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1. 下列各式变形正确的是 （
A.$\sqrt{(-4) × (-9)} = \sqrt{-4} × \sqrt{-9}$
B.$\sqrt{9 + 4} = \sqrt{9} + \sqrt{4}$
C.$\sqrt{9 \frac{1}{4}} = \sqrt{9} × \sqrt{\frac{1}{4}}$
D.$\sqrt{4 × 9} = \sqrt{4} × \sqrt{9}$
D
）A.$\sqrt{(-4) × (-9)} = \sqrt{-4} × \sqrt{-9}$
B.$\sqrt{9 + 4} = \sqrt{9} + \sqrt{4}$
C.$\sqrt{9 \frac{1}{4}} = \sqrt{9} × \sqrt{\frac{1}{4}}$
D.$\sqrt{4 × 9} = \sqrt{4} × \sqrt{9}$
答案
1.D
解析
【分析】
解题时首先要明确二次根式的核心要求：一是被开方数必须为非负数，否则二次根式在实数范围内无意义；二是二次根式的乘法法则$\sqrt{ab}=\sqrt{a}·\sqrt{b}$仅在$a≥0$、$b≥0$时成立，且二次根式没有类似的加法拆分法则。接下来逐个验证选项的变形是否符合上述规则即可。
【解析】
我们对每个选项逐一判断：
选项A：$\sqrt{-4}$和$\sqrt{-9}$的被开方数为负数，在实数范围内无意义，变形不成立，A错误；
选项B：二次根式不存在$\sqrt{a+b}=\sqrt{a}+\sqrt{b}$的运算法则，计算得左边$\sqrt{9+4}=\sqrt{13}$，右边$\sqrt{9}+\sqrt{4}=3+2=5$，$\sqrt{13}≠5$，B错误；
选项C：$9\frac{1}{4}=\frac{37}{4}$，左边$\sqrt{9\frac{1}{4}}=\sqrt{\frac{37}{4}}=\frac{\sqrt{37}}{2}$，右边$\sqrt{9}×\sqrt{\frac{1}{4}}=3×\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$，二者不相等，C错误；
选项D：符合二次根式乘法法则$\sqrt{ab}=\sqrt{a}·\sqrt{b}\ (a≥0,b≥0)$，计算得左边$\sqrt{4×9}=\sqrt{36}=6$，右边$\sqrt{4}×\sqrt{9}=2×3=6$，变形正确，D正确。
【答案】
D
【知识点】
1. 二次根式有意义的条件
2. 二次根式的乘法法则
【点评】
本题属于基础概念考查题，需要准确记忆二次根式相关运算的适用前提，避免出现随意拆分根号、对负数开根号等常见错误。
【难度系数】
0.8
解题时首先要明确二次根式的核心要求：一是被开方数必须为非负数，否则二次根式在实数范围内无意义；二是二次根式的乘法法则$\sqrt{ab}=\sqrt{a}·\sqrt{b}$仅在$a≥0$、$b≥0$时成立，且二次根式没有类似的加法拆分法则。接下来逐个验证选项的变形是否符合上述规则即可。
【解析】
我们对每个选项逐一判断：
选项A：$\sqrt{-4}$和$\sqrt{-9}$的被开方数为负数，在实数范围内无意义，变形不成立，A错误；
选项B：二次根式不存在$\sqrt{a+b}=\sqrt{a}+\sqrt{b}$的运算法则，计算得左边$\sqrt{9+4}=\sqrt{13}$，右边$\sqrt{9}+\sqrt{4}=3+2=5$，$\sqrt{13}≠5$，B错误；
选项C：$9\frac{1}{4}=\frac{37}{4}$，左边$\sqrt{9\frac{1}{4}}=\sqrt{\frac{37}{4}}=\frac{\sqrt{37}}{2}$，右边$\sqrt{9}×\sqrt{\frac{1}{4}}=3×\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$，二者不相等，C错误；
选项D：符合二次根式乘法法则$\sqrt{ab}=\sqrt{a}·\sqrt{b}\ (a≥0,b≥0)$，计算得左边$\sqrt{4×9}=\sqrt{36}=6$，右边$\sqrt{4}×\sqrt{9}=2×3=6$，变形正确，D正确。
【答案】
D
【知识点】
1. 二次根式有意义的条件
2. 二次根式的乘法法则
【点评】
本题属于基础概念考查题，需要准确记忆二次根式相关运算的适用前提，避免出现随意拆分根号、对负数开根号等常见错误。
【难度系数】
0.8
2. 化简$\sqrt{(-2)^2 × 3}$的结果是 （
A.$2\sqrt{3}$
B.$-2\sqrt{3}$
C.$3\sqrt{2}$
D.$-3\sqrt{2}$
A
）A.$2\sqrt{3}$
B.$-2\sqrt{3}$
C.$3\sqrt{2}$
D.$-3\sqrt{2}$
答案
2.A
解析
【分析】
拿到这道二次根式化简题，首先回忆二次根式的相关运算性质：1. 二次根式乘法法则$\sqrt{ab}=\sqrt{a}·\sqrt{b}$（$a≥0,b≥0$），可将根号下的乘积拆分为多个因式的算术平方根相乘；2. 算术平方根具有非负性，$\sqrt{a^2}=|a|$，开方结果不可能为负数。解题时先拆分根号下的乘积项，先计算含平方的项的算术平方根，再与剩余部分相乘即可得到结果，同时可直接排除带负号的错误选项。
【解析】
根据二次根式的运算性质化简：
$\begin{aligned}\sqrt{(-2)^2 × 3}&=\sqrt{(-2)^2} × \sqrt{3}\\&=|-2| × \sqrt{3}\\&=2\sqrt{3}\end{aligned}$
因此答案选A。
【答案】
A
【知识点】
二次根式的性质；二次根式化简；算术平方根的非负性
【点评】
本题是二次根式化简的基础题型，易错点是忽略算术平方根的非负性，误选带负号的选项，熟练掌握二次根式的运算性质即可快速解答。
【难度系数】
0.8
拿到这道二次根式化简题，首先回忆二次根式的相关运算性质：1. 二次根式乘法法则$\sqrt{ab}=\sqrt{a}·\sqrt{b}$（$a≥0,b≥0$），可将根号下的乘积拆分为多个因式的算术平方根相乘；2. 算术平方根具有非负性，$\sqrt{a^2}=|a|$，开方结果不可能为负数。解题时先拆分根号下的乘积项，先计算含平方的项的算术平方根，再与剩余部分相乘即可得到结果，同时可直接排除带负号的错误选项。
【解析】
根据二次根式的运算性质化简：
$\begin{aligned}\sqrt{(-2)^2 × 3}&=\sqrt{(-2)^2} × \sqrt{3}\\&=|-2| × \sqrt{3}\\&=2\sqrt{3}\end{aligned}$
因此答案选A。
【答案】
A
【知识点】
二次根式的性质；二次根式化简；算术平方根的非负性
【点评】
本题是二次根式化简的基础题型，易错点是忽略算术平方根的非负性，误选带负号的选项，熟练掌握二次根式的运算性质即可快速解答。
【难度系数】
0.8
3. 新题型结论开放题 小华和小刚两人分别拿一张卡片，小华在卡片上写二次根式$a$，小刚在卡片上写二次根式$b$，使得$ab=\sqrt{18}$，请你写出一对满足条件的$a,b$的值：
$\sqrt{3},\sqrt{6}$(答案不唯一)
。答案
3.$\sqrt{3},\sqrt{6}$(答案不唯一)
解析
【分析】
要找到满足条件的二次根式a、b，需运用二次根式的乘法法则逆推：二次根式乘法规则为$\sqrt{x}·\sqrt{y}=\sqrt{xy}$（$x≥0,y≥0$），已知$ab=\sqrt{18}$，因此只需将18拆分为两个非负因数的乘积，将两个因数分别作为a、b的被开方数，即可得到符合要求的二次根式，拆分方式不唯一，因此答案不唯一。
【解析】
根据二次根式的乘法法则：$\sqrt{m}·\sqrt{n}=\sqrt{mn}$（$m≥0,n≥0$）。
我们将18分解为两个正整数的乘积，例如$18=3×6$，此时取$a=\sqrt{3}$，$b=\sqrt{6}$，
验证：$ab=\sqrt{3} × \sqrt{6} = \sqrt{3×6} = \sqrt{18}$，满足题干要求。
还可将18拆分为$2×9$、$1×18$等，对应可得到多组解，因此答案不唯一。
【答案】
$\sqrt{3},\sqrt{6}$（答案不唯一）
【知识点】
二次根式的乘法运算，因数分解
【点评】
本题为开放类题目，核心考查二次根式乘法法则的逆用，解题时灵活拆分被开方数即可，作答时注意所写的a、b必须都是二次根式，且乘积符合要求即可。
【难度系数】
0.8
