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17. ★★ 新考法方程思想 将图①中的长方形分成B,C两部分,恰与正方形A拼接成如图②的大正方形.如果正方形A的面积为2,拼接后的大正方形的面积是5,则图①中原长方形的长是
$\sqrt{2}+\sqrt{5}$
. 答案
17.$\sqrt{2}+\sqrt{5}$ 【点拨】设长方形 C 的长为 $x$, 宽为 $y$, 则正方形 A 的边长为 $x$, 长方形 B 的长为 $x+y$, 宽为 $y$. 因为正方形 A 的面积为 2, 所以 $x=\sqrt{2}$. 因为拼接后的大正方形的面积是 5, 所以 $x+y=\sqrt{5}$, 所以 $y=\sqrt{5}-\sqrt{2}$, 所以题图①中原长方形的长为 $x+x+y=2x+y=2\sqrt{2}+\sqrt{5}-\sqrt{2}=\sqrt{2}+\sqrt{5}$.
解析
【分析】
解题时先从已知的正方形面积入手，先计算正方形A和拼接后大正方形的边长，再结合两个图形的拼接特征，找到各部分边长的等量关系：正方形A的边长与长方形C的长相等，大正方形的边长等于正方形A的边长加长方形C的宽，同时也是长方形B的长；最后根据原长方形的长的构成，代入边长数值计算即可。
【解析】
设长方形C的长为$x$，宽为$y$。
1. 求正方形A的边长：
因为正方形A的面积为2，且A的边长等于C的长$x$，所以$x^2=2$，又因为边长为正数，因此$x=\sqrt{2}$。
2. 求拼接后大正方形的边长：
拼接后的大正方形面积为5，大正方形的边长为$x+y$，所以$(x+y)^2=5$，同理边长为正，因此$x+y=\sqrt{5}$，解得$y=\sqrt{5}-\sqrt{2}$。
3. 计算图①原长方形的长：
观察图形可知，原长方形由B、C拼接而成，长为长方形B的长与长方形C的长之和，即$(x+y)+x=2x+y$。
将$x=\sqrt{2}$、$y=\sqrt{5}-\sqrt{2}$代入得：
$2\sqrt{2}+(\sqrt{5}-\sqrt{2})=\sqrt{2}+\sqrt{5}$。
【答案】
$\sqrt{2}+\sqrt{5}$
【知识点】
正方形面积计算，二次根式运算，图形拼接边长关系
【点评】
本题将图形拼接与二次根式运算结合，解题核心是准确找到拼接前后各图形边长的对应关系，借助方程思想表示出各边长度后计算，考查数形结合的应用能力。
【难度系数】
0.6
解题时先从已知的正方形面积入手，先计算正方形A和拼接后大正方形的边长，再结合两个图形的拼接特征，找到各部分边长的等量关系：正方形A的边长与长方形C的长相等，大正方形的边长等于正方形A的边长加长方形C的宽，同时也是长方形B的长；最后根据原长方形的长的构成，代入边长数值计算即可。
【解析】
设长方形C的长为$x$，宽为$y$。
1. 求正方形A的边长：
因为正方形A的面积为2，且A的边长等于C的长$x$，所以$x^2=2$，又因为边长为正数，因此$x=\sqrt{2}$。
2. 求拼接后大正方形的边长：
拼接后的大正方形面积为5，大正方形的边长为$x+y$，所以$(x+y)^2=5$，同理边长为正，因此$x+y=\sqrt{5}$，解得$y=\sqrt{5}-\sqrt{2}$。
3. 计算图①原长方形的长：
观察图形可知，原长方形由B、C拼接而成，长为长方形B的长与长方形C的长之和，即$(x+y)+x=2x+y$。
将$x=\sqrt{2}$、$y=\sqrt{5}-\sqrt{2}$代入得：
$2\sqrt{2}+(\sqrt{5}-\sqrt{2})=\sqrt{2}+\sqrt{5}$。
【答案】
$\sqrt{2}+\sqrt{5}$
【知识点】
正方形面积计算，二次根式运算，图形拼接边长关系
【点评】
本题将图形拼接与二次根式运算结合，解题核心是准确找到拼接前后各图形边长的对应关系，借助方程思想表示出各边长度后计算，考查数形结合的应用能力。
【难度系数】
0.6
18. 新考法逆向思维法 小进准备完成题目“$□\sqrt{\dfrac{2}{3}} -5\sqrt{0.2})-(\sqrt{24}-\dfrac{1}{2}\sqrt{20})$”时，发现“$□$”处的数印刷不清楚.
