$，即$|z|=\sqrt{2}$，
∴ $z^2=|z|^2=(\sqrt{2})^2=2$；
∵ $m$和$n$互为倒数，
∴ $mn=1$；
将上述值代入代数式，得：
$2mn + x\sqrt{y} - z^2 = 2×1 + 3.5×14 - 2 = 2 + 49 - 2 = 49$，
∵ $(\pm7)^2=49$，
∴ 49的平方根为$\pm7$。
【答案】
$\pm7$
【知识点】
二次根式的非负性；算术平方根的定义；倒数的性质
【点评】
本题综合考查了实数相关的基础性质，解题的核心是先通过二次根式被开方数非负的特性求出x的值，再依次推导其余未知量，最后计算平方根时要注意正数的平方根有两个，不要遗漏负根。
【难度系数】
0.7
16. (10分) 跨学科题 在做浮力实验时，小华用一根细线将一个正方体铁块拴住，完全浸入盛满水的杯中(杯的形状为圆柱体)，并用量筒量得从杯中溢出的水的体积为216 cm³，小华又将铁块从杯中拿出来，量得杯中水位下降了0.5 cm.
(1)铁块的棱长为多少厘米？
(2)杯内部的底面直径约为多少厘米(π取3)？
(1)铁块的棱长为多少厘米？
(2)杯内部的底面直径约为多少厘米(π取3)？
答案
16.【解】(1)设铁块的棱长为$x$ cm，
则$x^3=216$,解得$x=6$,
所以铁块的棱长为6 cm.
(2)设杯内部的底面直径为$d$ cm，
则$3(\frac{d}{2})^2×0.5≈216$，
解得$d≈24$(负值已舍去).
所以杯内部的底面直径约为24 cm.
则$x^3=216$,解得$x=6$,
所以铁块的棱长为6 cm.
(2)设杯内部的底面直径为$d$ cm，
则$3(\frac{d}{2})^2×0.5≈216$，
解得$d≈24$(负值已舍去).
所以杯内部的底面直径约为24 cm.
解析
【分析】
（1）第一问解题关键是明确铁块完全浸入水中时，溢出水的体积等于正方体铁块的体积，结合正方体体积公式（体积=棱长³），已知体积求棱长，直接对体积开立方即可求解。
（2）第二问需抓住拿出铁块后，杯中下降的水的体积等于溢出水的体积这一等量关系，下降的水为圆柱形，结合圆柱体积公式（体积=底面积×高）列方程求解，注意长度为正数，需舍去负根。
【解析】
(1) 设铁块的棱长为$x$ cm，由题意得正方体铁块的体积等于溢出水的体积，因此：
$x^3=216$
对216开立方得$x=\sqrt[3]{216}=6$
故铁块的棱长为6 cm。
(2) 设杯内部的底面直径为$d$ cm，杯中下降部分的水为圆柱形，其体积等于溢出水的体积216cm³，代入圆柱体积公式，$π$取3，水位下降高度为0.5cm，可得：
$3×(\frac{d}{2})^2×0.5=216$
化简得：$\frac{3d^2}{8}=216$，即$d^2=576$
开平方得$d=\pm24$，直径为正数，舍去负值，得$d≈24$
故杯内部的底面直径约为24 cm。
【答案】
(1) 6 cm；(2) 24 cm
【知识点】
立方根的应用，圆柱体积计算，列方程解应用题
【点评】
本题是结合浮力实验的跨学科应用题，考查将实际问题转化为数学问题的能力，解题核心是抓住“溢出水体积=铁块体积=杯中下降部分水的体积”的等量关系，整体计算量小，逻辑清晰。
【难度系数】
0.7
（1）第一问解题关键是明确铁块完全浸入水中时，溢出水的体积等于正方体铁块的体积，结合正方体体积公式（体积=棱长³），已知体积求棱长，直接对体积开立方即可求解。
（2）第二问需抓住拿出铁块后，杯中下降的水的体积等于溢出水的体积这一等量关系，下降的水为圆柱形，结合圆柱体积公式（体积=底面积×高）列方程求解，注意长度为正数，需舍去负根。
【解析】
(1) 设铁块的棱长为$x$ cm，由题意得正方体铁块的体积等于溢出水的体积，因此：
$x^3=216$
对216开立方得$x=\sqrt[3]{216}=6$
故铁块的棱长为6 cm。
(2) 设杯内部的底面直径为$d$ cm，杯中下降部分的水为圆柱形，其体积等于溢出水的体积216cm³，代入圆柱体积公式，$π$取3，水位下降高度为0.5cm，可得：
$3×(\frac{d}{2})^2×0.5=216$
化简得：$\frac{3d^2}{8}=216$，即$d^2=576$
开平方得$d=\pm24$，直径为正数，舍去负值，得$d≈24$
故杯内部的底面直径约为24 cm。
【答案】
(1) 6 cm；(2) 24 cm
【知识点】
立方根的应用，圆柱体积计算，列方程解应用题
【点评】
本题是结合浮力实验的跨学科应用题，考查将实际问题转化为数学问题的能力，解题核心是抓住“溢出水体积=铁块体积=杯中下降部分水的体积”的等量关系，整体计算量小，逻辑清晰。
【难度系数】
0.7
17.(12分) 阅读下面的文字,解答问题:大家知道$\sqrt{2}$是无理数,而无理数是无限不循环小数,因此$\sqrt{2}$的小数部分我们不可能全部写出来.将这个数减去其整数部分,差就是小数部分,因为$\sqrt{2}$的整数部分是1,所以用$\sqrt{2}-1$来表示$\sqrt{2}$的小数部分.