要找到满足条件的二次根式a、b，需运用二次根式的乘法法则逆推：二次根式乘法规则为$\sqrt{x}·\sqrt{y}=\sqrt{xy}$（$x≥0,y≥0$），已知$ab=\sqrt{18}$，因此只需将18拆分为两个非负因数的乘积，将两个因数分别作为a、b的被开方数，即可得到符合要求的二次根式，拆分方式不唯一，因此答案不唯一。
【解析】
根据二次根式的乘法法则：$\sqrt{m}·\sqrt{n}=\sqrt{mn}$（$m≥0,n≥0$）。
我们将18分解为两个正整数的乘积，例如$18=3×6$，此时取$a=\sqrt{3}$，$b=\sqrt{6}$，
验证：$ab=\sqrt{3} × \sqrt{6} = \sqrt{3×6} = \sqrt{18}$，满足题干要求。
还可将18拆分为$2×9$、$1×18$等，对应可得到多组解，因此答案不唯一。
【答案】
$\sqrt{3},\sqrt{6}$（答案不唯一）
【知识点】
二次根式的乘法运算，因数分解
【点评】
本题为开放类题目，核心考查二次根式乘法法则的逆用，解题时灵活拆分被开方数即可，作答时注意所写的a、b必须都是二次根式，且乘积符合要求即可。
【难度系数】
0.8
4.若$\sqrt{b-4}+(a-3)^2=0$，则化简$\sqrt{\frac{a}{b}}$的结果是（
A.$\frac{3}{2}$
B.$\frac{\sqrt{3}}{2}$
C.$\pm\sqrt{3}$
D.$\sqrt{3}$
B
）A.$\frac{3}{2}$
B.$\frac{\sqrt{3}}{2}$
C.$\pm\sqrt{3}$
D.$\sqrt{3}$
答案
4.B
解析
【分析】
解题时首先回忆非负数的性质：算术平方根、完全平方数都是非负数，若两个非负数的和为0，则这两个非负数分别为0。据此先列出关于a、b的方程，求出a、b的值，再将其代入待化简的二次根式中，按照二次根式的化简规则计算即可，注意二次根式的结果是非负的，可据此排除错误选项。
【解析】
解：
∵ $\sqrt{b-4} ≥ 0$，$(a-3)^2 ≥ 0$，且$\sqrt{b-4}+(a-3)^2=0$
∴ 根据非负数的性质可得：
$\begin{cases}b-4=0 \\a-3=0\end{cases}$
解得：$a=3$，$b=4$
将$a=3$，$b=4$代入$\sqrt{\frac{a}{b}}$得：
$\sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$
故选B。
【答案】
B
【知识点】
非负数的性质；二次根式的化简
【点评】
本题是非负性与二次根式结合的基础题，解题核心是先利用非负性求出未知参数的值，再代入化简，需要注意二次根式的结果具有非负性，避免误选带正负号的选项，同时化简时不要漏掉根号误选有理数结果。
【难度系数】
0.75
解题时首先回忆非负数的性质：算术平方根、完全平方数都是非负数，若两个非负数的和为0，则这两个非负数分别为0。据此先列出关于a、b的方程，求出a、b的值，再将其代入待化简的二次根式中，按照二次根式的化简规则计算即可，注意二次根式的结果是非负的，可据此排除错误选项。
【解析】
解：
∵ $\sqrt{b-4} ≥ 0$，$(a-3)^2 ≥ 0$，且$\sqrt{b-4}+(a-3)^2=0$
∴ 根据非负数的性质可得：
$\begin{cases}b-4=0 \\a-3=0\end{cases}$
解得：$a=3$，$b=4$
将$a=3$，$b=4$代入$\sqrt{\frac{a}{b}}$得：
$\sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$
故选B。
【答案】
B
【知识点】
非负数的性质；二次根式的化简
【点评】
本题是非负性与二次根式结合的基础题，解题核心是先利用非负性求出未知参数的值，再代入化简，需要注意二次根式的结果具有非负性，避免误选带正负号的选项，同时化简时不要漏掉根号误选有理数结果。
【难度系数】
0.75
5. 化简二次根式$\sqrt{-\dfrac{1}{x}}(x＜0)$正确的是 （
A.$\dfrac{\sqrt{x}}{x}$
B.$\dfrac{\sqrt{-x}}{x}$
C.$-\dfrac{\sqrt{-x}}{x}$
D.$-\dfrac{\sqrt{x}}{x}$
C
）A.$\dfrac{\sqrt{x}}{x}$
B.$\dfrac{\sqrt{-x}}{x}$
C.$-\dfrac{\sqrt{-x}}{x}$
D.$-\dfrac{\sqrt{x}}{x}$
答案
5.C 【点拨】因为 $x＜0$，所以 $\sqrt{-\dfrac{1}{x}} = \sqrt{-\dfrac{x}{x^2}} = -\dfrac{\sqrt{-x}}{x}$，故选 C.
解析
【分析】
要化简这个二次根式，首先明确二次根式的被开方数必须为非负数，题目已给出x＜0，可判断被开方数$-\dfrac{1}{x}$是正数，符合要求。接下来的核心思路是将被开方数的分母凑成完全平方形式，方便移出根号：先给被开方数的分子、分母同乘x，把分母变为$x^2$，再利用二次根式的性质$\sqrt{a^2}=|a|$开方，最后结合x＜0的条件化简绝对值、整理符号即可得到结果。
【解析】
已知$x＜0$，因此：
1. 将被开方数的分子分母同乘x，把分母化为完全平方：
$\sqrt{-\dfrac{1}{x}}=\sqrt{-\dfrac{1× x}{x× x}}=\sqrt{\dfrac{-x}{x^2}}$
2. 根据二次根式的性质$\sqrt{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}(a≥0,b＞0)$拆分：
$\sqrt{\dfrac{-x}{x^2}}=\dfrac{\sqrt{-x}}{\sqrt{x^2}}$
3. 根据二次根式性质$\sqrt{x^2}=|x|$，结合$x＜0$可得$|x|=-x$，代入化简：
$\dfrac{\sqrt{-x}}{\sqrt{x^2}}=\dfrac{\sqrt{-x}}{|x|}=\dfrac{\sqrt{-x}}{-x}=-\dfrac{\sqrt{-x}}{x}$
因此正确选项为C。
【答案】
C
【知识点】
二次根式的性质，绝对值的化简，二次根式化简
【点评】
本题是二次根式化简的典型易错题，解题的关键是牢记二次根号下的数开平方后结果为非负数，要结合题目给出的未知数取值范围判断符号，避免出现符号错误。
【难度系数】
0.6
要化简这个二次根式，首先明确二次根式的被开方数必须为非负数，题目已给出x＜0，可判断被开方数$-\dfrac{1}{x}$是正数，符合要求。接下来的核心思路是将被开方数的分母凑成完全平方形式，方便移出根号：先给被开方数的分子、分母同乘x，把分母变为$x^2$，再利用二次根式的性质$\sqrt{a^2}=|a|$开方，最后结合x＜0的条件化简绝对值、整理符号即可得到结果。
【解析】
已知$x＜0$，因此：
1. 将被开方数的分子分母同乘x，把分母化为完全平方：
$\sqrt{-\dfrac{1}{x}}=\sqrt{-\dfrac{1× x}{x× x}}=\sqrt{\dfrac{-x}{x^2}}$
2. 根据二次根式的性质$\sqrt{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}(a≥0,b＞0)$拆分：
$\sqrt{\dfrac{-x}{x^2}}=\dfrac{\sqrt{-x}}{\sqrt{x^2}}$
3. 根据二次根式性质$\sqrt{x^2}=|x|$，结合$x＜0$可得$|x|=-x$，代入化简：
$\dfrac{\sqrt{-x}}{\sqrt{x^2}}=\dfrac{\sqrt{-x}}{|x|}=\dfrac{\sqrt{-x}}{-x}=-\dfrac{\sqrt{-x}}{x}$
因此正确选项为C。
【答案】
C
【知识点】
二次根式的性质，绝对值的化简，二次根式化简
【点评】
本题是二次根式化简的典型易错题，解题的关键是牢记二次根号下的数开平方后结果为非负数，要结合题目给出的未知数取值范围判断符号，避免出现符号错误。
【难度系数】
0.6
6. 如果$\frac{2}{3}\sqrt{9x} + 6\sqrt{\frac{x}{4}} = 20$，那么$x=$
16
.答案
6.16 【点拨】因为$\frac{2}{3}\sqrt{9x}+6\sqrt{\frac{x}{4}}=20$，所以$\frac{2}{3}×3\sqrt{x}+6×\frac{\sqrt{x}}{2}=20$，即 $2\sqrt{x}+3\sqrt{x}=20$，所以 $5\sqrt{x}=20$，所以$\sqrt{x}=4$，所以 $x=16$. 经检验：$x=16$ 是原方程的解，故答案为 16.
