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1. 在实数$-\dfrac{2}{3},3.14,\sqrt{15},\sqrt[3]{64},\dfrac{π}{3}$中，无理数的个数为（
A.1
B.2
C.3
D.4
B
）A.1
B.2
C.3
D.4
答案
1.B
解析
【分析】
要解决本题，首先需明确无理数的定义及常见类型，无理数是无限不循环小数，常见的有开方开不尽的数、含π的数、无限不循环小数三类。解题时先将题中可化简的带根号的数化简，再逐个判断每个数属于有理数还是无理数，最后统计无理数的个数即可得到答案。
【解析】
首先明确：有理数包括整数和分数（有限小数、无限循环小数都可转化为分数，属于有理数），无理数是无限不循环小数。
对题中各数逐一判断：
1. $-\dfrac{2}{3}$是分数，属于有理数；
2. $3.14$是有限小数，可转化为分数，属于有理数；
3. $\sqrt{15}$是开平方开不尽的数，为无限不循环小数，属于无理数；
4. 先化简$\sqrt[3]{64}=\sqrt[3]{4^3}=4$，4是整数，属于有理数；
5. $\dfrac{π}{3}$中π本身是无限不循环小数，因此$\dfrac{π}{3}$也是无限不循环小数，属于无理数。
综上，无理数共有2个。
【答案】
B
【知识点】
无理数的定义；立方根的化简；实数的分类
【点评】
本题是实数分类的基础题型，易错点是部分同学会误将带根号的数都判定为无理数，或误把3.14等同于π，解题时要注意先化简再判断，牢记常见的无理数类型可以提高做题准确率。
【难度系数】
0.8
要解决本题，首先需明确无理数的定义及常见类型，无理数是无限不循环小数，常见的有开方开不尽的数、含π的数、无限不循环小数三类。解题时先将题中可化简的带根号的数化简，再逐个判断每个数属于有理数还是无理数，最后统计无理数的个数即可得到答案。
【解析】
首先明确：有理数包括整数和分数（有限小数、无限循环小数都可转化为分数，属于有理数），无理数是无限不循环小数。
对题中各数逐一判断：
1. $-\dfrac{2}{3}$是分数，属于有理数；
2. $3.14$是有限小数，可转化为分数，属于有理数；
3. $\sqrt{15}$是开平方开不尽的数，为无限不循环小数，属于无理数；
4. 先化简$\sqrt[3]{64}=\sqrt[3]{4^3}=4$，4是整数，属于有理数；
5. $\dfrac{π}{3}$中π本身是无限不循环小数，因此$\dfrac{π}{3}$也是无限不循环小数，属于无理数。
综上，无理数共有2个。
【答案】
B
【知识点】
无理数的定义；立方根的化简；实数的分类
【点评】
本题是实数分类的基础题型，易错点是部分同学会误将带根号的数都判定为无理数，或误把3.14等同于π，解题时要注意先化简再判断，牢记常见的无理数类型可以提高做题准确率。
【难度系数】
0.8
2. 已知$ m=\sqrt{27}-\sqrt{3} $，则实数$ m $的范围是（
A.$ 2＜m＜3 $
B.$ 3＜m＜4 $
C.$ 4＜m＜5 $
D.$ 5＜m＜6 $
B
）A.$ 2＜m＜3 $
B.$ 3＜m＜4 $
C.$ 4＜m＜5 $
D.$ 5＜m＜6 $
答案
2.B
解析
【分析】
解题时首先要对给出的二次根式表达式进行化简，将m整理为最简形式，再通过平方比较法估算化简后含根号的无理数的取值范围，最后利用不等式的性质得到m的整体取值范围，对应选项选出答案即可。
【解析】
第一步：化简m的表达式
先将$\sqrt{27}$化为最简二次根式：$\sqrt{27}=\sqrt{9×3}=3\sqrt{3}$
代入原式得：$m=\sqrt{27}-\sqrt{3}=3\sqrt{3}-\sqrt{3}=2\sqrt{3}$
第二步：估算$\sqrt{3}$的取值范围
因为$1.7^2=2.89$，$1.8^2=3.24$，且$2.89＜3＜3.24$，所以$1.7＜\sqrt{3}＜1.8$
第三步：求m的取值范围
不等式三边同时乘正数2，不等号方向不变，得：$1.7×2＜2\sqrt{3}＜1.8×2$，即$3.4＜m＜3.6$
因此$3＜m＜4$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
二次根式化简，二次根式加减运算，无理数大小估算
【点评】
本题属于基础常考题，核心考查二次根式的运算能力和无理数的估算方法，掌握最简二次根式的化简规则和利用平方比较估算无理数范围的方法是解题的关键。
【难度系数】
0.7
解题时首先要对给出的二次根式表达式进行化简，将m整理为最简形式，再通过平方比较法估算化简后含根号的无理数的取值范围，最后利用不等式的性质得到m的整体取值范围，对应选项选出答案即可。
【解析】
第一步：化简m的表达式
先将$\sqrt{27}$化为最简二次根式：$\sqrt{27}=\sqrt{9×3}=3\sqrt{3}$
代入原式得：$m=\sqrt{27}-\sqrt{3}=3\sqrt{3}-\sqrt{3}=2\sqrt{3}$
第二步：估算$\sqrt{3}$的取值范围
因为$1.7^2=2.89$，$1.8^2=3.24$，且$2.89＜3＜3.24$，所以$1.7＜\sqrt{3}＜1.8$
第三步：求m的取值范围
不等式三边同时乘正数2，不等号方向不变，得：$1.7×2＜2\sqrt{3}＜1.8×2$，即$3.4＜m＜3.6$
因此$3＜m＜4$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
二次根式化简，二次根式加减运算，无理数大小估算
【点评】
本题属于基础常考题，核心考查二次根式的运算能力和无理数的估算方法，掌握最简二次根式的化简规则和利用平方比较估算无理数范围的方法是解题的关键。
【难度系数】
0.7
3. 下列说法中，正确的个数有 （
①$m$是一个实数，$m^2$的算术平方根是$m$；
②$m$是一个实数，则$-m$没有平方根；
③带根号的数是无理数；
④无限小数是无理数；
⑤若$\sqrt{a^2} - a = b$成立，则$b$的取值范围是$b ≥ 0$。
A.0
B.1
C.2
D.3
B
）①$m$是一个实数，$m^2$的算术平方根是$m$；
②$m$是一个实数，则$-m$没有平方根；
③带根号的数是无理数；
④无限小数是无理数；
⑤若$\sqrt{a^2} - a = b$成立，则$b$的取值范围是$b ≥ 0$。
A.0
B.1
C.2
D.3
答案
3.B 【点拨】只有⑤正确.