例如:因为$\sqrt{4}＜\sqrt{6}＜\sqrt{9}$,即$2＜\sqrt{6}＜3$,所以$\sqrt{6}$的整数部分是2,小数部分为$\sqrt{6}-2$.
(1)$\sqrt{23}$的整数部分是
(2)点A表示的数为无理数,在数轴上的位置如图所示,若其整数部分为m,小数部分为n,则下列对于m,n的说法正确的是
①m,n均为有理数;②$1＜\sqrt{m}＜2$;
③$3＜m-n＜4$;④$3＜m+n＜4$.
(3)若p,q分别是$6-\sqrt{5}$的整数部分和小数部分,求$3p-q-\sqrt{5}$的值.
例如:因为$\sqrt{4}＜\sqrt{6}＜\sqrt{9}$,即$2＜\sqrt{6}＜3$,所以$\sqrt{6}$的整数部分是2,小数部分为$\sqrt{6}-2$.
(1)$\sqrt{23}$的整数部分是
4
,小数部分是$\sqrt{23}-4$
.(2)点A表示的数为无理数,在数轴上的位置如图所示,若其整数部分为m,小数部分为n,则下列对于m,n的说法正确的是
②④
.(填序号)①m,n均为有理数;②$1＜\sqrt{m}＜2$;
③$3＜m-n＜4$;④$3＜m+n＜4$.
(3)若p,q分别是$6-\sqrt{5}$的整数部分和小数部分,求$3p-q-\sqrt{5}$的值.
答案
17.【解】(1)$4;\sqrt{23}-4$
(2)②④ 【点拨】设点 A 所表示的无理数为 a,由题意可知,$3＜a＜4$,所以点 A 所表示的无理数 a 的整数部分$m=3$,小数部分$n=a-3$.①易知 n 为无理数,故①不正确;②由于$1＜\sqrt{3}＜2$,即$1＜\sqrt{m}＜2$,因此②正确;③因为$3＜a＜4,m-n=3-a+3=6-a$,所以$2＜m-n＜3$,故③不正确;④因为$3＜a＜4,m+n=3+a-3=a$,所以$3＜m+n＜4$,故④正确.综上所述,正确的是②④.
(3)因为$\sqrt{4}＜\sqrt{5}＜\sqrt{9}$,即$2＜\sqrt{5}＜3$,所以$-3＜-\sqrt{5}＜-2$,
所以$3＜6-\sqrt{5}＜4$,所以$6-\sqrt{5}$的整数部分$p=3$,小数部分$q=6-\sqrt{5}-3=3-\sqrt{5}$,所以$3p-q-\sqrt{5}=9-(3-\sqrt{5})-\sqrt{5}=6$.
(2)②④ 【点拨】设点 A 所表示的无理数为 a,由题意可知,$3＜a＜4$,所以点 A 所表示的无理数 a 的整数部分$m=3$,小数部分$n=a-3$.①易知 n 为无理数,故①不正确;②由于$1＜\sqrt{3}＜2$,即$1＜\sqrt{m}＜2$,因此②正确;③因为$3＜a＜4,m-n=3-a+3=6-a$,所以$2＜m-n＜3$,故③不正确;④因为$3＜a＜4,m+n=3+a-3=a$,所以$3＜m+n＜4$,故④正确.综上所述,正确的是②④.
(3)因为$\sqrt{4}＜\sqrt{5}＜\sqrt{9}$,即$2＜\sqrt{5}＜3$,所以$-3＜-\sqrt{5}＜-2$,
所以$3＜6-\sqrt{5}＜4$,所以$6-\sqrt{5}$的整数部分$p=3$,小数部分$q=6-\sqrt{5}-3=3-\sqrt{5}$,所以$3p-q-\sqrt{5}=9-(3-\sqrt{5})-\sqrt{5}=6$.