解析
【分析】
这是一道含二次根式的解方程题，解题思路可分为三步：第一步，先将方程中两个非最简二次根式分别化为最简二次根式；第二步，识别化简后的两项都是含$\sqrt{x}$的同类二次根式，将其合并；第三步，得到关于$\sqrt{x}$的一元一次方程，求解后两边平方得到$x$的值，最后检验$x$是否满足二次根式有意义的条件、是否为原方程的解。
【解析】
解：先化简原方程中的二次根式：
$\frac{2}{3}\sqrt{9x} = \frac{2}{3}×3\sqrt{x} = 2\sqrt{x}$
$6\sqrt{\frac{x}{4}} = 6×\frac{\sqrt{x}}{2} = 3\sqrt{x}$
代入原方程得：$2\sqrt{x} + 3\sqrt{x} = 20$
合并同类二次根式得：$5\sqrt{x} = 20$
两边同时除以5得：$\sqrt{x} = 4$
两边同时平方得：$x = 16$
检验：当$x=16$时，原方程左边=$\frac{2}{3}\sqrt{9×16} + 6\sqrt{\frac{16}{4}} = 8 + 12 = 20$，与右边相等，且被开方数均为非负数，故$x=16$是原方程的解。
【答案】
16
【知识点】
二次根式化简；同类二次根式合并；二次根式方程求解
【点评】
本题属于基础运算题，核心考查二次根式的化简及合并运算，解题的关键是先将所有二次根式化为最简形式再进行后续计算，最后要注意检验所求的解是否满足二次根式被开方数非负的要求，且符合原方程。
【难度系数】
0.8
这是一道含二次根式的解方程题，解题思路可分为三步：第一步，先将方程中两个非最简二次根式分别化为最简二次根式；第二步，识别化简后的两项都是含$\sqrt{x}$的同类二次根式，将其合并；第三步，得到关于$\sqrt{x}$的一元一次方程，求解后两边平方得到$x$的值，最后检验$x$是否满足二次根式有意义的条件、是否为原方程的解。
【解析】
解：先化简原方程中的二次根式：
$\frac{2}{3}\sqrt{9x} = \frac{2}{3}×3\sqrt{x} = 2\sqrt{x}$
$6\sqrt{\frac{x}{4}} = 6×\frac{\sqrt{x}}{2} = 3\sqrt{x}$
代入原方程得：$2\sqrt{x} + 3\sqrt{x} = 20$
合并同类二次根式得：$5\sqrt{x} = 20$
两边同时除以5得：$\sqrt{x} = 4$
两边同时平方得：$x = 16$
检验：当$x=16$时，原方程左边=$\frac{2}{3}\sqrt{9×16} + 6\sqrt{\frac{16}{4}} = 8 + 12 = 20$，与右边相等，且被开方数均为非负数，故$x=16$是原方程的解。
【答案】
16
【知识点】
二次根式化简；同类二次根式合并；二次根式方程求解
【点评】
本题属于基础运算题，核心考查二次根式的化简及合并运算，解题的关键是先将所有二次根式化为最简形式再进行后续计算，最后要注意检验所求的解是否满足二次根式被开方数非负的要求，且符合原方程。
【难度系数】
0.8
7. 下列各式:①$\sqrt{2}$, ②$\sqrt{\frac{1}{3}}$, ③$\sqrt{8}$, ④$\sqrt{5x^2}$, ⑤$\sqrt{0.2}$, ⑥$\sqrt{x^2+1}$中,最简二次根式有 （
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
B
）A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
7.B
解析
【分析】
要解决本题，首先需要牢记最简二次根式的两个判定条件：一是被开方数不含分母（即被开方数的因数是整数、因式是整式）；二是被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。解题时只需用这两个条件逐一判断每个式子，统计符合条件的个数即可得到答案。
【解析】
首先明确最简二次根式的定义：同时满足“被开方数不含分母、被开方数不含能开得尽方的因数或因式”的二次根式为最简二次根式，逐一判断如下：
①$\sqrt{2}$：被开方数2是整数，且不存在能开得尽方的因数，是最简二次根式；
②$\sqrt{\frac{1}{3}}$：被开方数含有分母，不是最简二次根式；
③$\sqrt{8}$：被开方数$8=4×2$，其中4是能开得尽方的因数，不是最简二次根式；
④$\sqrt{5x^2}$：被开方数中的$x^2$是能开得尽方的因式，不是最简二次根式；
⑤$\sqrt{0.2}$：被开方数0.2是分数，含有分母，不是最简二次根式；
⑥$\sqrt{x^2+1}$：被开方数$x^2+1$是整式，且没有能开得尽方的因式，是最简二次根式。
综上，最简二次根式是①和⑥，共2个，故选B。
【答案】
B
【知识点】
最简二次根式的判定、二次根式的化简
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题核心是熟练掌握最简二次根式的两个判定条件，判断时要注意先将被开方数中的小数、分数变形为整数形式，再排查是否含有能开得尽方的因数或因式，避免因变形不彻底出错。
【难度系数】
0.8
要解决本题，首先需要牢记最简二次根式的两个判定条件：一是被开方数不含分母（即被开方数的因数是整数、因式是整式）；二是被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。解题时只需用这两个条件逐一判断每个式子，统计符合条件的个数即可得到答案。
【解析】
首先明确最简二次根式的定义：同时满足“被开方数不含分母、被开方数不含能开得尽方的因数或因式”的二次根式为最简二次根式，逐一判断如下：
①$\sqrt{2}$：被开方数2是整数，且不存在能开得尽方的因数，是最简二次根式；
②$\sqrt{\frac{1}{3}}$：被开方数含有分母，不是最简二次根式；
③$\sqrt{8}$：被开方数$8=4×2$，其中4是能开得尽方的因数，不是最简二次根式；
④$\sqrt{5x^2}$：被开方数中的$x^2$是能开得尽方的因式，不是最简二次根式；
⑤$\sqrt{0.2}$：被开方数0.2是分数，含有分母，不是最简二次根式；
⑥$\sqrt{x^2+1}$：被开方数$x^2+1$是整式，且没有能开得尽方的因式，是最简二次根式。
综上，最简二次根式是①和⑥，共2个，故选B。
【答案】
B
【知识点】
最简二次根式的判定、二次根式的化简
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题核心是熟练掌握最简二次根式的两个判定条件，判断时要注意先将被开方数中的小数、分数变形为整数形式，再排查是否含有能开得尽方的因数或因式，避免因变形不彻底出错。
【难度系数】
0.8
8. 已知最简二次根式$\sqrt{4a+3}$与$\sqrt[b+1]{2a-b+6}$可以合并，则$a+b$的值为
2
。答案
8.2 【点拨】由题意得 $b+1=2,4a+3=2a-b+6$, 解得 $a=1,b=1$, 则 $a+b=1+1=2$.