解析
【分析】
要解决这道题，我们需要结合平方根、算术平方根的定义，以及无理数的判定标准，逐个分析5个说法的正确性，最后统计正确说法的个数即可选出答案，分析过程中要注意特殊值（如0、负数）的验证，避免忽略特殊情况出错。
【解析】
我们对每个说法逐一判断：
① 算术平方根的结果是非负数，当$m＜0$时，$m^2$的算术平方根是$\vert m\vert=-m$，而非$m$，例如$m=-2$时，$\sqrt{(-2)^2}=2≠-2$，故①错误；
② 平方根存在的条件是被开方数为非负数，当$m≤0$时，$-m≥0$，此时$-m$有平方根，例如$m=-3$时，$-m=3$存在平方根，故②错误；
③ 带根号的数不一定是无理数，只有开方开不尽的数才是无理数，例如$\sqrt{4}=2$是有理数，故③错误；
④ 无限小数分为无限循环小数和无限不循环小数，其中无限循环小数是有理数，只有无限不循环小数才是无理数，例如$0.\dot{3}$是无限循环小数，属于有理数，故④错误；
⑤ 根据算术平方根的性质，$\sqrt{a^2}=\vert a\vert$，因此原式可转化为$\vert a\vert -a =b$：当$a≥0$时，$\vert a\vert=a$，则$b=a-a=0$；当$a＜0$时，$\vert a\vert=-a$，则$b=-a-a=-2a＞0$，综上可得$b≥0$，故⑤正确。
因此正确的说法只有1个，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
算术平方根的定义，平方根的定义，无理数的概念
【点评】
本题侧重考查实数相关基础概念的辨析，容易因概念记忆模糊、忽略负数和0的特殊情况导致判断错误，学习时要准确掌握概念的适用条件和特殊情形。
【难度系数】
0.6
要解决这道题，我们需要结合平方根、算术平方根的定义，以及无理数的判定标准，逐个分析5个说法的正确性，最后统计正确说法的个数即可选出答案，分析过程中要注意特殊值（如0、负数）的验证，避免忽略特殊情况出错。
【解析】
我们对每个说法逐一判断：
① 算术平方根的结果是非负数，当$m＜0$时，$m^2$的算术平方根是$\vert m\vert=-m$，而非$m$，例如$m=-2$时，$\sqrt{(-2)^2}=2≠-2$，故①错误；
② 平方根存在的条件是被开方数为非负数，当$m≤0$时，$-m≥0$，此时$-m$有平方根，例如$m=-3$时，$-m=3$存在平方根，故②错误；
③ 带根号的数不一定是无理数，只有开方开不尽的数才是无理数，例如$\sqrt{4}=2$是有理数，故③错误；
④ 无限小数分为无限循环小数和无限不循环小数，其中无限循环小数是有理数，只有无限不循环小数才是无理数，例如$0.\dot{3}$是无限循环小数，属于有理数，故④错误；
⑤ 根据算术平方根的性质，$\sqrt{a^2}=\vert a\vert$，因此原式可转化为$\vert a\vert -a =b$：当$a≥0$时，$\vert a\vert=a$，则$b=a-a=0$；当$a＜0$时，$\vert a\vert=-a$，则$b=-a-a=-2a＞0$，综上可得$b≥0$，故⑤正确。
因此正确的说法只有1个，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
算术平方根的定义，平方根的定义，无理数的概念
【点评】
本题侧重考查实数相关基础概念的辨析，容易因概念记忆模糊、忽略负数和0的特殊情况导致判断错误，学习时要准确掌握概念的适用条件和特殊情形。
【难度系数】
0.6
4. 已知$44^2=1936$，$45^2=2025$，$46^2=2116$，若$n$为整数且$n＜\sqrt{2026}-22 ＜n+1$，则$n$的值为（
A.21
B.22
C.23
D.24
C
）A.21
B.22
C.23
D.24
答案
4.C
解析
【分析】
要确定n的值，首先需要估算出√2026的取值范围，再根据不等式的性质求出√2026 -22的取值范围，最后结合n为整数且n＜√2026 -22＜n+1的条件，即可得到n的值。解题时可借助题目给出的相邻整数的平方值，快速确定√2026所在的区间。
【解析】
已知$45^2=2025$，$46^2=2116$，可得：
$2025 ＜ 2026 ＜ 2116$
对不等式三边同时开平方，不等号方向不变，得：
$\sqrt{2025} ＜ \sqrt{2026} ＜ \sqrt{2116}$
即$45 ＜ \sqrt{2026} ＜ 46$
对不等式三边同时减22，不等号方向不变，得：
$45-22 ＜ \sqrt{2026} -22 ＜ 46-22$
计算得$23 ＜ \sqrt{2026} -22 ＜ 24$
又因为n为整数，且$n ＜ \sqrt{2026} -22 ＜ n+1$，所以$n=23$。
【答案】
C
【知识点】
估算无理数大小，平方根的概念，不等式的性质
【点评】
本题考查无理数的估算应用，解题核心是先确定被开方数对应的相邻完全平方数，进而得到无理数的取值范围，再通过不等式变形得到目标式的区间，即可快速确定整数n的值，是实数章节的基础常考题型。
【难度系数】
0.7
要确定n的值，首先需要估算出√2026的取值范围，再根据不等式的性质求出√2026 -22的取值范围，最后结合n为整数且n＜√2026 -22＜n+1的条件，即可得到n的值。解题时可借助题目给出的相邻整数的平方值，快速确定√2026所在的区间。
【解析】
已知$45^2=2025$，$46^2=2116$，可得：