(1)他把“$□$”处的数猜成6,请你计算$(6\sqrt{\dfrac{2}{3}} -5\sqrt{0.2})-(\sqrt{24}-\dfrac{1}{2}\sqrt{20})$的结果；
(2)他妈妈说:“你猜错了,我看到该题的答案是$\dfrac{\sqrt{6}}{2}.$”请你通过计算说明原题中“$□$”处的数是多少.
(1)他把“$□$”处的数猜成6,请你计算$(6\sqrt{\dfrac{2}{3}} -5\sqrt{0.2})-(\sqrt{24}-\dfrac{1}{2}\sqrt{20})$的结果；
(2)他妈妈说:“你猜错了,我看到该题的答案是$\dfrac{\sqrt{6}}{2}.$”请你通过计算说明原题中“$□$”处的数是多少.
答案
18.【解】(1)原式$=6×\frac{\sqrt{6}}{3}-5×\frac{\sqrt{5}}{5}-2\sqrt{6}+\frac{1}{2}×2\sqrt{5}=2\sqrt{6}-\sqrt{5}-2\sqrt{6}+\sqrt{5}=0$.
(2)设原题中“■”处的数是 $a$,
则$(a\sqrt{\frac{2}{3}}-5\sqrt{0.2})-(\sqrt{24}-\frac{1}{2}\sqrt{20})=\frac{\sqrt{6}}{2}$,
即$\frac{\sqrt{6}}{3}a-5×\frac{\sqrt{5}}{5}-2\sqrt{6}+\frac{1}{2}×2\sqrt{5}=\frac{\sqrt{6}}{2}$.
所以$\frac{\sqrt{6}}{3}a-\sqrt{5}-2\sqrt{6}+\sqrt{5}=\frac{\sqrt{6}}{2}$.
所以$(\frac{1}{3}a-2)\sqrt{6}=\frac{\sqrt{6}}{2}$.
所以$\frac{1}{3}a-2=\frac{1}{2}$, 解得 $a=\frac{15}{2}$.
所以原题中“■”处的数是 $\frac{15}{2}$.
(2)设原题中“■”处的数是 $a$,
则$(a\sqrt{\frac{2}{3}}-5\sqrt{0.2})-(\sqrt{24}-\frac{1}{2}\sqrt{20})=\frac{\sqrt{6}}{2}$,
即$\frac{\sqrt{6}}{3}a-5×\frac{\sqrt{5}}{5}-2\sqrt{6}+\frac{1}{2}×2\sqrt{5}=\frac{\sqrt{6}}{2}$.
所以$\frac{\sqrt{6}}{3}a-\sqrt{5}-2\sqrt{6}+\sqrt{5}=\frac{\sqrt{6}}{2}$.
所以$(\frac{1}{3}a-2)\sqrt{6}=\frac{\sqrt{6}}{2}$.
所以$\frac{1}{3}a-2=\frac{1}{2}$, 解得 $a=\frac{15}{2}$.
所以原题中“■”处的数是 $\frac{15}{2}$.