解析
【分析】
解题首先要明确两个最简二次根式可以合并的含义，即二者是同类二次根式。同类二次根式需要满足两个条件：一是根指数相同，二次根式的根指数为2；二是化为最简二次根式后被开方数相同。本题已经给出两个根式都是最简二次根式，因此我们可以先根据根指数相等列方程求出b的值，再根据被开方数相等列方程求出a的值，最后计算a+b的和即可。
【解析】
解：
∵最简二次根式$\sqrt{4a+3}$与$\sqrt[b+1]{2a-b+6}$可以合并
∴二者是同类二次根式，满足以下两个条件：
1. 根指数相等：$b+1=2$，解得$b=1$
2. 被开方数相等：$4a+3=2a-b+6$
将$b=1$代入$4a+3=2a-b+6$中，可得：
$4a+3=2a-1+6$
移项合并同类项得：$2a=2$，解得$a=1$
因此$a+b=1+1=2$
【答案】
2
【知识点】
同类二次根式、最简二次根式、一元一次方程求解
【点评】
本题属于基础概念应用题，核心考查可合并的最简二次根式的性质，解题关键是牢记同类二次根式的判定条件，不要遗漏二次根式根指数为2这个隐含要求，代入求值时注意计算准确性即可。
【难度系数】
0.8
解题首先要明确两个最简二次根式可以合并的含义，即二者是同类二次根式。同类二次根式需要满足两个条件：一是根指数相同，二次根式的根指数为2；二是化为最简二次根式后被开方数相同。本题已经给出两个根式都是最简二次根式，因此我们可以先根据根指数相等列方程求出b的值，再根据被开方数相等列方程求出a的值，最后计算a+b的和即可。
【解析】
解：
∵最简二次根式$\sqrt{4a+3}$与$\sqrt[b+1]{2a-b+6}$可以合并
∴二者是同类二次根式，满足以下两个条件：
1. 根指数相等：$b+1=2$，解得$b=1$
2. 被开方数相等：$4a+3=2a-b+6$
将$b=1$代入$4a+3=2a-b+6$中，可得：
$4a+3=2a-1+6$
移项合并同类项得：$2a=2$，解得$a=1$
因此$a+b=1+1=2$
【答案】
2
【知识点】
同类二次根式、最简二次根式、一元一次方程求解
【点评】
本题属于基础概念应用题，核心考查可合并的最简二次根式的性质，解题关键是牢记同类二次根式的判定条件，不要遗漏二次根式根指数为2这个隐含要求，代入求值时注意计算准确性即可。
【难度系数】
0.8
9. 下列计算结果正确的是（
A.$\sqrt{6}+\sqrt{3}=\sqrt{3}$
B.$2+\sqrt{2}=2\sqrt{2}$
C.$3\sqrt{2}-\sqrt{2}=2\sqrt{2}$
D.$\frac{\sqrt{18}-\sqrt{8}}{2}=1$
C
）A.$\sqrt{6}+\sqrt{3}=\sqrt{3}$
B.$2+\sqrt{2}=2\sqrt{2}$
C.$3\sqrt{2}-\sqrt{2}=2\sqrt{2}$
D.$\frac{\sqrt{18}-\sqrt{8}}{2}=1$
答案
9.C
解析
【分析】
本题考查二次根式的加减运算判断，解题核心是明确二次根式加减的运算规则：只有被开方数相同的同类二次根式才能合并，运算时需先将每个二次根式化为最简二次根式，再判断是否为同类二次根式，可合并的按照合并同类项的规则合并系数，根号部分不变，不是同类的不能直接合并。我们可以依次对四个选项逐一分析判断即可得到正确答案。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. $\sqrt{6}$与$\sqrt{3}$化简后被开方数分别为6和3，不是同类二次根式，不能直接合并，因此A计算错误；
B. 2是有理数，$\sqrt{2}$是最简二次根式，二者不属于同类二次根式，不能直接合并，因此B计算错误；
C. $3\sqrt{2}$与$\sqrt{2}$是同类二次根式，合并时系数相减、根号部分保持不变，即$3\sqrt{2}-\sqrt{2}=(3-1)\sqrt{2}=2\sqrt{2}$，因此C计算正确；
D. 先将分子中的根式化简：$\sqrt{18}=3\sqrt{2}$，$\sqrt{8}=2\sqrt{2}$，因此分子为$3\sqrt{2}-2\sqrt{2}=\sqrt{2}$，原式$=\frac{\sqrt{2}}{2}≠1$，因此D计算错误。
综上，计算正确的是C选项。
【答案】
C
【知识点】
同类二次根式识别；二次根式化简；二次根式加减运算
【点评】
本题是二次根式加减运算的基础题型，解题的关键是牢记只有同类二次根式才能合并，运算时要先化简再判断是否可合并，避免出现非同类二次根式随意合并的错误。
【难度系数】
0.8
本题考查二次根式的加减运算判断，解题核心是明确二次根式加减的运算规则：只有被开方数相同的同类二次根式才能合并，运算时需先将每个二次根式化为最简二次根式，再判断是否为同类二次根式，可合并的按照合并同类项的规则合并系数，根号部分不变，不是同类的不能直接合并。我们可以依次对四个选项逐一分析判断即可得到正确答案。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. $\sqrt{6}$与$\sqrt{3}$化简后被开方数分别为6和3，不是同类二次根式，不能直接合并，因此A计算错误；
B. 2是有理数，$\sqrt{2}$是最简二次根式，二者不属于同类二次根式，不能直接合并，因此B计算错误；
C. $3\sqrt{2}$与$\sqrt{2}$是同类二次根式，合并时系数相减、根号部分保持不变，即$3\sqrt{2}-\sqrt{2}=(3-1)\sqrt{2}=2\sqrt{2}$，因此C计算正确；
D. 先将分子中的根式化简：$\sqrt{18}=3\sqrt{2}$，$\sqrt{8}=2\sqrt{2}$，因此分子为$3\sqrt{2}-2\sqrt{2}=\sqrt{2}$，原式$=\frac{\sqrt{2}}{2}≠1$，因此D计算错误。
综上，计算正确的是C选项。
【答案】
C
【知识点】
同类二次根式识别；二次根式化简；二次根式加减运算
【点评】
本题是二次根式加减运算的基础题型，解题的关键是牢记只有同类二次根式才能合并，运算时要先化简再判断是否可合并，避免出现非同类二次根式随意合并的错误。
【难度系数】
0.8
10.若 $ m\sqrt{8} + \sqrt{32} - n\sqrt{2} = 5\sqrt{2} $，则下列结论正确的是（
A.$ m=0,n=1 $
B.$ m=1,n=1 $
C.$ m=-1,n=0 $
D.$ m=2,n=4 $
B
）A.$ m=0,n=1 $
B.$ m=1,n=1 $
C.$ m=-1,n=0 $
D.$ m=2,n=4 $
答案
10.B
解析
【分析】
解决本题的核心思路是利用二次根式加减的运算规则：先将所有非最简二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式，最后根据等式两边同类二次根式的系数对应相等，建立关于m、n的等量关系，通过推导或者代入选项验证即可选出正确答案。
【解析】
首先将等式中的二次根式化为最简：
$\sqrt{8}=2\sqrt{2}$，$\sqrt{32}=4\sqrt{2}$，代入原式得：
$m·2\sqrt{2} + 4\sqrt{2} - n\sqrt{2} = 5\sqrt{2}$
合并左边的同类二次根式，可得：
$(2m + 4 - n)\sqrt{2} = 5\sqrt{2}$
因为$\sqrt{2} ≠ 0$，所以等式两边同类二次根式的系数相等，即：
$2m + 4 - n = 5$，整理得$2m - n = 1$
依次代入选项验证：