$2025 ＜ 2026 ＜ 2116$
对不等式三边同时开平方，不等号方向不变，得：
$\sqrt{2025} ＜ \sqrt{2026} ＜ \sqrt{2116}$
即$45 ＜ \sqrt{2026} ＜ 46$
对不等式三边同时减22，不等号方向不变，得：
$45-22 ＜ \sqrt{2026} -22 ＜ 46-22$
计算得$23 ＜ \sqrt{2026} -22 ＜ 24$
又因为n为整数，且$n ＜ \sqrt{2026} -22 ＜ n+1$，所以$n=23$。
【答案】
C
【知识点】
估算无理数大小，平方根的概念，不等式的性质
【点评】
本题考查无理数的估算应用，解题核心是先确定被开方数对应的相邻完全平方数，进而得到无理数的取值范围，再通过不等式变形得到目标式的区间，即可快速确定整数n的值，是实数章节的基础常考题型。
【难度系数】
0.7
5.[2026济南期中]实数$a,b,c$在数轴上对应的点的位置如图所示,则化简$(\sqrt{a})^2 + |b - a| - \sqrt{(a - c)^2}$的结果为（
A.$-2a - b - 2c$
B.$a - b + c$
C.$c - b - a$
D.$-2a + b$
B
）A.$-2a - b - 2c$
B.$a - b + c$
C.$c - b - a$
D.$-2a + b$
答案
5.B
解析
【分析】
解题时首先观察数轴上点的位置，可得大小关系$b ＜ c ＜ 0 ＜ a$，据此判断各代数式的正负性；再结合二次根式的性质：$(\sqrt{x})^2=x（x≥0）$、$\sqrt{x^2}=|x|$，将原式转化为含绝对值的形式；最后根据绝对值的性质去掉绝对值符号，合并同类项即可得到化简结果。
【解析】
由数轴上点的位置可知：$b ＜ c ＜ 0 ＜ a$。
1. 化简$(\sqrt{a})^2$：
因为$a＞0$，根据二次根式的性质可得$(\sqrt{a})^2 = a$；
2. 化简$|b - a|$：
因为$b ＜ a$，所以$b - a ＜ 0$，根据负数的绝对值等于它的相反数，可得$|b - a| = -(b - a) = a - b$；
3. 化简$\sqrt{(a - c)^2}$：
根据二次根式性质$\sqrt{x^2}=|x|$，得$\sqrt{(a - c)^2}=|a - c|$，又因为$a ＞ c$，所以$a - c ＞ 0$，因此$|a - c|=a - c$。
将上述结果代入原式计算：
$\begin{aligned}原式&=a + (a - b) - (a - c)\\&=a + a - b - a + c\\&=a - b + c\end{aligned}$
【答案】
B
【知识点】
数轴的应用，二次根式的性质，绝对值化简
【点评】
本题是代数基础综合题，解题核心是先通过数轴判断代数式的正负，再结合二次根式和绝对值的性质逐步化简，熟练掌握相关性质是解题的关键。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察数轴上点的位置，可得大小关系$b ＜ c ＜ 0 ＜ a$，据此判断各代数式的正负性；再结合二次根式的性质：$(\sqrt{x})^2=x（x≥0）$、$\sqrt{x^2}=|x|$，将原式转化为含绝对值的形式；最后根据绝对值的性质去掉绝对值符号，合并同类项即可得到化简结果。
【解析】
由数轴上点的位置可知：$b ＜ c ＜ 0 ＜ a$。
1. 化简$(\sqrt{a})^2$：
因为$a＞0$，根据二次根式的性质可得$(\sqrt{a})^2 = a$；
2. 化简$|b - a|$：
因为$b ＜ a$，所以$b - a ＜ 0$，根据负数的绝对值等于它的相反数，可得$|b - a| = -(b - a) = a - b$；
3. 化简$\sqrt{(a - c)^2}$：
根据二次根式性质$\sqrt{x^2}=|x|$，得$\sqrt{(a - c)^2}=|a - c|$，又因为$a ＞ c$，所以$a - c ＞ 0$，因此$|a - c|=a - c$。
将上述结果代入原式计算：
$\begin{aligned}原式&=a + (a - b) - (a - c)\\&=a + a - b - a + c\\&=a - b + c\end{aligned}$
【答案】
B
【知识点】
数轴的应用，二次根式的性质，绝对值化简
【点评】
本题是代数基础综合题，解题核心是先通过数轴判断代数式的正负，再结合二次根式和绝对值的性质逐步化简，熟练掌握相关性质是解题的关键。
【难度系数】
0.7
6. 新题型新定义题 对于两个不相等的实数$a,b$，定义$\min\{a,b\}$的含义为：当$a＜b$时，$\min\{a,b\}=a$，当$a＞b$时，$\min\{a,b\}=b$。例如：$\min\{1,-2\}=-2$。已知$\min\{\sqrt{15},x\}=x$，$\min\{\sqrt{15},y\}=\sqrt{15}$，且$x$和$y$为两个连续正整数，则$\sqrt{4x+y}$的算术平方根为(
A.16
B.8
C.4
D.2
D
)A.16
B.8
C.4
D.2
答案
6.D 【点拨】由题意得，$\sqrt{15}＞x,\sqrt{15}＜y$. 因为 x 和 y 为两个连续正整数，$3＜\sqrt{15}＜4$，所以 $x=3,y=4$，所以 $4x+y=4×3+4=16$，所以 $\sqrt{4x+y}$ 的算术平方根为 2.