解析
【分析】
(1) 第一问属于二次根式加减运算，解题思路为：先把式子中所有二次根式化为最简二次根式，再去括号，最后合并同类二次根式即可算出结果。
(2) 第二问已知运算结果求原式未知系数，可先设“”处的数为a，按照第一问的步骤先化简原式，化简后含√5的项会相互抵消，只剩含√6的项，再根据结果等于$\frac{\sqrt{6}}{2}$，令含√6项的系数与结果的系数对应相等，列一元一次方程求解就能得到a的值。
【解析】
(1) 先将各二次根式化为最简形式，再计算：
原式$=6×\frac{\sqrt{6}}{3}-5×\frac{\sqrt{5}}{5}-2\sqrt{6}+\frac{1}{2}×2\sqrt{5}$
$=2\sqrt{6}-\sqrt{5}-2\sqrt{6}+\sqrt{5}$
合并同类二次根式得：$2\sqrt{6}-2\sqrt{6}-\sqrt{5}+\sqrt{5}=0$
(2) 设原题中“”处的数是$a$，根据题意可得：
$(a\sqrt{\frac{2}{3}}-5\sqrt{0.2})-(\sqrt{24}-\frac{1}{2}\sqrt{20})=\frac{\sqrt{6}}{2}$
化简等号左侧的式子：
$\frac{\sqrt{6}}{3}a -5×\frac{\sqrt{5}}{5} -2\sqrt{6}+\frac{1}{2}×2\sqrt{5}=\frac{\sqrt{6}}{2}$
整理后可得：$\frac{\sqrt{6}}{3}a -\sqrt{5} -2\sqrt{6}+\sqrt{5}=\frac{\sqrt{6}}{2}$
其中$-\sqrt{5}$和$+\sqrt{5}$相互抵消，剩余含$\sqrt{6}$的项：
$(\frac{1}{3}a -2)\sqrt{6}=\frac{\sqrt{6}}{2}$
两边同时除以$\sqrt{6}$（$\sqrt{6}≠0$）得：$\frac{1}{3}a -2=\frac{1}{2}$
解方程：$\frac{1}{3}a=2+\frac{1}{2}=\frac{5}{2}$，解得$a=\frac{15}{2}$
【答案】
(1) $\boxed{0}$；(2) $\boxed{\dfrac{15}{2}}$
【知识点】
二次根式化简，二次根式加减运算，解一元一次方程
【点评】
本题结合逆向思维考查二次根式的运算能力，核心是掌握二次根式加减“先化简、再合并同类二次根式”的运算步骤，第二问通过方程思想求解未知系数，能有效检验学生的运算严谨性和知识灵活应用能力。
【难度系数】
0.7
(1) 第一问属于二次根式加减运算，解题思路为：先把式子中所有二次根式化为最简二次根式，再去括号，最后合并同类二次根式即可算出结果。
(2) 第二问已知运算结果求原式未知系数，可先设“”处的数为a，按照第一问的步骤先化简原式，化简后含√5的项会相互抵消，只剩含√6的项，再根据结果等于$\frac{\sqrt{6}}{2}$，令含√6项的系数与结果的系数对应相等，列一元一次方程求解就能得到a的值。
【解析】
(1) 先将各二次根式化为最简形式，再计算：
原式$=6×\frac{\sqrt{6}}{3}-5×\frac{\sqrt{5}}{5}-2\sqrt{6}+\frac{1}{2}×2\sqrt{5}$
$=2\sqrt{6}-\sqrt{5}-2\sqrt{6}+\sqrt{5}$
合并同类二次根式得：$2\sqrt{6}-2\sqrt{6}-\sqrt{5}+\sqrt{5}=0$
(2) 设原题中“”处的数是$a$，根据题意可得：
$(a\sqrt{\frac{2}{3}}-5\sqrt{0.2})-(\sqrt{24}-\frac{1}{2}\sqrt{20})=\frac{\sqrt{6}}{2}$
化简等号左侧的式子：
$\frac{\sqrt{6}}{3}a -5×\frac{\sqrt{5}}{5} -2\sqrt{6}+\frac{1}{2}×2\sqrt{5}=\frac{\sqrt{6}}{2}$