A选项：$m=0,n=1$时，$2×0 -1=-1≠1$，不符合；
B选项：$m=1,n=1$时，$2×1 -1=1$，符合等式；
C选项：$m=-1,n=0$时，$2×(-1)-0=-2≠1$，不符合；
D选项：$m=2,n=4$时，$2×2 -4=0≠1$，不符合。
因此选B。
【答案】
B
【知识点】
二次根式化简；同类二次根式合并；二次根式加减运算
【点评】
本题是二次根式加减的基础题型，解题关键在于掌握二次根式加减“先化简、再合并”的步骤，既可以通过推导等量关系验证选项，也可以直接将选项代入原式计算验证，方法灵活，属于常考的基础题。
【难度系数】
0.8
解决本题的核心思路是利用二次根式加减的运算规则：先将所有非最简二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式，最后根据等式两边同类二次根式的系数对应相等，建立关于m、n的等量关系，通过推导或者代入选项验证即可选出正确答案。
【解析】
首先将等式中的二次根式化为最简：
$\sqrt{8}=2\sqrt{2}$，$\sqrt{32}=4\sqrt{2}$，代入原式得：
$m·2\sqrt{2} + 4\sqrt{2} - n\sqrt{2} = 5\sqrt{2}$
合并左边的同类二次根式，可得：
$(2m + 4 - n)\sqrt{2} = 5\sqrt{2}$
因为$\sqrt{2} ≠ 0$，所以等式两边同类二次根式的系数相等，即：
$2m + 4 - n = 5$，整理得$2m - n = 1$
依次代入选项验证：
A选项：$m=0,n=1$时，$2×0 -1=-1≠1$，不符合；
B选项：$m=1,n=1$时，$2×1 -1=1$，符合等式；
C选项：$m=-1,n=0$时，$2×(-1)-0=-2≠1$，不符合；
D选项：$m=2,n=4$时，$2×2 -4=0≠1$，不符合。
因此选B。
【答案】
B
【知识点】
二次根式化简；同类二次根式合并；二次根式加减运算
【点评】
本题是二次根式加减的基础题型，解题关键在于掌握二次根式加减“先化简、再合并”的步骤，既可以通过推导等量关系验证选项，也可以直接将选项代入原式计算验证，方法灵活，属于常考的基础题。
【难度系数】
0.8
11. 一个长方形的周长为$\sqrt{200}$，它的一边长为$\sqrt{18}$，则另一边长为
$2\sqrt{2}$
。答案
11.$2\sqrt{2}$
解析
【分析】
解题思路可分为两步：第一步，回忆长方形周长公式，周长=2×(长+宽)，推导可得未知边长=周长的一半减去已知边长；第二步，代入数值后，先将所有二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式即可得到结果。
【解析】
根据长方形周长公式：$C=2(a+b)$，可得另一边长为$\frac{C}{2}-a$。
代入已知条件$C=\sqrt{200}$，$a=\sqrt{18}$：
1. 先化简二次根式：
$\sqrt{200}=\sqrt{100×2}=10\sqrt{2}$，$\sqrt{18}=\sqrt{9×2}=3\sqrt{2}$
2. 代入计算：
$\frac{\sqrt{200}}{2}-\sqrt{18}=\frac{10\sqrt{2}}{2}-3\sqrt{2}=5\sqrt{2}-3\sqrt{2}=2\sqrt{2}$
【答案】
$2\sqrt{2}$
【知识点】
长方形周长计算；二次根式化简；二次根式加减运算
【点评】
本题将几何周长公式与二次根式运算结合，核心考查二次根式的化简及同类二次根式的合并，属于基础运算类题目，掌握基础公式和运算规则即可正确解答。
【难度系数】
0.8
解题思路可分为两步：第一步，回忆长方形周长公式，周长=2×(长+宽)，推导可得未知边长=周长的一半减去已知边长；第二步，代入数值后，先将所有二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式即可得到结果。
【解析】
根据长方形周长公式：$C=2(a+b)$，可得另一边长为$\frac{C}{2}-a$。
代入已知条件$C=\sqrt{200}$，$a=\sqrt{18}$：
1. 先化简二次根式：
$\sqrt{200}=\sqrt{100×2}=10\sqrt{2}$，$\sqrt{18}=\sqrt{9×2}=3\sqrt{2}$
2. 代入计算：
$\frac{\sqrt{200}}{2}-\sqrt{18}=\frac{10\sqrt{2}}{2}-3\sqrt{2}=5\sqrt{2}-3\sqrt{2}=2\sqrt{2}$
【答案】
$2\sqrt{2}$
【知识点】
长方形周长计算；二次根式化简；二次根式加减运算
【点评】
本题将几何周长公式与二次根式运算结合，核心考查二次根式的化简及同类二次根式的合并，属于基础运算类题目，掌握基础公式和运算规则即可正确解答。
【难度系数】
0.8
12. 计算：
(1) $\sqrt{125} - \sqrt{20}$；
(2) $\frac{\sqrt{48}}{2} + \sqrt{\frac{1}{3}}$；
(3) $3\sqrt{2} - 2\sqrt{12} - 4\sqrt{\frac{1}{8}} + 3\sqrt{48}$；
(4) $\sqrt{24} + \sqrt{0.5} - ( \sqrt{\frac{1}{8}} + \sqrt{6} )$。
(1) $\sqrt{125} - \sqrt{20}$；
(2) $\frac{\sqrt{48}}{2} + \sqrt{\frac{1}{3}}$；
(3) $3\sqrt{2} - 2\sqrt{12} - 4\sqrt{\frac{1}{8}} + 3\sqrt{48}$；
(4) $\sqrt{24} + \sqrt{0.5} - ( \sqrt{\frac{1}{8}} + \sqrt{6} )$。
答案
12.【解】(1)原式$=5\sqrt{5}-2\sqrt{5}=3\sqrt{5}$.
(2)原式$=\frac{4\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{3}=2\sqrt{3}+\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{7\sqrt{3}}{3}$.
(3)原式$=3\sqrt{2}-4\sqrt{3}-\sqrt{2}+12\sqrt{3}=2\sqrt{2}+8\sqrt{3}$.
(4)原式$=2\sqrt{6}+\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{4}-\sqrt{6}=\sqrt{6}+\frac{\sqrt{2}}{4}$.
(2)原式$=\frac{4\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{3}=2\sqrt{3}+\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{7\sqrt{3}}{3}$.
(3)原式$=3\sqrt{2}-4\sqrt{3}-\sqrt{2}+12\sqrt{3}=2\sqrt{2}+8\sqrt{3}$.
(4)原式$=2\sqrt{6}+\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{4}-\sqrt{6}=\sqrt{6}+\frac{\sqrt{2}}{4}$.