解析
【分析】首先要正确理解新定义$\min\{a,b\}$的含义，它表示取a、b中较小的数。第一步，根据给出的两个$\min$等式，分别推导出x与$\sqrt{15}$、y与$\sqrt{15}$的大小关系；第二步，估算$\sqrt{15}$介于哪两个连续正整数之间，结合x、y是连续正整数的条件，确定x、y的具体值；第三步，将x、y代入$\sqrt{4x+y}$计算出结果，最后再求这个结果的算术平方根即可得到答案，注意不要混淆最终所求的是两次开方后的结果，避免出错。
【解析】
解：根据新定义$\min\{a,b\}$表示取a、b中较小的数，可得：
∵$\min\{\sqrt{15},x\}=x$，
∴$x ＜ \sqrt{15}$
∵$\min\{\sqrt{15},y\}=\sqrt{15}$，
∴$\sqrt{15} ＜ y$
即$x ＜ \sqrt{15} ＜ y$
∵$3^2=9$，$4^2=16$，$9 ＜ 15 ＜ 16$，
∴$3 ＜ \sqrt{15} ＜ 4$
又
∵x和y是两个连续正整数，
∴$x=3$，$y=4$
代入计算得：$4x+y=4×3 + 4=16$
∴$\sqrt{4x+y}=\sqrt{16}=4$
∵4的算术平方根是2
∴$\sqrt{4x+y}$的算术平方根为2。
【答案】D
【知识点】新定义运算，无理数估算，算术平方根
【点评】本题结合新定义运算考查实数相关计算，解题的核心是准确理解新定义的运算规则，正确估算无理数的取值范围，同时要注意审题，明确最终所求为$\sqrt{4x+y}$的算术平方根，避免因漏看运算步骤出现错解。
【难度系数】0.7
【解析】
解：根据新定义$\min\{a,b\}$表示取a、b中较小的数，可得：
∵$\min\{\sqrt{15},x\}=x$，
∴$x ＜ \sqrt{15}$
∵$\min\{\sqrt{15},y\}=\sqrt{15}$，
∴$\sqrt{15} ＜ y$
即$x ＜ \sqrt{15} ＜ y$
∵$3^2=9$，$4^2=16$，$9 ＜ 15 ＜ 16$，
∴$3 ＜ \sqrt{15} ＜ 4$
又
∵x和y是两个连续正整数，
∴$x=3$，$y=4$
代入计算得：$4x+y=4×3 + 4=16$
∴$\sqrt{4x+y}=\sqrt{16}=4$
∵4的算术平方根是2
∴$\sqrt{4x+y}$的算术平方根为2。
【答案】D
【知识点】新定义运算，无理数估算，算术平方根
【点评】本题结合新定义运算考查实数相关计算，解题的核心是准确理解新定义的运算规则，正确估算无理数的取值范围，同时要注意审题，明确最终所求为$\sqrt{4x+y}$的算术平方根，避免因漏看运算步骤出现错解。
【难度系数】0.7
7. [浙江余姚中学自主招生] 已知非零实数$a,b$满足$|2a - 4| + |b + 2| + \sqrt{(a - 3)b^2} + 4 = 2a$，则$a + b$等于（
A.$-1$
B.$0$
C.$1$
D.$2$
C
）A.$-1$
B.$0$
C.$1$
D.$2$
答案
7.C 【点拨】由题意得$|2a - 4| + |b + 2| + \sqrt{(a - 3)b^2} = 2a - 4≥0$.
所以$|b+2|+\sqrt{(a-3)b^2}=0$,所以$b=-2,a=3$. 所以$a+b=1$.
所以$|b+2|+\sqrt{(a-3)b^2}=0$,所以$b=-2,a=3$. 所以$a+b=1$.
解析
【分析】
首先观察等式中含有绝对值、算术平方根两类具有非负性的式子，解题第一步先根据二次根式有意义的条件（被开方数非负），结合b是非零实数确定a的取值范围；再根据a的范围化简绝对值，代入原式后消去同类项，得到两个非负数相加为0的形式；最后利用“几个非负数的和为0时，每个非负数都为0”的性质求出a、b的值，计算a+b即可得到结果。
【解析】
解：要使二次根式$\sqrt{(a-3)b^2}$有意义，需满足被开方数非负，即$(a-3)b^2≥0$。
已知$b$是非零实数，因此$b^2＞0$，可得$a-3≥0$，即$a≥3$。
由$a≥3$可知$2a-4≥ 2×3-4=2＞0$，因此$|2a-4|=2a-4$。
将$|2a-4|=2a-4$代入原等式：
$2a-4 + |b+2| + \sqrt{(a-3)b^2} + 4 = 2a$
化简后得：$|b+2| + \sqrt{(a-3)b^2} = 0$
根据绝对值和算术平方根的非负性可知，$|b+2|≥0$，$\sqrt{(a-3)b^2}≥0$，两个非负数的和为0，则二者均为0：
$\begin{cases}b+2=0 \\a-3=0\end{cases}$
解得$\begin{cases}b=-2 \\a=3\end{cases}$
因此$a+b=3+(-2)=1$。
【答案】
C
【知识点】
二次根式有意义的条件；绝对值的性质；非负数的性质
【点评】
本题是典型的非负性综合应用题，解题的突破口是先通过二次根式的被开方数非负确定a的取值范围，进而化简绝对值，再结合非负数的性质求解，能够很好地考查学生对基础性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
首先观察等式中含有绝对值、算术平方根两类具有非负性的式子，解题第一步先根据二次根式有意义的条件（被开方数非负），结合b是非零实数确定a的取值范围；再根据a的范围化简绝对值，代入原式后消去同类项，得到两个非负数相加为0的形式；最后利用“几个非负数的和为0时，每个非负数都为0”的性质求出a、b的值，计算a+b即可得到结果。
【解析】
解：要使二次根式$\sqrt{(a-3)b^2}$有意义，需满足被开方数非负，即$(a-3)b^2≥0$。
已知$b$是非零实数，因此$b^2＞0$，可得$a-3≥0$，即$a≥3$。
由$a≥3$可知$2a-4≥ 2×3-4=2＞0$，因此$|2a-4|=2a-4$。
将$|2a-4|=2a-4$代入原等式：
$2a-4 + |b+2| + \sqrt{(a-3)b^2} + 4 = 2a$
化简后得：$|b+2| + \sqrt{(a-3)b^2} = 0$
根据绝对值和算术平方根的非负性可知，$|b+2|≥0$，$\sqrt{(a-3)b^2}≥0$，两个非负数的和为0，则二者均为0：
$\begin{cases}b+2=0 \\a-3=0\end{cases}$
解得$\begin{cases}b=-2 \\a=3\end{cases}$
因此$a+b=3+(-2)=1$。
【答案】
C
【知识点】
二次根式有意义的条件；绝对值的性质；非负数的性质
【点评】
本题是典型的非负性综合应用题，解题的突破口是先通过二次根式的被开方数非负确定a的取值范围，进而化简绝对值，再结合非负数的性质求解，能够很好地考查学生对基础性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
8. ★★ 已知按照一定规律排成的一列实数：$-1,\sqrt{2},\sqrt[3]{3},-2,\sqrt{5},\sqrt[3]{6},-\sqrt{7},\sqrt{8},\sqrt[3]{9},-\sqrt{10},\dots$，据此可推得这一列数中的第2026个数应是（
A.$\sqrt[3]{2026}$
B.$-\sqrt{2026}$
C.$\sqrt{2026}$
D.$2026$
B
）A.$\sqrt[3]{2026}$
B.$-\sqrt{2026}$
C.$\sqrt{2026}$
D.$2026$
答案
8.B 【点拨】由题意得$-1,\sqrt{2},\sqrt[3]{3};-\sqrt{4},\sqrt{5},\sqrt[3]{6};-\sqrt{7},\sqrt{8},\sqrt[3]{9};…,$每三个相邻的数为一组. 因为 $2\ 026÷3=675······1,$所以 2026 处在第 675 组后的第 1 个数,所以第 2 026 个数应是$-\sqrt{2\ 026}$.