整理后可得：$\frac{\sqrt{6}}{3}a -\sqrt{5} -2\sqrt{6}+\sqrt{5}=\frac{\sqrt{6}}{2}$
其中$-\sqrt{5}$和$+\sqrt{5}$相互抵消，剩余含$\sqrt{6}$的项：
$(\frac{1}{3}a -2)\sqrt{6}=\frac{\sqrt{6}}{2}$
两边同时除以$\sqrt{6}$（$\sqrt{6}≠0$）得：$\frac{1}{3}a -2=\frac{1}{2}$
解方程：$\frac{1}{3}a=2+\frac{1}{2}=\frac{5}{2}$，解得$a=\frac{15}{2}$
【答案】
(1) $\boxed{0}$；(2) $\boxed{\dfrac{15}{2}}$
【知识点】
二次根式化简，二次根式加减运算，解一元一次方程
【点评】
本题结合逆向思维考查二次根式的运算能力，核心是掌握二次根式加减“先化简、再合并同类二次根式”的运算步骤，第二问通过方程思想求解未知系数，能有效检验学生的运算严谨性和知识灵活应用能力。
【难度系数】
0.7
19. ★★ [江苏竞赛] 如图,在数轴上有两个长方形ABCD和长方形EFGH,这两个长方形的宽都是$2\sqrt{2}$个单位长度,长方形ABCD的长AD是$4\sqrt{2}$个单位长度,长方形EFGH的长EH是$8\sqrt{2}$个单位长度,点E在数轴上表示的数是$5\sqrt{2}$,且E,D两点之间的距离为$12\sqrt{2}$.
(1)点H在数轴上表示的数是
(2)若线段AD的中点为M,线段EH上有一点N,$EN=\frac{1}{4}EH$,M以每秒4个单位长度的速度向右匀速运动,N以每秒3个单位长度的速度向左匀速运动,设运动的时间为$x$ s,问当$x$为多少时,原点O恰为线段MN的三等分点?
(1)点H在数轴上表示的数是
$13\sqrt{2}$
,点A在数轴上表示的数是$-11\sqrt{2}$
.(2)若线段AD的中点为M,线段EH上有一点N,$EN=\frac{1}{4}EH$,M以每秒4个单位长度的速度向右匀速运动,N以每秒3个单位长度的速度向左匀速运动,设运动的时间为$x$ s,问当$x$为多少时,原点O恰为线段MN的三等分点?
答案
19.【解】(1)$13\sqrt{2}$；$-11\sqrt{2}$
(2)由题意知,线段 AD 的中点为 M,则 M 表示的数为$-9\sqrt{2}$,线段 EH 上有一点 N,且 $EN=\frac{1}{4}EH$,则 N 表示的数为$7\sqrt{2}$.
因为 M 以每秒 4 个单位长度的速度向右匀速运动,N 以每秒 3 个单位长度的速度向左匀速运动,所以经过 $x$ s 后,M 点表示的数为 $4x-9\sqrt{2}$,N 点表示的数为 $7\sqrt{2}-3x$,
①当 $OM=2ON$ 时,有 $|4x-9\sqrt{2}|=2|7\sqrt{2}-3x|$,
解得 $x=\frac{23\sqrt{2}}{10}$(经检验,不符合题意,舍去)或 $x=\frac{5\sqrt{2}}{2}$；
②当 $ON=2OM$ 时,有 $2|4x-9\sqrt{2}|=|7\sqrt{2}-3x|$,
解得 $x=\frac{11\sqrt{2}}{5}$ 或 $x=\frac{25\sqrt{2}}{11}$(经检验,不符合题意,舍去).
综上所述,当 $x=\frac{5\sqrt{2}}{2}$ 或 $x=\frac{11\sqrt{2}}{5}$ 时,原点 O 恰为线段 MN 的三等分点.
(2)由题意知,线段 AD 的中点为 M,则 M 表示的数为$-9\sqrt{2}$,线段 EH 上有一点 N,且 $EN=\frac{1}{4}EH$,则 N 表示的数为$7\sqrt{2}$.