解析
【分析】
二次根式加减运算的核心思路是“先化简，再合并”，解题可按三步进行：①将算式中所有二次根式化为最简二次根式（被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数或因式）；②识别出被开方数相同的同类二次根式；③将同类二次根式的系数相加减，被开方数保持不变，若有括号需先按去括号法则处理符号。本题4个小题均遵循该思路逐步计算即可。
【解析】
(1) 先化简二次根式：$\sqrt{125}=\sqrt{25×5}=5\sqrt{5}$，$\sqrt{20}=\sqrt{4×5}=2\sqrt{5}$，
原式$=5\sqrt{5}-2\sqrt{5}=3\sqrt{5}$；
(2) 先化简二次根式：$\sqrt{48}=\sqrt{16×3}=4\sqrt{3}$，$\sqrt{\frac{1}{3}}=\frac{\sqrt{1×3}}{\sqrt{3×3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，
原式$=\frac{4\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{3}=2\sqrt{3}+\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{7\sqrt{3}}{3}$；
(3) 先化简各项：$2\sqrt{12}=2×2\sqrt{3}=4\sqrt{3}$，$4\sqrt{\frac{1}{8}}=4×\frac{\sqrt{2}}{4}=\sqrt{2}$，$3\sqrt{48}=3×4\sqrt{3}=12\sqrt{3}$，
原式$=3\sqrt{2}-4\sqrt{3}-\sqrt{2}+12\sqrt{3}=2\sqrt{2}+8\sqrt{3}$；
(4) 先化简各项，再去括号（括号前为负号，括号内各项变号）：$\sqrt{24}=2\sqrt{6}$，$\sqrt{0.5}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\sqrt{\frac{1}{8}}=\frac{\sqrt{2}}{4}$，
原式$=2\sqrt{6}+\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{4}-\sqrt{6}=\sqrt{6}+\frac{\sqrt{2}}{4}$。
【答案】
(1) $3\sqrt{5}$；(2) $\frac{7\sqrt{3}}{3}$；(3) $2\sqrt{2}+8\sqrt{3}$；(4) $\sqrt{6}+\frac{\sqrt{2}}{4}$
【知识点】
最简二次根式化简，同类二次根式合并，二次根式加减运算
【点评】
本题属于二次根式加减的基础运算题，重点考查二次根式的化简规则和合并方法，计算时要注意根式化简的准确性，带括号的运算需留意符号变化，熟练掌握基础规则即可快速求解。
【难度系数】
0.8
二次根式加减运算的核心思路是“先化简，再合并”，解题可按三步进行：①将算式中所有二次根式化为最简二次根式（被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数或因式）；②识别出被开方数相同的同类二次根式；③将同类二次根式的系数相加减，被开方数保持不变，若有括号需先按去括号法则处理符号。本题4个小题均遵循该思路逐步计算即可。
【解析】
(1) 先化简二次根式：$\sqrt{125}=\sqrt{25×5}=5\sqrt{5}$，$\sqrt{20}=\sqrt{4×5}=2\sqrt{5}$，
原式$=5\sqrt{5}-2\sqrt{5}=3\sqrt{5}$；
(2) 先化简二次根式：$\sqrt{48}=\sqrt{16×3}=4\sqrt{3}$，$\sqrt{\frac{1}{3}}=\frac{\sqrt{1×3}}{\sqrt{3×3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，
原式$=\frac{4\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{3}=2\sqrt{3}+\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{7\sqrt{3}}{3}$；
(3) 先化简各项：$2\sqrt{12}=2×2\sqrt{3}=4\sqrt{3}$，$4\sqrt{\frac{1}{8}}=4×\frac{\sqrt{2}}{4}=\sqrt{2}$，$3\sqrt{48}=3×4\sqrt{3}=12\sqrt{3}$，
原式$=3\sqrt{2}-4\sqrt{3}-\sqrt{2}+12\sqrt{3}=2\sqrt{2}+8\sqrt{3}$；
(4) 先化简各项，再去括号（括号前为负号，括号内各项变号）：$\sqrt{24}=2\sqrt{6}$，$\sqrt{0.5}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\sqrt{\frac{1}{8}}=\frac{\sqrt{2}}{4}$，
原式$=2\sqrt{6}+\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{4}-\sqrt{6}=\sqrt{6}+\frac{\sqrt{2}}{4}$。
【答案】
(1) $3\sqrt{5}$；(2) $\frac{7\sqrt{3}}{3}$；(3) $2\sqrt{2}+8\sqrt{3}$；(4) $\sqrt{6}+\frac{\sqrt{2}}{4}$
【知识点】
最简二次根式化简，同类二次根式合并，二次根式加减运算
【点评】
本题属于二次根式加减的基础运算题，重点考查二次根式的化简规则和合并方法，计算时要注意根式化简的准确性，带括号的运算需留意符号变化，熟练掌握基础规则即可快速求解。
【难度系数】
0.8
13. 已知$\sqrt{5}=a$，$\sqrt{14}=b$，则$\sqrt{0.063}$等于（
A.$\frac{ab}{10}$
B.$\frac{3ab}{10}$
C.$\frac{ab}{100}$
D.$\frac{3ab}{100}$
D
）A.$\frac{ab}{10}$
B.$\frac{3ab}{10}$
C.$\frac{ab}{100}$
D.$\frac{3ab}{100}$
答案
13.D 【点拨】 $\sqrt{0.063} = \sqrt{\frac{630}{10000}} = \frac{\sqrt{9}×\sqrt{70}}{100} = \frac{3\sqrt{5}×\sqrt{14}}{100}$. 因为$\sqrt{5}=a$，$\sqrt{14}=b$，所以原式$=\frac{3ab}{100}$.
解析
【分析】
要将$\sqrt{0.063}$用已知的$a=\sqrt{5}$、$b=\sqrt{14}$表示，首先需要利用二次根式的性质对$\sqrt{0.063}$进行化简：第一步先把小数形式的被开方数转化为分数，且使分母为完全平方数方便开方，同时把分子分解出包含$5$和$14$的因数（因为$\sqrt{5}×\sqrt{14}=\sqrt{70}$，需要凑出因数70）；再利用二次根式的乘除运算性质拆分根式，最后代入已知的$a$、$b$即可得到结果。
【解析】
首先对$\sqrt{0.063}$进行变形化简：
$\begin{aligned}\sqrt{0.063}&=\sqrt{\frac{63}{1000}}=\sqrt{\frac{63×10}{1000×10}}=\sqrt{\frac{630}{10000}}\\&=\frac{\sqrt{630}}{\sqrt{10000}}\\&=\frac{\sqrt{9×70}}{100}\\&=\frac{\sqrt{9}×\sqrt{5×14}}{100}\\&=\frac{3×\sqrt{5}×\sqrt{14}}{100}\end{aligned}$
已知$\sqrt{5}=a$，$\sqrt{14}=b$，代入上式可得原式$=\frac{3ab}{100}$。
【答案】
D
【知识点】
二次根式的性质；二次根式化简；代数式代入求值
【点评】
本题是二次根式化简的典型题型，解题核心是合理变形被开方数，拆分出和已知条件对应的因数，需要熟练掌握二次根式的乘除运算规则，做题时注意小数转分数时要保证分母为完全平方数，方便后续开方运算。
【难度系数】
0.7
要将$\sqrt{0.063}$用已知的$a=\sqrt{5}$、$b=\sqrt{14}$表示，首先需要利用二次根式的性质对$\sqrt{0.063}$进行化简：第一步先把小数形式的被开方数转化为分数，且使分母为完全平方数方便开方，同时把分子分解出包含$5$和$14$的因数（因为$\sqrt{5}×\sqrt{14}=\sqrt{70}$，需要凑出因数70）；再利用二次根式的乘除运算性质拆分根式，最后代入已知的$a$、$b$即可得到结果。
【解析】
首先对$\sqrt{0.063}$进行变形化简：
$\begin{aligned}\sqrt{0.063}&=\sqrt{\frac{63}{1000}}=\sqrt{\frac{63×10}{1000×10}}=\sqrt{\frac{630}{10000}}\\&=\frac{\sqrt{630}}{\sqrt{10000}}\\&=\frac{\sqrt{9×70}}{100}\\&=\frac{\sqrt{9}×\sqrt{5×14}}{100}\\&=\frac{3×\sqrt{5}×\sqrt{14}}{100}\end{aligned}$
已知$\sqrt{5}=a$，$\sqrt{14}=b$，代入上式可得原式$=\frac{3ab}{100}$。
【答案】
D
【知识点】
二次根式的性质；二次根式化简；代数式代入求值
【点评】
本题是二次根式化简的典型题型，解题核心是合理变形被开方数，拆分出和已知条件对应的因数，需要熟练掌握二次根式的乘除运算规则，做题时注意小数转分数时要保证分母为完全平方数，方便后续开方运算。
【难度系数】
0.7
14.已知二次根式$\sqrt{23 - a}$与$\sqrt{8}$化简成最简二次根式后，被开方数相同，若$a$是正整数，则$a$的最小值为（
A.23
B.21
C.15
D.5
D
）A.23
B.21
C.15
D.5
答案
14.D 【点拨】因为二次根式 $\sqrt{23-a}$ 与$\sqrt{8}$化简成最简二次根式后，被开方数相同，且$\sqrt{8}=2\sqrt{2}$，所以当 $23-a=2$ 时，$a=21$，当 $23-a=8$ 时，$a=15$；当 $23-a=18$ 时，$a=5$；当 $23-a=32$ 时，$a=-9$(不符合题意，舍去). 综上，符合条件的正整数 $a$ 的值为 5,15,21，所以 $a$ 的最小值为 5.