解析
【分析】
首先观察已知数列的项的特征，对数列进行变形后可发现规律：每3个数为一组，每组内的数的符号、根指数、被开方数遵循固定规则：每组第1个数符号为负，根指数为2，被开方数等于该数在整列数中的序号；第2个数符号为正，根指数为2，被开方数等于序号；第3个数符号为正，根指数为3，被开方数等于序号。接下来只需要通过带余除法计算第2026个数位于第几组的第几个位置，即可对应写出该数。
【解析】
先将原数列每3个分为一组，对每组内的数变形可得：
第1组：$-1=-\sqrt{1}$，$\sqrt{2}$，$\sqrt[3]{3}$
第2组：$-2=-\sqrt{4}$，$\sqrt{5}$，$\sqrt[3]{6}$
第3组：$-\sqrt{7}$，$\sqrt{8}$，$\sqrt[3]{9}$
……
总结规律：每组内的3个数，被开方数与该数在整列数中的序号相等；每组的第1个数符号为负，运算为开平方；第2个数符号为正，运算为开平方；第3个数符号为正，运算为开立方。
计算2026除以3的结果：$2026÷3=675······1$，说明第2026个数是第676组的第1个数，因此该数符号为负，开平方，被开方数为2026，即$-\sqrt{2026}$。
【答案】
B
【知识点】
实数规律探究，平方根，立方根
【点评】
本题考查实数相关的规律探究问题，解题核心是通过对已知项变形分组，找到对应位置的数的符号、根指数、被开方数的规律，再结合带余除法确定所求数的位置即可得到答案，解题时注意不要混淆每组内不同位置的根指数和符号规则。
【难度系数】
0.7
首先观察已知数列的项的特征，对数列进行变形后可发现规律：每3个数为一组，每组内的数的符号、根指数、被开方数遵循固定规则：每组第1个数符号为负，根指数为2，被开方数等于该数在整列数中的序号；第2个数符号为正，根指数为2，被开方数等于序号；第3个数符号为正，根指数为3，被开方数等于序号。接下来只需要通过带余除法计算第2026个数位于第几组的第几个位置，即可对应写出该数。
【解析】
先将原数列每3个分为一组，对每组内的数变形可得：
第1组：$-1=-\sqrt{1}$，$\sqrt{2}$，$\sqrt[3]{3}$
第2组：$-2=-\sqrt{4}$，$\sqrt{5}$，$\sqrt[3]{6}$
第3组：$-\sqrt{7}$，$\sqrt{8}$，$\sqrt[3]{9}$
……
总结规律：每组内的3个数，被开方数与该数在整列数中的序号相等；每组的第1个数符号为负，运算为开平方；第2个数符号为正，运算为开平方；第3个数符号为正，运算为开立方。
计算2026除以3的结果：$2026÷3=675······1$，说明第2026个数是第676组的第1个数，因此该数符号为负，开平方，被开方数为2026，即$-\sqrt{2026}$。
【答案】
B
【知识点】
实数规律探究，平方根，立方根
【点评】
本题考查实数相关的规律探究问题，解题核心是通过对已知项变形分组，找到对应位置的数的符号、根指数、被开方数的规律，再结合带余除法确定所求数的位置即可得到答案，解题时注意不要混淆每组内不同位置的根指数和符号规则。
【难度系数】
0.7
9. 下列计算中,错误的是
①$(-\sqrt{2})^2 + (\sqrt[3]{2})^3 = 0$；
②$\sqrt[3]{-0.064} = -0.4$；
③$\sqrt[3]{(-2)^3} = -2$；
④$\sqrt{(±7)^2} = 7$。
①
.(填序号)①$(-\sqrt{2})^2 + (\sqrt[3]{2})^3 = 0$；
②$\sqrt[3]{-0.064} = -0.4$；
③$\sqrt[3]{(-2)^3} = -2$；
④$\sqrt{(±7)^2} = 7$。
答案
9. ①
解析
【分析】
要判断四个计算的对错，需结合平方根、立方根的基本性质，逐个计算每个式子的结果，再和原式给出的结果对比，即可找出错误的选项。计算时要注意：算术平方根的结果为非负数，立方根的符号与被开方数的符号一致，需区分开平方和开立方的性质差异。
【解析】
我们逐个验证每个式子：
① 计算$(-\sqrt{2})^2 + (\sqrt[3]{2})^3$：
$(-\sqrt{2})^2=(\sqrt{2})^2=2$，$(\sqrt[3]{2})^3=2$，所以原式结果为$2+2=4≠0$，该项计算错误；
② 计算$\sqrt[3]{-0.064}$：
因为$(-0.4)^3=-0.064$，所以$\sqrt[3]{-0.064}=-0.4$，该项计算正确；
③ 计算$\sqrt[3]{(-2)^3}$：
根据立方根性质“$\sqrt[3]{a^3}=a$”，可得$\sqrt[3]{(-2)^3}=-2$，该项计算正确；
④ 计算$\sqrt{(±7)^2}$：
先算乘方得$(±7)^2=49$，算术平方根是非负数，所以$\sqrt{49}=7$，该项计算正确。
综上，错误的是①。
【答案】
①
【知识点】
立方根运算，算术平方根运算，乘方运算
【点评】
本题考查平方根与立方根的基础运算，解题关键是牢记算术平方根结果为非负、立方根与被开方数符号一致的性质，避免混淆开平方和开立方的运算规则。
【难度系数】
0.8
要判断四个计算的对错，需结合平方根、立方根的基本性质，逐个计算每个式子的结果，再和原式给出的结果对比，即可找出错误的选项。计算时要注意：算术平方根的结果为非负数，立方根的符号与被开方数的符号一致，需区分开平方和开立方的性质差异。
【解析】
我们逐个验证每个式子：
① 计算$(-\sqrt{2})^2 + (\sqrt[3]{2})^3$：
$(-\sqrt{2})^2=(\sqrt{2})^2=2$，$(\sqrt[3]{2})^3=2$，所以原式结果为$2+2=4≠0$，该项计算错误；
② 计算$\sqrt[3]{-0.064}$：
因为$(-0.4)^3=-0.064$，所以$\sqrt[3]{-0.064}=-0.4$，该项计算正确；
③ 计算$\sqrt[3]{(-2)^3}$：