因为 M 以每秒 4 个单位长度的速度向右匀速运动,N 以每秒 3 个单位长度的速度向左匀速运动,所以经过 $x$ s 后,M 点表示的数为 $4x-9\sqrt{2}$,N 点表示的数为 $7\sqrt{2}-3x$,
①当 $OM=2ON$ 时,有 $|4x-9\sqrt{2}|=2|7\sqrt{2}-3x|$,
解得 $x=\frac{23\sqrt{2}}{10}$(经检验,不符合题意,舍去)或 $x=\frac{5\sqrt{2}}{2}$；
②当 $ON=2OM$ 时,有 $2|4x-9\sqrt{2}|=|7\sqrt{2}-3x|$,
解得 $x=\frac{11\sqrt{2}}{5}$ 或 $x=\frac{25\sqrt{2}}{11}$(经检验,不符合题意,舍去).
综上所述,当 $x=\frac{5\sqrt{2}}{2}$ 或 $x=\frac{11\sqrt{2}}{5}$ 时,原点 O 恰为线段 MN 的三等分点.
解析
【分析】
（1）求数轴上点对应的数，遵循“数轴正方向向右，点对应的数=起点数加向右移动的长度，减向左移动的长度”：先求H点，H在E右侧，用E对应的数加EH的长度即可；再求D点，D在E左侧，用E对应的数减ED的距离得到D对应的数，A在D左侧，用D对应的数减AD的长度就得到A对应的数。
（2）先求初始状态M、N对应的数：M是AD中点，用A、D对应数的平均数计算；N满足$EN=\frac{1}{4}EH$，先算EN长度，N在E右侧，用E对应的数加EN长度得N初始数。再写出运动x秒后M、N对应的数：M向右运动，对应数为初始数加4x；N向左运动，对应数为初始数减3x。原点是MN三等分点分两类讨论：①$OM=2ON$，②$ON=2OM$，用绝对值表示两点到原点的距离列方程，求解后检验原点是否在线段MN上，舍去不符合的解即可。
【解析】
(1) 计算H对应的数：
∵点E表示的数是$5\sqrt{2}$，EH长$8\sqrt{2}$，H在E右侧，
∴H表示的数为$5\sqrt{2}+8\sqrt{2}=13\sqrt{2}$。
计算D对应的数：
∵E、D距离为$12\sqrt{2}$，D在E左侧，
∴D表示的数为$5\sqrt{2}-12\sqrt{2}=-7\sqrt{2}$。
计算A对应的数：
∵AD长$4\sqrt{2}$，A在D左侧，
∴A表示的数为$-7\sqrt{2}-4\sqrt{2}=-11\sqrt{2}$。
(2) 求初始M、N对应的数：
M是AD中点，
∴M初始对应数为$\frac{-11\sqrt{2}+(-7\sqrt{2})}{2}=-9\sqrt{2}$；
∵$EN=\frac{1}{4}EH$，$EH=8\sqrt{2}$，
∴$EN=\frac{1}{4}×8\sqrt{2}=2\sqrt{2}$，N在E右侧，
∴N初始对应数为$5\sqrt{2}+2\sqrt{2}=7\sqrt{2}$。
运动x秒后，M向右移动4x个单位，对应数为$4x-9\sqrt{2}$；N向左移动3x个单位，对应数为$7\sqrt{2}-3x$。
原点O是MN三等分点，分两种情况：
① 当$OM=2ON$时，列方程：
$|4x-9\sqrt{2}|=2|7\sqrt{2}-3x|$
解得$x=\frac{23\sqrt{2}}{10}$（此时M、N都在原点右侧，原点不在线段MN上，舍去）或$x=\frac{5\sqrt{2}}{2}$；
② 当$ON=2OM$时，列方程：
$|7\sqrt{2}-3x|=2|4x-9\sqrt{2}|$
解得$x=\frac{11\sqrt{2}}{5}$或$x=\frac{25\sqrt{2}}{11}$（此时M、N都在原点左侧，原点不在线段MN上，舍去）。
综上，符合条件的x值为$\frac{5\sqrt{2}}{2}$或$\frac{11\sqrt{2}}{5}$。
【答案】