解析
【分析】
要解决这道题，首先将已知的$\sqrt{8}$化为最简二次根式，得到它的最简被开方数；再根据“化简后被开方数相同”的条件，确定$\sqrt{23-a}$的被开方数$23-a$是这个最简被开方数的正整数平方倍；接下来结合二次根式有意义（被开方数非负）、$a$是正整数的限制，列举出所有符合条件的$a$的值，最后找出$a$的最小值即可。
【解析】
1. 先化简$\sqrt{8}$：$\sqrt{8}=\sqrt{4×2}=2\sqrt{2}$，其最简二次根式的被开方数为2。
2. 由题意可知，$\sqrt{23-a}$化简后被开方数也为2，因此$23-a=2n^2$（$n$为正整数），同时满足：二次根式有意义$23-a≥0$，且$a$是正整数，即$a=23-2n^2＞0$。
3. 代入正整数$n$计算符合条件的$a$：
当$n=1$时，$23-a=2×1^2=2$，解得$a=21$；
当$n=2$时，$23-a=2×2^2=8$，解得$a=15$；
当$n=3$时，$23-a=2×3^2=18$，解得$a=5$；
当$n=4$时，$2n^2=32＞23$，此时$a=-9$，不是正整数，舍去。
4. 综上，符合条件的正整数$a$为5、15、21，其中最小值为5。
【答案】
D
【知识点】
最简二次根式化简；同类二次根式；二次根式有意义的条件
【点评】
本题解题核心是理解“化简后被开方数相同的二次根式”的含义，易错点是容易忽略被开方数是最简被开方数的正整数平方倍，仅取最小倍数2得到$a=21$导致错选，解题时要结合限制条件全面列举符合的取值。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先将已知的$\sqrt{8}$化为最简二次根式，得到它的最简被开方数；再根据“化简后被开方数相同”的条件，确定$\sqrt{23-a}$的被开方数$23-a$是这个最简被开方数的正整数平方倍；接下来结合二次根式有意义（被开方数非负）、$a$是正整数的限制，列举出所有符合条件的$a$的值，最后找出$a$的最小值即可。
【解析】
1. 先化简$\sqrt{8}$：$\sqrt{8}=\sqrt{4×2}=2\sqrt{2}$，其最简二次根式的被开方数为2。
2. 由题意可知，$\sqrt{23-a}$化简后被开方数也为2，因此$23-a=2n^2$（$n$为正整数），同时满足：二次根式有意义$23-a≥0$，且$a$是正整数，即$a=23-2n^2＞0$。
3. 代入正整数$n$计算符合条件的$a$：
当$n=1$时，$23-a=2×1^2=2$，解得$a=21$；
当$n=2$时，$23-a=2×2^2=8$，解得$a=15$；
当$n=3$时，$23-a=2×3^2=18$，解得$a=5$；
当$n=4$时，$2n^2=32＞23$，此时$a=-9$，不是正整数，舍去。
4. 综上，符合条件的正整数$a$为5、15、21，其中最小值为5。
【答案】
D
【知识点】
最简二次根式化简；同类二次根式；二次根式有意义的条件
【点评】
本题解题核心是理解“化简后被开方数相同的二次根式”的含义，易错点是容易忽略被开方数是最简被开方数的正整数平方倍，仅取最小倍数2得到$a=21$导致错选，解题时要结合限制条件全面列举符合的取值。
【难度系数】
0.7
15. 设$ x,y $都是有理数，且满足$ x^2 - 2y + \sqrt{5} y = 8 + 4\sqrt{5} $，则$ x + y $的值为
8或0
。答案
15. 8或0 【点拨】因为 $x^2 - 2y + \sqrt{5} y = 8 + 4\sqrt{5}$，所以$(x^2 - 2y - 8)+(y-4)\sqrt{5}=0$.
因为 $x,y$ 都是有理数，所以 $x^2 - 2y - 8,y-4$ 也是有理数.
因为$\sqrt{5}$是无理数，所以 $x^2 - 2y - 8=0,y-4=0$，解得 $x=\pm4,y=4$.
当 $x=4,y=4$ 时，$x+y=8$；当 $x=-4,y=4$ 时，$x+y=0$.
所以 $x+y$ 的值是 8 或 0.
因为 $x,y$ 都是有理数，所以 $x^2 - 2y - 8,y-4$ 也是有理数.
因为$\sqrt{5}$是无理数，所以 $x^2 - 2y - 8=0,y-4=0$，解得 $x=\pm4,y=4$.
当 $x=4,y=4$ 时，$x+y=8$；当 $x=-4,y=4$ 时，$x+y=0$.
所以 $x+y$ 的值是 8 或 0.