根据立方根性质“$\sqrt[3]{a^3}=a$”，可得$\sqrt[3]{(-2)^3}=-2$，该项计算正确；
④ 计算$\sqrt{(±7)^2}$：
先算乘方得$(±7)^2=49$，算术平方根是非负数，所以$\sqrt{49}=7$，该项计算正确。
综上，错误的是①。
【答案】
①
【知识点】
立方根运算，算术平方根运算，乘方运算
【点评】
本题考查平方根与立方根的基础运算，解题关键是牢记算术平方根结果为非负、立方根与被开方数符号一致的性质，避免混淆开平方和开立方的运算规则。
【难度系数】
0.8
10. 已知$5a+2$的立方根是$3$，$4b+1$的算术平方根是$3$，$c$是$\sqrt{13}$的整数部分，则$a+b+c=$
10
答案
10. 10
解析
【分析】
解题时可分三步推导：第一步根据立方根的定义列出关于a的方程，求解得到a的值；第二步根据算术平方根的定义列出关于b的方程，求解得到b的值；第三步通过估算√13的取值范围确定其整数部分c的值，最后将三者相加即可得到结果。
【解析】
解：1. 求a的值：
已知$5a+2$的立方根是3，根据立方根的定义：若数x的立方根为y，则$x=y^3$，可得：
$5a+2=3^3=27$
解得$5a=25$，即$a=5$
2. 求b的值：
已知$4b+1$的算术平方根是3，根据算术平方根的定义：若非负数x的算术平方根为y（$y≥0$），则$x=y^2$，可得：
$4b+1=3^2=9$
解得$4b=8$，即$b=2$
3. 求c的值：
因为$9＜13＜16$，所以$\sqrt{9}＜\sqrt{13}＜\sqrt{16}$，即$3＜\sqrt{13}＜4$，因此$\sqrt{13}$的整数部分$c=3$
4. 计算$a+b+c$：
$a+b+c=5+2+3=10$
【答案】
10
【知识点】
立方根的定义，算术平方根的定义，无理数的估算
【点评】
本题属于基础概念综合题，结合了根式性质和无理数估算两个考点，解题核心是牢记各类根式的定义，掌握常见无理数的范围估算方法，整体计算量小，是实数章节的常考基础题。
【难度系数】
0.8
解题时可分三步推导：第一步根据立方根的定义列出关于a的方程，求解得到a的值；第二步根据算术平方根的定义列出关于b的方程，求解得到b的值；第三步通过估算√13的取值范围确定其整数部分c的值，最后将三者相加即可得到结果。
【解析】
解：1. 求a的值：
已知$5a+2$的立方根是3，根据立方根的定义：若数x的立方根为y，则$x=y^3$，可得：
$5a+2=3^3=27$
解得$5a=25$，即$a=5$
2. 求b的值：
已知$4b+1$的算术平方根是3，根据算术平方根的定义：若非负数x的算术平方根为y（$y≥0$），则$x=y^2$，可得：
$4b+1=3^2=9$
解得$4b=8$，即$b=2$
3. 求c的值：
因为$9＜13＜16$，所以$\sqrt{9}＜\sqrt{13}＜\sqrt{16}$，即$3＜\sqrt{13}＜4$，因此$\sqrt{13}$的整数部分$c=3$
4. 计算$a+b+c$：
$a+b+c=5+2+3=10$
【答案】
10
【知识点】
立方根的定义，算术平方根的定义，无理数的估算
【点评】
本题属于基础概念综合题，结合了根式性质和无理数估算两个考点，解题核心是牢记各类根式的定义，掌握常见无理数的范围估算方法，整体计算量小，是实数章节的常考基础题。
【难度系数】
0.8
11. 新题型结论开放题 如图，A，B，C均为正方形，若A的面积为10，C的面积为1，则B的边长可以是
2(答案不唯一)
.(写出一个答案即可)答案
11. 2(答案不唯一)
解析
【分析】
首先回忆正方形面积与边长的关系：正方形面积等于边长的平方，因此边长是对应面积的算术平方根。先分别计算出正方形A和C的边长，再结合图形观察三个正方形的边长大小关系：B的边长大于C的边长，且小于A的边长，得到B边长的取值范围，最后在范围内任取一个符合要求的数即可。
【解析】
解：根据正方形面积公式$S=a^2$（$a$为正方形边长）可得：
正方形A的边长为$\sqrt{10}\approx3.16$，正方形C的边长为$\sqrt{1}=1$。
结合图形可知，正方形B的边长满足关系：$1＜\mathrm{B的边长}＜\sqrt{10}$，在该范围内的正数均符合要求，例如可取边长为2。
【答案】
2（答案不唯一）
【知识点】
正方形面积计算，算术平方根，实数大小比较
【点评】
本题为结论开放题，解题核心是结合图形明确未知量的取值范围，只要选取的数值在范围内均正确，侧重考查数形结合的应用意识。
【难度系数】
0.8
首先回忆正方形面积与边长的关系：正方形面积等于边长的平方，因此边长是对应面积的算术平方根。先分别计算出正方形A和C的边长，再结合图形观察三个正方形的边长大小关系：B的边长大于C的边长，且小于A的边长，得到B边长的取值范围，最后在范围内任取一个符合要求的数即可。
【解析】
解：根据正方形面积公式$S=a^2$（$a$为正方形边长）可得：
正方形A的边长为$\sqrt{10}\approx3.16$，正方形C的边长为$\sqrt{1}=1$。
结合图形可知，正方形B的边长满足关系：$1＜\mathrm{B的边长}＜\sqrt{10}$，在该范围内的正数均符合要求，例如可取边长为2。
【答案】
2（答案不唯一）
【知识点】
正方形面积计算，算术平方根，实数大小比较
【点评】
本题为结论开放题，解题核心是结合图形明确未知量的取值范围，只要选取的数值在范围内均正确，侧重考查数形结合的应用意识。
【难度系数】
0.8
12. 我们已经学习了利用“夹逼法”估算$\sqrt{n}$的值，现在用$a_n$表示距离$\sqrt{n}$（$n$为正整数）最近的正整数.例如：$a_1$表示距离$\sqrt{1}$最近的正整数，所以$a_1=1$；$a_2$表示距离$\sqrt{2}$最近的正整数，所以$a_2=1$；$a_3$表示距离$\sqrt{3}$最近的正整数，所以$a_3=2$，…，利用这些发现得到以下结论：
①若$a_n=3$，则$n$的值有