(1) $13\sqrt{2}$；$-11\sqrt{2}$
(2) 当$x=\frac{5\sqrt{2}}{2}$或$x=\frac{11\sqrt{2}}{5}$时，原点O恰为线段MN的三等分点。
【知识点】
数轴的应用；动点问题；绝对值方程求解
【点评】
本题将二次根式运算与数轴动点问题结合，重点考查分类讨论思想，解题时需注意三等分点存在两种位置关系，求出解后要验证是否符合原点在线段上的前提，避免出现增解。
【难度系数】
0.3
（1）求数轴上点对应的数，遵循“数轴正方向向右，点对应的数=起点数加向右移动的长度，减向左移动的长度”：先求H点，H在E右侧，用E对应的数加EH的长度即可；再求D点，D在E左侧，用E对应的数减ED的距离得到D对应的数，A在D左侧，用D对应的数减AD的长度就得到A对应的数。
（2）先求初始状态M、N对应的数：M是AD中点，用A、D对应数的平均数计算；N满足$EN=\frac{1}{4}EH$，先算EN长度，N在E右侧，用E对应的数加EN长度得N初始数。再写出运动x秒后M、N对应的数：M向右运动，对应数为初始数加4x；N向左运动，对应数为初始数减3x。原点是MN三等分点分两类讨论：①$OM=2ON$，②$ON=2OM$，用绝对值表示两点到原点的距离列方程，求解后检验原点是否在线段MN上，舍去不符合的解即可。
【解析】
(1) 计算H对应的数：
∵点E表示的数是$5\sqrt{2}$，EH长$8\sqrt{2}$，H在E右侧，
∴H表示的数为$5\sqrt{2}+8\sqrt{2}=13\sqrt{2}$。
计算D对应的数：
∵E、D距离为$12\sqrt{2}$，D在E左侧，
∴D表示的数为$5\sqrt{2}-12\sqrt{2}=-7\sqrt{2}$。
计算A对应的数：
∵AD长$4\sqrt{2}$，A在D左侧，
∴A表示的数为$-7\sqrt{2}-4\sqrt{2}=-11\sqrt{2}$。
(2) 求初始M、N对应的数：
M是AD中点，
∴M初始对应数为$\frac{-11\sqrt{2}+(-7\sqrt{2})}{2}=-9\sqrt{2}$；
∵$EN=\frac{1}{4}EH$，$EH=8\sqrt{2}$，
∴$EN=\frac{1}{4}×8\sqrt{2}=2\sqrt{2}$，N在E右侧，
∴N初始对应数为$5\sqrt{2}+2\sqrt{2}=7\sqrt{2}$。
运动x秒后，M向右移动4x个单位，对应数为$4x-9\sqrt{2}$；N向左移动3x个单位，对应数为$7\sqrt{2}-3x$。
原点O是MN三等分点，分两种情况：
① 当$OM=2ON$时，列方程：
$|4x-9\sqrt{2}|=2|7\sqrt{2}-3x|$
解得$x=\frac{23\sqrt{2}}{10}$（此时M、N都在原点右侧，原点不在线段MN上，舍去）或$x=\frac{5\sqrt{2}}{2}$；
② 当$ON=2OM$时，列方程：
$|7\sqrt{2}-3x|=2|4x-9\sqrt{2}|$
解得$x=\frac{11\sqrt{2}}{5}$或$x=\frac{25\sqrt{2}}{11}$（此时M、N都在原点左侧，原点不在线段MN上，舍去）。
综上，符合条件的x值为$\frac{5\sqrt{2}}{2}$或$\frac{11\sqrt{2}}{5}$。
【答案】
(1) $13\sqrt{2}$；$-11\sqrt{2}$
(2) 当$x=\frac{5\sqrt{2}}{2}$或$x=\frac{11\sqrt{2}}{5}$时，原点O恰为线段MN的三等分点。
【知识点】
数轴的应用；动点问题；绝对值方程求解
【点评】
本题将二次根式运算与数轴动点问题结合，重点考查分类讨论思想，解题时需注意三等分点存在两种位置关系，求出解后要验证是否符合原点在线段上的前提，避免出现增解。
【难度系数】
0.3