解析
【分析】
本题可根据有理数和无理数的性质求解，解题思路如下：①首先将等式移项整理，把含$\sqrt{5}$的项合并，剩余有理数部分合并，写成“有理数部分 + 含无理数$\sqrt{5}$的项 = 0”的形式；②由于x、y都是有理数，因此有理数部分的结果、$\sqrt{5}$的系数都是有理数，而$\sqrt{5}$是无理数，要使二者相加等于0，必须满足有理数部分为0，且$\sqrt{5}$的系数为0，据此可列方程组求解y的值；③将y的值代入有理数部分的方程，求解x的值，注意x平方的解有正负两个，不要遗漏；④最后分别计算不同x取值下$x+y$的值即可。
【解析】
解：对原等式移项整理可得：
$(x^2 - 2y - 8) + (y - 4)\sqrt{5} = 0$
∵x、y都是有理数，
∴$x^2 - 2y - 8$和$y - 4$均为有理数，
又
∵$\sqrt{5}$是无理数，有理数与无理数无法合并抵消，要使等式成立，需有理数部分和无理数的系数分别为0，
∴可得方程组：$\begin{cases}x^2 - 2y - 8 = 0 \\ y - 4 = 0\end{cases}$
解第二个方程得：$y = 4$，
将$y = 4$代入第一个方程得：$x^2 - 2×4 - 8 = 0$，即$x^2 = 16$，解得$x = ±4$。
当$x = 4$，$y = 4$时，$x + y = 4 + 4 = 8$；
当$x = -4$，$y = 4$时，$x + y = -4 + 4 = 0$。
【答案】
8或0
【知识点】
有理数与无理数的性质，平方根的计算，代数式求值
【点评】
本题核心考查有理数和无理数的运算性质，解题的关键是将等式拆分后利用“有理数部分和无理数部分需分别对应相等”列方程求解，解题时注意求解平方方程时不要遗漏负根，是二次根式相关的常考题型。
【难度系数】
0.7
本题可根据有理数和无理数的性质求解，解题思路如下：①首先将等式移项整理，把含$\sqrt{5}$的项合并，剩余有理数部分合并，写成“有理数部分 + 含无理数$\sqrt{5}$的项 = 0”的形式；②由于x、y都是有理数，因此有理数部分的结果、$\sqrt{5}$的系数都是有理数，而$\sqrt{5}$是无理数，要使二者相加等于0，必须满足有理数部分为0，且$\sqrt{5}$的系数为0，据此可列方程组求解y的值；③将y的值代入有理数部分的方程，求解x的值，注意x平方的解有正负两个，不要遗漏；④最后分别计算不同x取值下$x+y$的值即可。
【解析】
解：对原等式移项整理可得：
$(x^2 - 2y - 8) + (y - 4)\sqrt{5} = 0$
∵x、y都是有理数，
∴$x^2 - 2y - 8$和$y - 4$均为有理数，
又
∵$\sqrt{5}$是无理数，有理数与无理数无法合并抵消，要使等式成立，需有理数部分和无理数的系数分别为0，
∴可得方程组：$\begin{cases}x^2 - 2y - 8 = 0 \\ y - 4 = 0\end{cases}$
解第二个方程得：$y = 4$，
将$y = 4$代入第一个方程得：$x^2 - 2×4 - 8 = 0$，即$x^2 = 16$，解得$x = ±4$。
当$x = 4$，$y = 4$时，$x + y = 4 + 4 = 8$；
当$x = -4$，$y = 4$时，$x + y = -4 + 4 = 0$。
【答案】
8或0
【知识点】
有理数与无理数的性质，平方根的计算，代数式求值
【点评】
本题核心考查有理数和无理数的运算性质，解题的关键是将等式拆分后利用“有理数部分和无理数部分需分别对应相等”列方程求解，解题时注意求解平方方程时不要遗漏负根，是二次根式相关的常考题型。
【难度系数】
0.7
16. ★★ 在进行实数的化简时，我们可以用“$\sqrt{ab} = \sqrt{a} · \sqrt{b} (a ≥ 0, b ≥ 0)$”。如$\sqrt{12} = \sqrt{2 × 2 × 3} = \sqrt{2^2} × \sqrt{3} = 2\sqrt{3}$。利用这种方式可以化简被开方数较大的二次根式。
(1)已知$m$为正整数，若$\sqrt{189m}$是整数，则$m$的最小值为________；
(2)设$n$为正整数，若$y = \sqrt{\frac{200}{n}}$，$y$是大于1的整数，则$y$的最大值与$y$的最小值的差为________。
(1)已知$m$为正整数，若$\sqrt{189m}$是整数，则$m$的最小值为________；
(2)设$n$为正整数，若$y = \sqrt{\frac{200}{n}}$，$y$是大于1的整数，则$y$的最大值与$y$的最小值的差为________。
答案
16. (1) 21 (2) 8 【点拨】(1) 因为 $\sqrt{189m} = \sqrt{3×3×21m} = 3\sqrt{21m}$，$m$ 为正整数，$\sqrt{189m}$ 是整数，所以 $m$ 的最小值为 21. (2)因为 $y=\sqrt{\frac{200}{n}}=10\sqrt{\frac{2}{n}}$，$n$ 为正整数，$y$ 是大于 1 的整数，所以当 $n=2$ 时，$y_{\mathrm{max}}=10\sqrt{\frac{2}{2}}=10$. 因为当 $n$ 增大时，$y$ 减小，所以当 $n=50$ 时，$y_{\mathrm{min}}=\sqrt{\frac{2×2×50}{50}}=2$. 所以 $y$ 的最大值与 $y$ 的最小值的差为 $10-2=8$.
解析
【分析】
(1) 要使$\sqrt{189m}$为整数，需先将189分解质因数，把可开方的因数先提取出来，剩余的被开方数必须是完全平方数，结合m是正整数的要求，即可求出m的最小值。
(2) 先对$y=\sqrt{\frac{200}{n}}$进行化简，结合y是大于1的整数，可知化简后根号内的数需能开得尽方，且整个式子结果为整数；根据n为正整数的限制，先找到y的最大值（对应n最小）和y的最小值（对应n最大且y＞1），再计算二者的差即可。
【解析】
(1) 分解189的质因数可得：$189=3×3×21=3^2×21$
因此$\sqrt{189m}=\sqrt{3^2×21m}=3\sqrt{21m}$
已知m为正整数，且$\sqrt{189m}$是整数，因此$\sqrt{21m}$必须是整数，即$21m$为完全平方数。
因为21的质因数为3和7，均无平方因子，所以m的最小值为21。
(2) 先化简y的表达式：
$y=\sqrt{\frac{200}{n}}=\sqrt{\frac{100×2}{n}}=10\sqrt{\frac{2}{n}}$
已知n为正整数，y是大于1的整数，因此$\frac{200}{n}$必须是大于1的完全平方数。
① 求y的最大值：要使y最大，则$\frac{200}{n}$的值最大，对应n最小。当n=2时，$\frac{200}{n}=100=10^2$，此时$y_{\mathrm{max}}=\sqrt{100}=10$。
② 求y的最小值：要使y最小且y＞1，则$\frac{200}{n}$需是大于1的最小完全平方数。大于1的最小完全平方数是4，此时$\frac{200}{n}=4$，解得n=50，是正整数，符合要求，此时$y_{\mathrm{min}}=\sqrt{4}=2$。
因此y的最大值与最小值的差为$10-2=8$。
【答案】
(1) 21；(2) 8
【知识点】
二次根式的化简，完全平方数的性质，二次根式的性质
【点评】
本题围绕二次根式的化简展开考查，解题核心是明确当二次根式的运算结果为整数时，其被开方数（或化简后的最简被开方数）一定是完全平方数，再结合正整数的限制条件筛选出符合要求的取值即可。
【难度系数】
0.7
(1) 要使$\sqrt{189m}$为整数，需先将189分解质因数，把可开方的因数先提取出来，剩余的被开方数必须是完全平方数，结合m是正整数的要求，即可求出m的最小值。
(2) 先对$y=\sqrt{\frac{200}{n}}$进行化简，结合y是大于1的整数，可知化简后根号内的数需能开得尽方，且整个式子结果为整数；根据n为正整数的限制，先找到y的最大值（对应n最小）和y的最小值（对应n最大且y＞1），再计算二者的差即可。
【解析】
(1) 分解189的质因数可得：$189=3×3×21=3^2×21$
因此$\sqrt{189m}=\sqrt{3^2×21m}=3\sqrt{21m}$
已知m为正整数，且$\sqrt{189m}$是整数，因此$\sqrt{21m}$必须是整数，即$21m$为完全平方数。
因为21的质因数为3和7，均无平方因子，所以m的最小值为21。
(2) 先化简y的表达式：
$y=\sqrt{\frac{200}{n}}=\sqrt{\frac{100×2}{n}}=10\sqrt{\frac{2}{n}}$
已知n为正整数，y是大于1的整数，因此$\frac{200}{n}$必须是大于1的完全平方数。
① 求y的最大值：要使y最大，则$\frac{200}{n}$的值最大，对应n最小。当n=2时，$\frac{200}{n}=100=10^2$，此时$y_{\mathrm{max}}=\sqrt{100}=10$。
② 求y的最小值：要使y最小且y＞1，则$\frac{200}{n}$需是大于1的最小完全平方数。大于1的最小完全平方数是4，此时$\frac{200}{n}=4$，解得n=50，是正整数，符合要求，此时$y_{\mathrm{min}}=\sqrt{4}=2$。
因此y的最大值与最小值的差为$10-2=8$。
【答案】
(1) 21；(2) 8
【知识点】
二次根式的化简，完全平方数的性质，二次根式的性质
【点评】
本题围绕二次根式的化简展开考查，解题核心是明确当二次根式的运算结果为整数时，其被开方数（或化简后的最简被开方数）一定是完全平方数，再结合正整数的限制条件筛选出符合要求的取值即可。
【难度系数】
0.7