②当$\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+…+\frac{1}{a_n}=20$时，$n$的值为
①若$a_n=3$，则$n$的值有
6
个；②当$\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+…+\frac{1}{a_n}=20$时，$n$的值为
110
.答案
12. ①6 ②110 【点拨】①当$a_n=3$时,$n$ 为 $7,8,9,10,11,12,$一共有 6 个;②由 $a_1=1,a_2=1,a_3=2,a_4=2,a_5=2,a_6=2,a_7=3,a_8=3,a_9=3,a_{10}=3,a_{11}=3,a_{12}=3,…;$可得结果中有 2 个 1,4 个 2,6 个 3,…,所以$\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+…+\frac{1}{a_n}=20=10×2=2×1+4×\frac{1}{2}+6×\frac{1}{3}+…+20×\frac{1}{10},$所以 $n=2+4+6+…+20=\frac{2+20}{2}×10=110.$
解析
【分析】
首先明确aₙ的定义：aₙ是距离√n最近的正整数，即满足|√n - aₙ| ＜ 0.5，通过解这个不等式可推导当aₙ=k（k为正整数）时正整数n的取值范围，以及每个k对应的n的个数。①问直接代入k=3求出n的取值范围，数出符合条件的n的个数即可；②问先归纳出每个k对应的所有1/aₙ的和的规律，再根据总和为20确定包含多少组k，最后累加每组的项数得到n的值。
【解析】
若aₙ=k（k为正整数），则√n到k的距离小于到相邻整数的距离，即$\left|\sqrt{n}-k\right|＜0.5$，不等式两边同时平方得：
$(k-0.5)^2 ＜ n ＜ (k+0.5)^2$
展开得：$k^2 -k +0.25 ＜ n ＜ k^2 +k +0.25$
因为n是正整数，所以n的取值为$k^2 -k +1, k^2 -k +2, \dots, k^2 +k$，共$2k$个。
①当$a_n=3$时，k=3，n的取值范围为$3^2 -3 +1=7$到$3^2 +3=12$，即n=7、8、9、10、11、12，共6个。
②由上述规律可得：
k=1时，有$2×1=2$个项，每一项的$\frac{1}{a_n}=\frac{1}{1}$，这部分的和为$2×1=2$；
k=2时，有$2×2=4$个项，每一项的$\frac{1}{a_n}=\frac{1}{2}$，这部分的和为$4×\frac{1}{2}=2$；
k=3时，有$2×3=6$个项，每一项的$\frac{1}{a_n}=\frac{1}{3}$，这部分的和为$6×\frac{1}{3}=2$；
……
以此类推，每个k对应的所有$\frac{1}{a_n}$的和均为2。
现在总和为20，说明共有$20÷2=10$组，即k从1取到10，总项数n为各组项数之和：
$n=2+4+6+\dots+20=\frac{(2+20)×10}{2}=110$
【答案】
①6；②110
【知识点】
新定义运算，无理数估算，等差数列求和
【点评】
本题为新定义题型，需要先准确理解题干给出的aₙ的含义，通过不等式推导找到n的取值规律，再结合规律计算求和，考查阅读理解能力和归纳推理能力。
【难度系数】
0.6
首先明确aₙ的定义：aₙ是距离√n最近的正整数，即满足|√n - aₙ| ＜ 0.5，通过解这个不等式可推导当aₙ=k（k为正整数）时正整数n的取值范围，以及每个k对应的n的个数。①问直接代入k=3求出n的取值范围，数出符合条件的n的个数即可；②问先归纳出每个k对应的所有1/aₙ的和的规律，再根据总和为20确定包含多少组k，最后累加每组的项数得到n的值。
【解析】
若aₙ=k（k为正整数），则√n到k的距离小于到相邻整数的距离，即$\left|\sqrt{n}-k\right|＜0.5$，不等式两边同时平方得：
$(k-0.5)^2 ＜ n ＜ (k+0.5)^2$
展开得：$k^2 -k +0.25 ＜ n ＜ k^2 +k +0.25$
因为n是正整数，所以n的取值为$k^2 -k +1, k^2 -k +2, \dots, k^2 +k$，共$2k$个。
①当$a_n=3$时，k=3，n的取值范围为$3^2 -3 +1=7$到$3^2 +3=12$，即n=7、8、9、10、11、12，共6个。
②由上述规律可得：
k=1时，有$2×1=2$个项，每一项的$\frac{1}{a_n}=\frac{1}{1}$，这部分的和为$2×1=2$；
k=2时，有$2×2=4$个项，每一项的$\frac{1}{a_n}=\frac{1}{2}$，这部分的和为$4×\frac{1}{2}=2$；
k=3时，有$2×3=6$个项，每一项的$\frac{1}{a_n}=\frac{1}{3}$，这部分的和为$6×\frac{1}{3}=2$；
……
以此类推，每个k对应的所有$\frac{1}{a_n}$的和均为2。
现在总和为20，说明共有$20÷2=10$组，即k从1取到10，总项数n为各组项数之和：
$n=2+4+6+\dots+20=\frac{(2+20)×10}{2}=110$
【答案】
①6；②110
【知识点】
新定义运算，无理数估算，等差数列求和
【点评】
本题为新定义题型，需要先准确理解题干给出的aₙ的含义，通过不等式推导找到n的取值规律，再结合规律计算求和，考查阅读理解能力和归纳推理能力。
【难度系数】
0.6
三、解答题(共48分)
13.(8分)把下列各数填入相应的集合内：
$-\frac{1}{2},0,0.16,3\frac{1}{2},0.1\dot{5},\sqrt{3},-\frac{\sqrt{5}}{3},\frac{π}{3},\sqrt{16},\sqrt[3]{-27},1.234\ 56,3.212\ 112\ 111\ 2···$(每相邻两个2之间1的个数逐次加1).