解析
【分析】
本题核心考查无理数的估算方法（夹逼法），解题思路如下：①对于求无理数的整数、小数部分，先通过比较被开方数和相邻完全平方数的大小，确定无理数位于哪两个相邻整数之间，较小整数即为整数部分，原数减去整数部分就是小数部分；②第二问先结合数轴确定点A表示的无理数的范围，得到其整数部分m和小数部分n的表达式，再逐一验证四个结论是否正确；③第三问先估算$\sqrt{5}$的范围，推导得到$6-\sqrt{5}$的范围，确定p、q的值后代入代数式计算即可。
【解析】
(1) 因为$\sqrt{16}＜\sqrt{23}＜\sqrt{25}$，即$4＜\sqrt{23}＜5$，所以$\sqrt{23}$的整数部分是4，小数部分为$\sqrt{23}-4$。
(2) 由数轴可知点A表示的无理数$a$满足$3＜a＜4$，因此它的整数部分$m=3$，小数部分$n=a-3$。
对四个结论逐一判断：
①$n=a-3$，$a$是无理数，因此$n$是无理数，①错误；
②$m=3$，因为$\sqrt{1}＜\sqrt{3}＜\sqrt{4}$，即$1＜\sqrt{m}＜2$，②正确；
③$m-n=3-(a-3)=6-a$，由$3＜a＜4$可得$2＜6-a＜3$，即$2＜m-n＜3$，③错误；
④$m+n=3+(a-3)=a$，而$3＜a＜4$，即$3＜m+n＜4$，④正确。
因此正确的是②④。
(3) 先估算$\sqrt{5}$的范围：$\sqrt{4}＜\sqrt{5}＜\sqrt{9}$，即$2＜\sqrt{5}＜3$，
不等式两边同乘-1得：$-3＜-\sqrt{5}＜-2$，
两边同时加6得：$3＜6-\sqrt{5}＜4$，
因此$6-\sqrt{5}$的整数部分$p=3$，小数部分$q=6-\sqrt{5}-3=3-\sqrt{5}$，
将p、q代入代数式计算：
$3p-q-\sqrt{5}=3×3-(3-\sqrt{5})-\sqrt{5}=9-3+\sqrt{5}-\sqrt{5}=6$。
【答案】
(1)$4$；$\sqrt{23}-4$
(2)②④
(3)$6$
【知识点】
无理数的估算；实数与数轴；代数式求值
【点评】
本题重点考查夹逼法估算无理数大小的应用，解题的关键是熟练掌握“无理数的小数部分=原数-整数部分”这一核心关系，同时结合数轴性质、实数运算规则判断结论和计算代数式，能有效考查学生的逻辑推理能力和运算能力。
【难度系数】
0.7
本题核心考查无理数的估算方法（夹逼法），解题思路如下：①对于求无理数的整数、小数部分，先通过比较被开方数和相邻完全平方数的大小，确定无理数位于哪两个相邻整数之间，较小整数即为整数部分，原数减去整数部分就是小数部分；②第二问先结合数轴确定点A表示的无理数的范围，得到其整数部分m和小数部分n的表达式，再逐一验证四个结论是否正确；③第三问先估算$\sqrt{5}$的范围，推导得到$6-\sqrt{5}$的范围，确定p、q的值后代入代数式计算即可。
【解析】
(1) 因为$\sqrt{16}＜\sqrt{23}＜\sqrt{25}$，即$4＜\sqrt{23}＜5$，所以$\sqrt{23}$的整数部分是4，小数部分为$\sqrt{23}-4$。
(2) 由数轴可知点A表示的无理数$a$满足$3＜a＜4$，因此它的整数部分$m=3$，小数部分$n=a-3$。
对四个结论逐一判断：
①$n=a-3$，$a$是无理数，因此$n$是无理数，①错误；
②$m=3$，因为$\sqrt{1}＜\sqrt{3}＜\sqrt{4}$，即$1＜\sqrt{m}＜2$，②正确；
③$m-n=3-(a-3)=6-a$，由$3＜a＜4$可得$2＜6-a＜3$，即$2＜m-n＜3$，③错误；
④$m+n=3+(a-3)=a$，而$3＜a＜4$，即$3＜m+n＜4$，④正确。
因此正确的是②④。
(3) 先估算$\sqrt{5}$的范围：$\sqrt{4}＜\sqrt{5}＜\sqrt{9}$，即$2＜\sqrt{5}＜3$，
不等式两边同乘-1得：$-3＜-\sqrt{5}＜-2$，
两边同时加6得：$3＜6-\sqrt{5}＜4$，
因此$6-\sqrt{5}$的整数部分$p=3$，小数部分$q=6-\sqrt{5}-3=3-\sqrt{5}$，
将p、q代入代数式计算：
$3p-q-\sqrt{5}=3×3-(3-\sqrt{5})-\sqrt{5}=9-3+\sqrt{5}-\sqrt{5}=6$。
【答案】
(1)$4$；$\sqrt{23}-4$
(2)②④
(3)$6$
【知识点】
无理数的估算；实数与数轴；代数式求值
【点评】
本题重点考查夹逼法估算无理数大小的应用，解题的关键是熟练掌握“无理数的小数部分=原数-整数部分”这一核心关系，同时结合数轴性质、实数运算规则判断结论和计算代数式，能有效考查学生的逻辑推理能力和运算能力。
【难度系数】
0.7