整数集合：$\{···\}$；
分数集合：$\{···\}$；
有理数集合：$\{···\}$；
无理数集合：$\{···\}$；
13.(8分)把下列各数填入相应的集合内：
$-\frac{1}{2},0,0.16,3\frac{1}{2},0.1\dot{5},\sqrt{3},-\frac{\sqrt{5}}{3},\frac{π}{3},\sqrt{16},\sqrt[3]{-27},1.234\ 56,3.212\ 112\ 111\ 2···$(每相邻两个2之间1的个数逐次加1).
整数集合：$\{···\}$；
分数集合：$\{···\}$；
有理数集合：$\{···\}$；
无理数集合：$\{···\}$；
答案
13.【解】整数集合:$\{0,\sqrt{16},\sqrt[3]{-27},…\}$；
分数集合:$\{-\frac{1}{2},0.16,3\frac{1}{2},0.1\dot{5},1.234\ 56,…\}$；
有理数集合:$\{-\frac{1}{2},0,0.16,3\frac{1}{2},0.1\dot{5},\sqrt{16},\sqrt[3]{-27},1.234\ 56,…\}$；
无理数集合:$\{\sqrt{3},-\frac{\sqrt{5}}{3},\frac{π}{3},3.212\ 112\ 111\ 2…(每相邻两个2之间1的个数逐次加1),…\}$.
分数集合:$\{-\frac{1}{2},0.16,3\frac{1}{2},0.1\dot{5},1.234\ 56,…\}$；
有理数集合:$\{-\frac{1}{2},0,0.16,3\frac{1}{2},0.1\dot{5},\sqrt{16},\sqrt[3]{-27},1.234\ 56,…\}$；
无理数集合:$\{\sqrt{3},-\frac{\sqrt{5}}{3},\frac{π}{3},3.212\ 112\ 111\ 2…(每相邻两个2之间1的个数逐次加1),…\}$.
解析
【分析】
解题时先明确各类数的定义：①整数包含正整数、0、负整数；②分数包含正分数、负分数，有限小数和无限循环小数都属于分数；③有理数是整数和分数的统称；④无理数是无限不循环小数，常见类型有开方开不尽的数、含π的数、有规律但不循环的无限小数。解题第一步先化简题中带根号、开立方的数，再对照定义逐个归类即可。
【解析】
先化简特殊数：$\sqrt{16}=4$，$\sqrt[3]{-27}=-3$，均为整数。
1. 整数集合：筛选属于正整数、0、负整数的数，可得对应集合元素；
2. 分数集合：筛选属于有限小数、无限循环小数、分数形式的有理数，可得对应集合元素；
3. 有理数集合：将所有整数和分数的元素合并，可得对应集合元素；
4. 无理数集合：筛选无限不循环小数，可得对应集合元素。
【答案】
整数集合:$\{0,\sqrt{16},\sqrt[3]{-27},…\}$；
分数集合:$\{-\frac{1}{2},0.16,3\frac{1}{2},0.1\dot{5},1.234\ 56,…\}$；
有理数集合:$\{-\frac{1}{2},0,0.16,3\frac{1}{2},0.1\dot{5},\sqrt{16},\sqrt[3]{-27},1.234\ 56,…\}$；
无理数集合:$\{\sqrt{3},-\frac{\sqrt{5}}{3},\frac{π}{3},3.212\ 112\ 111\ 2…(每相邻两个2之间1的个数逐次加1),…\}$.
【知识点】
实数的分类；有理数的定义；无理数的定义
【点评】
本题核心考查对实数分类标准的掌握，解题时需注意：要先化简含根号、开立方的数再判断类别，不要误将带根号的数都归为无理数；同时注意区分无限循环小数（有理数）和有规律但不循环的无限小数（无理数），避免概念混淆。
【难度系数】
0.7
解题时先明确各类数的定义：①整数包含正整数、0、负整数；②分数包含正分数、负分数，有限小数和无限循环小数都属于分数；③有理数是整数和分数的统称；④无理数是无限不循环小数，常见类型有开方开不尽的数、含π的数、有规律但不循环的无限小数。解题第一步先化简题中带根号、开立方的数，再对照定义逐个归类即可。
【解析】
先化简特殊数：$\sqrt{16}=4$，$\sqrt[3]{-27}=-3$，均为整数。
1. 整数集合：筛选属于正整数、0、负整数的数，可得对应集合元素；
2. 分数集合：筛选属于有限小数、无限循环小数、分数形式的有理数，可得对应集合元素；
3. 有理数集合：将所有整数和分数的元素合并，可得对应集合元素；
4. 无理数集合：筛选无限不循环小数，可得对应集合元素。
【答案】
整数集合:$\{0,\sqrt{16},\sqrt[3]{-27},…\}$；
分数集合:$\{-\frac{1}{2},0.16,3\frac{1}{2},0.1\dot{5},1.234\ 56,…\}$；
有理数集合:$\{-\frac{1}{2},0,0.16,3\frac{1}{2},0.1\dot{5},\sqrt{16},\sqrt[3]{-27},1.234\ 56,…\}$；
无理数集合:$\{\sqrt{3},-\frac{\sqrt{5}}{3},\frac{π}{3},3.212\ 112\ 111\ 2…(每相邻两个2之间1的个数逐次加1),…\}$.
【知识点】
实数的分类；有理数的定义；无理数的定义
【点评】
本题核心考查对实数分类标准的掌握，解题时需注意：要先化简含根号、开立方的数再判断类别，不要误将带根号的数都归为无理数；同时注意区分无限循环小数（有理数）和有规律但不循环的无限小数（无理数），避免概念混淆。
【难度系数】
0.7
